2. Fundamentalform, Geodäte < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $c: I [mm] \to \IR^{2}$ [/mm] mit $||c'|| = 1$ und [mm] $c^{1}(t)=0$. [/mm] $f: [mm] Ix\IR \to \IR^{3}, [/mm] f(x,y) = [mm] (c^{1} [/mm] (x) cos y, [mm] c^{1}(x) [/mm] sin y, [mm] c^{2} [/mm] (x))$ sei die zugehörige Rotationsfläche. [mm] ($c^{i}$ [/mm] bezeichnet die i-te Komponente von c)
Betrachte Kurven in x- und y-Richtung [mm] $x_{0} \in [/mm] I, [mm] y_{0} \in \IR$ [/mm] fest.
[mm] $\gamma_{1} [/mm] : [mm] \IR \to \IR^{3}, \gamma_{1}(t) [/mm] = [mm] (c^{1}(x_{0}) [/mm] cos t, [mm] c^{1}(x_{0}) [/mm] sin t, [mm] c^{2}(x_{0}))$
[/mm]
[mm] $\gamma_{2} [/mm] : I [mm] \to \IR^{3}, \gamma_{1}(t) [/mm] = [mm] (c^{1}(t) [/mm] cos [mm] y_{0}, c^{1}(t) [/mm] sin [mm] y_{0}, c^{2}(t))$.
[/mm]
Für beide Kurve gilt [mm] $||\gamma [/mm] '||$ = konstant. Sind [mm] $\gamma_{1},\gamma_{2}$ [/mm] Geodäten? |
Es gibt nun 3 verschiedene Möglichkeiten dies zu zeigen. Davon möchte ich folgende wählen:
Es gilt: $ [mm] \gamma [/mm] '' = [mm] D_{\gamma '} \gamma [/mm] ' = 0 [mm] \gdw \nabla_{\gamma '} \gamma [/mm] ' + II (c',c') n$.
Also ist zu zeigen:
[mm] $\nabla_{\gamma '} \gamma [/mm] ' = 0 [mm] \gdw \gamma [/mm] '' (t) = II(c',c')n$.
Hier bezeichnet II die 2. Fundamentalform.
Und da ist auch schon mein Problem: Wie berechne ich $II(c',c')$?
Ich kenne nur die Matrixschreibweise von II. Mit den Einträgen L,M,N bzw. [mm] $h_{ij}$
[/mm]
In meiner Definition steht:
[mm] $II_{x}: \IR^{2} [/mm] x [mm] \IR^{2} \to \IR, II_{x}(V,W) [/mm] = - [mm] I((df)_{x}^{-1} (dn)_{x} [/mm] (V), W)$. Was ist [mm] $(df)_{x}^{-1}$ [/mm] , wenn f: wie oben gewählt? Weil die Ableitungsmatrix von f (df) ist doch nicht quadratisch oder?
Außerdem benötigen wir hier die 1. Fundamentalform I, die foglendermaßen definiert ist:
[mm] $I_{(x^{1},x^{2})} [/mm] : [mm] \IR^{2} [/mm] x [mm] \IR^{2} \to \IR, I_{(x^{1},x^{2})} [/mm] (u.v) = [mm] <(df)_{(x^{1},x^{2})}(u), (df)_{(x^{1},x^{2})}(v)>$
[/mm]
Wäre toll wenn jmd das gut erklären könnte.
Vielen Dank schonmal
Ach ich seh grad ich hab das ausversehen ins Schulforum gepostet. Ist eigentlich Uni-Niveau. Sorry dafür.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Do 03.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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