2 Geraden in einer Ebene < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 So 02.10.2011 | | Autor: | PeterLee |
| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Gerade g durch den Punkt A (-1|1|1) und den Richtungsvektor [mm] \vec{a} \vektor{2\\ -1\\2}, [/mm] sowie die Gerade durch B(0|3|3) und C (2|5|5) gegeben.
Zeigen sie dass beide Geraden in der Ebene E liegen. |
Hallo
leider war ich in der entsprechenden Stunde nicht da als das Thema behandelt wurde, deswegen muss ich etwas nacharbeiten und stelle mich wohl auch nicht so schlau an.
Also meine Überlegung wäre: Aus Punkt B und C einen Vektor zu machen
[mm] \overrightarrow{BC}= \vektor{2 \\ -1\\2}
[/mm]
So jetzt habe ich 2 Richtungsvektoren.... aber wie finde ich die Ebene raus?
Vielleicht über das Skalarprodukt? Reicht da schon als Beweis?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 So 02.10.2011 | | Autor: | PeterLee |
Oh sorry ich meine natürlich Vektorprodukt.
[mm] \vec{a}x \vec{b}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 So 02.10.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Zeige, dass der gemeinsame Richutngsvektor der Geraden, also [mm] \vektor{2\\-1\\2} [/mm] senkrecht auf dem Normalenvektor der Ebene steht, und dass die Stützpunkte der beiden Geraden in der Ebene liegen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 So 02.10.2011 | | Autor: | PeterLee |
Okay, der Richtungsvektor der Geraden ist der selbe.
Irgendwie verwirrt mich das mehr, als dass es mir hilft.
Die Normale zu den 2 Richtungsvektoren kann ich doch einfach durch das Kreuzprodukt ausrechnen, oder?
Erbenis nach der Formel wäre [mm] dann:\vec{n}= \vektor{0 \\ 0\\0}
[/mm]
Aber was sagt mir das jetzt?
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> Okay, der Richtungsvektor der Geraden ist der selbe.
> Irgendwie verwirrt mich das mehr, als dass es mir hilft.
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> Die Normale zu den 2 Richtungsvektoren kann ich doch
> einfach durch das Kreuzprodukt ausrechnen, oder?
>
> Erbenis nach der Formel wäre [mm]dann:\vec{n}= \vektor{0 \\ 0\\0}[/mm]
>
> Aber was sagt mir das jetzt?
>
>
Das sagt dir erstmal garnichts.^^
Du weißt jetzt, dass die beiden Richtungsvektoren gleich sind.
Also sind die Geraden auf jeden Fall parallel, vielleicht sogar identisch.
Nun hab ich aber nochmal eine Frage zu deiner Aufgabenstellung:
Ist die Ebene E gegeben?
Sollst du zeigen, dass die beiden Geraden eine eindeutig definierte Ebene aufspannen?
Sollst du zeigen, dass diese beiden Geraden in einer Ebene liegen?
Sollst du die Ebene (oder eine der Ebenen) angeben?
Je nachdem was genau die Aufgabenstellung ist musst du jetzt etwas anderes mit der Info machen, dass die beiden Geraden parallel sind.
MfG
Schadowmaster
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 So 02.10.2011 | | Autor: | PeterLee |
Sollst du zeigen, dass diese beiden Geraden in einer Ebene liegen?
Gant genau das soll gezeigt werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 So 02.10.2011 | | Autor: | PeterLee |
Sollst du zeigen, dass diese beiden Geraden in einer Ebene liegen?
Genau das soll gezeigt werden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 So 02.10.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Sollst du zeigen, dass diese beiden Geraden in einer Ebene
> liegen?
>
> Genau das soll gezeigt werden.
Dann zeige, dass die beiden Geraden echt parallel sind, dann könnte man eine Ebene [mm] E:\vec{x}=\vec{a}+\lambda\overrightarrow{AC}+\mu\overrightarrow{BC} [/mm] bestimmen, in der die beiden Geraden liegen.
Dass diese Geraden dann in der Ebene liegen, kann man zeigen, indem man zeigt, dass der Normalenvektor dieser Ebene senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden liegt.
(Dass sie dann in der Ebene liegen, liegt daran, dass sie durch B und C bzw. A gehen, und diese sind ja quasi "per Konstruktion" in der Ebene)
Marius
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Also das Verfahren ist vollkommen in Ordnung; falls man die Ebene berechnen soll.
Da du aber scheinbar nur zeigen sollst, dass sie in einer Ebene liegen, bist du jetzt schon fertig.
Denn sind zwei Geraden parallel (oder identisch) liegen sie in einer Ebene, fertig aus.^^
Und allgemein:
Zwei Geraden im [mm] $\IR^3$ [/mm] liegen genau dann in einer Ebene, wenn sie nicht windschief sind.
lg
Schadow
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