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2007-Eck: summe an ecken soll gleich sei
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:51 Do 04.01.2007
Autor: Kathinka

hallöchen :)

es stellt sich folgendes problem:

man hat regelmäßiges 2007 eck, an jeder ecke befindet sich eine zahl. auf jeder seitenmitte befindet sich ebenfalls eine zahl. nun soll die summe von den zahlen an ecke-mitte-ecke immer gleich sein.

haben es für einfache bsp 3 und 5 herausbekommen durch probieren und keine regelmäßigkeit entdecken können....

2. ansatz mit der formel n*(n+1)/2 dann nochmal getilt durch kanten um herauszufinden wieviel an jeder kante liegen müssen funktioniert so auch nicht, da die zahlen an den ecken ja quasi doppelt gezählt werden... aber man weiss nicht welche das sind...

also, wäre lieb wenn ihr nen ansatz hättet :)
lg katja

        
Bezug
2007-Eck: welche Zahlen?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 Do 04.01.2007
Autor: informix

Hallo Kathinka,

> hallöchen :)
>  
> es stellt sich folgendes problem:

Das riecht sehr stark nach einer Wettbewerbsaufgabe! Dann solltest du das auch hier vermerken; denn wir wollen dir hier nicht zum unselbständigen Lösen Vorschub leisten.

>  
> man hat regelmäßiges 2007 eck, an jeder ecke befindet sich
> eine zahl. auf jeder seitenmitte befindet sich ebenfalls
> eine zahl. nun soll die summe von den zahlen an
> ecke-mitte-ecke immer gleich sein.

Was ist über die Zahlen ausgesagt, dürfen Zahlen mehrfach vorkommen?

>
> haben es für einfache bsp 3 und 5 herausbekommen durch
> probieren und keine regelmäßigkeit entdecken können....

Dann wirst du weiterprobieren müssen. ;-)
Wenn du uns an deinen Überlegungen teilhaben lässt, können wir vielleicht gemeinsam weiter denken...

>
> 2. ansatz mit der formel n*(n+1)/2 dann nochmal getilt
> durch kanten um herauszufinden wieviel an jeder kante
> liegen müssen funktioniert so auch nicht, da die zahlen an
> den ecken ja quasi doppelt gezählt werden... aber man weiss
> nicht welche das sind...
>  
> also, wäre lieb wenn ihr nen ansatz hättet :)

Ich glaube kaum, dass jemand so einfach einen Ansatz "hat" und ihn dir mitteilt. ;-)

Gruß informix

Bezug
                
Bezug
2007-Eck: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:32 Fr 05.01.2007
Autor: Kathinka


huhu :)
ich hab die aufgabe von nem freund bekommen der in der oberstufe ist, und da ich selbst nicht weiterkam, hab ich es hier ins oberstufenforum gepackt, ich weiss nicht ob es ne wettbewerbsaufgabe ist? kann man das dann nicht einfach verschieben? weiss aber nicht wie das geht.

zur aufgabe:

für das 2007-eck dürfen die zahlen 1-4014 verwendet werden, also keine zahl doppelt. sonst wäre es denke ich auch einfacher ^^

ich habe mich auf die mit ungeraden zahlen beschränkt, für das 3 eck noch einfach

ich fange oben an der ecke an, da steht die erste zahl, dann im uhrzeigersinn:
1,6,2,4,3,5

beim 5-eck: (habe 2 möglichkeiten gefunden)

8,1,10,2,7,3,9,4,6,5
oder
1,10,2,9,3,7,4,6,5,8,1

ich habe mir gedacht, es hat ja zweimal funktioniert die ersten zahlen einfach an die ecken zu verteilen und dann die restlichen "einzuordnen", beim 7-eck jedoch funktioniert das nicht. da hab ich allerdings überhaupt gar keine möglichkeit gefunden.

ja, den anderen ansatz mit dem n*(n+1)/2 als gesamtmenge der zahlen geteilt durch die kanten bzw. ecken habe ich ja schon erklärt.... auch warum er nicht funktioniert....

lg katja

Bezug
                        
Bezug
2007-Eck: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:24 Fr 05.01.2007
Autor: informix

Hallo Kathinka,

> huhu :)
>  ich hab die aufgabe von nem freund bekommen der in der
> oberstufe ist, und da ich selbst nicht weiterkam, hab ich
> es hier ins oberstufenforum gepackt, ich weiss nicht ob es
> ne wettbewerbsaufgabe ist? kann man das dann nicht einfach
> verschieben? weiss aber nicht wie das geht.

Ich habe sie mal verschoben.

> zur aufgabe:
>  
> für das 2007-eck dürfen die zahlen 1-4014 verwendet werden,
> also keine zahl doppelt. sonst wäre es denke ich auch
> einfacher ^^
>  
> ich habe mich auf die mit ungeraden zahlen beschränkt, für
> das 3 eck noch einfach
>  
> ich fange oben an der ecke an, da steht die erste zahl,
> dann im uhrzeigersinn:
>  1,6,2,4,3,5

[daumenhoch]

>  
> beim 5-eck: (habe 2 möglichkeiten gefunden)
>  
> 8,1,10,2,7,3,9,4,6,5

[mm] \underbrace{8,1,10}_{19},\underbrace{10,2,7}_{19},\underbrace{7,3,9}_{19},\underbrace{9,4,6}_{19},\underbrace{6,5,8}_{19} [/mm]
[daumenhoch]
aber hier hast du nicht die 1 auf die erste Ecke gesetzt!
Es gibt möglicherweise mehrere Lösungen?!

>  oder
>  [mm] \underbrace{1,10,2}_{13},\underbrace{2,9,3}_{14},\underbrace{3,7,4}_{14},\underbrace{4,6,5}_{15},\underbrace{5,8,1}_{14} [/mm]

[notok]

>  
> ich habe mir gedacht, es hat ja zweimal funktioniert die
> ersten zahlen einfach an die ecken zu verteilen und dann
> die restlichen "einzuordnen", beim 7-eck jedoch
> funktioniert das nicht. da hab ich allerdings überhaupt gar
> keine möglichkeit gefunden.
>  
> ja, den anderen ansatz mit dem n*(n+1)/2 als gesamtmenge
> der zahlen geteilt durch die kanten bzw. ecken habe ich ja
> schon erklärt.... auch warum er nicht funktioniert....
>  

Zuerst solltest du noch einmal die "Seitensumme" bestimmen, auf die du zusteuern willst:
Du addierst zunächst mal alle Zahlen 1+...+n und musst aber die Eckzahlen doppelt nehmen.
Diese Summe teilst du durch die Anzahl der Seiten [mm] \rightarrow [/mm] Seitensumme.

Bleibe mal bei dem Schema: 1 auf einer Ecke und dann im Uhrzeigersinn weiter (man könnte auch jede zweite Ecke nehmen und zweimal um die Ecken gehen..). Funktioniert bei mir beim 5- und 7-Eck.

Entwickle daraus eine Regel, die man auf 9, 11, ... Ecken erweitern kann. Nachprüfen! Schöne Ferienaufgabe! ;-)

Gruß informix

Bezug
                                
Bezug
2007-Eck: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 So 07.01.2007
Autor: Hannes23

Hallo informix!

Die Idee mit der Berechnung der Seitensumme hatte ich zwar auch, aber es kommt es bei mir nicht hin:

Z.B. für das 5-Eck würden wir ja die Zahlen 1,2,...,10 verteilen wollen. Um die Seitensumme zu bestimmen müssten wir ja die Eckpunkte doppelt zählen, daher berechnen wir die Summe 15*16/2 = 120. Das erhaltene Ergebnis teilen wir nun durch die Anzahl der Seiten, also 5 und erhalten 120:5 = 24. Mit diesem Ergebnis kommt die Verteilung der Zahlen jedoch nicht hin! Wir müssen erst die Anzahl der Seiten subtrahieren 24-5=19, damit es dann klappt:

8+1+10=19
10+2+7=19
7+3+9=19
9+4+6=19
6+5+8=19

Was stimmt also am Gedankengang nicht?

Viele Grüße

Bezug
                                        
Bezug
2007-Eck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 So 07.01.2007
Autor: informix

Hallo Hannes23 und [willkommenmr],

> Hallo informix!
>  
> Die Idee mit der Berechnung der Seitensumme hatte ich zwar
> auch, aber es kommt es bei mir nicht hin:
>  
> Z.B. für das 5-Eck würden wir ja die Zahlen 1,2,...,10
> verteilen wollen. Um die Seitensumme zu bestimmen müssten
> wir ja die Eckpunkte doppelt zählen, daher berechnen wir
> die Summe 15*16/2 = 120. Das erhaltene Ergebnis teilen wir
> nun durch die Anzahl der Seiten, also 5 und erhalten 120:5
> = 24. Mit diesem Ergebnis kommt die Verteilung der Zahlen
> jedoch nicht hin! Wir müssen erst die Anzahl der Seiten
> subtrahieren 24-5=19, damit es dann klappt:
>  
> 8+1+10=19
>  10+2+7=19
>  7+3+9=19
>  9+4+6=19
>  6+5+8=19
>  
> Was stimmt also am Gedankengang nicht?

Du schreibst korrekt, dass du die Zahlen an den Ecken doppelt zählen willst, berechnest aber die Summe von 1...15. Das kann doch gar nicht stimmen! Es werden nur die Zahlen von 1...10 verteilt!

Wenn du zunächst die Zahlen auf den 5 Ecken verteilst und dann die Seitenmitten bestückst, kannst du die gesuchte "Seitensumme" berechnen durch: [mm] \summe_{i=1}^{10}{i}+\summe_{i=1}^{5}{i} [/mm]

Gruß informix

Bezug
                                                
Bezug
2007-Eck: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:40 Mo 08.01.2007
Autor: Hannes23

Hallo informix!

Stimmt, aber seltsamerweise komme ich immer noch nicht auf das passende Ergebnis. Für ein 7-Eck würden wir also berechnen:

[mm] \bruch{14*15}{2} [/mm] + [mm] \bruch{7*8}{2} [/mm] = 133

$133 : 7 = 19$

Das ist der Wert, der für das 5-Eck optimal wäre, nicht aber für das 7-Eck...

Viele Grüße

Bezug
                                                        
Bezug
2007-Eck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:55 Mo 08.01.2007
Autor: Martin243

Hallo allerseits,

die Idee mit dem Verteilen der Zahlen 1 bis n war schon mal nicht schlecht. Aber verteilt sie doch einfach mal auf die Seitenmitten! Dann überlegt mal, wo die größte Zahl hingehört. Der Rest ergibt sich dann sukzessive durch die Differenz zur gewünschten Summe.
Diese berechnet sich bei dieser Strategie dann aber gemäß:
$k(n) = [mm] \sum_{i=1}^{2n} [/mm] + [mm] \sum_{i=n+1}^{2n}$, [/mm]
weil hier die höheren Zahlen doppelt vorkomen. Dann gilt:
k(3) = 12
k(5) = 19
k(7) = 26 usw.

Übrigens funtioniert die Strategie zumindest für alle n-Ecke mit ungeraden n bis 9999, wahrscheinlich also immer.


Gruß
Martin

Bezug
                                                                
Bezug
2007-Eck: Vorsicht!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 Mo 08.01.2007
Autor: informix

Hallo Martin243,

> Hallo allerseits,
>  
> die Idee mit dem Verteilen der Zahlen 1 bis n war schon mal
> nicht schlecht. Aber verteilt sie doch einfach mal auf die
> Seitenmitten! Dann überlegt mal, wo die größte Zahl
> hingehört. Der Rest ergibt sich dann sukzessive durch die
> Differenz zur gewünschten Summe.
>  Diese berechnet sich bei dieser Strategie dann aber
> gemäß:
>  [mm]k(n) = \sum_{i=1}^{2n} + \sum_{i=n+1}^{2n}[/mm],
>  weil hier die
> höheren Zahlen doppelt vorkomen. Dann gilt:
>  k(3) = 12
>  k(5) = 19
> k(7) = 26 usw.
>  
> Übrigens funtioniert die Strategie zumindest für alle
> n-Ecke mit ungeraden n bis 9999, wahrscheinlich also
> immer.

Die Diskussion hat sich ja prächtig entwickelt!
Nun sollten wir Kathinka noch ein wenig Eigenarbeit übrig lassen.
Auch wenn ich Martin glauben möchte, dass seine Methode für alle ungeraden [mm] $n\in [/mm] N$ funktioniert, müsst man dies wohl noch durch einen Beweis (Induktion?) nachweisen.

Da ich vermute, dass es eine Wettbewerbsaufgabe ist, bitte ich um sachgerechte Rücksichtnahme bei der Veröffentlichung der genauen Ergebnisse. ;-)

Gruß informix

Bezug
                                                                        
Bezug
2007-Eck: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:35 Mo 08.01.2007
Autor: Martin243

Oh sorry,

hier ist es zu finden: []Erste Runde Bundeswettbewerb Mathematik 2007.

Ich halte jetzt meine Klappe.

Aber die Aufgabe lautet ja eh, dass man zeigen soll, dass eine solche Verteilung möglich ist. Und einfach das komplette 2007-Eck aufzumalen und die Zahlen dranzuschreiben sollte nach der knappen Formulierung zwar reichen, aber es wäre äußerst unelegant... Außerdem behalte ich die Lösung für mich! Ätsch ;-)


Gruß
Martin

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