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Forum "Mathe Klassen 8-10" - 2 Gleichungen + 2 Unbekannte
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2 Gleichungen + 2 Unbekannte: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 Mi 31.08.2005
Autor: Ingenius

Hallo zusammen,

bin ganz neu hier und hab schon meine erste Frage:

Also habe zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (a und b), nämlich:

x = sin(a-60°) * sin b
y = sin(a-120°) * sinb

Für a habe ich eine Lösung gefunden: *stolz*

a = arctan( sqrt(3) * (x-y) / (x+y) )

Frage 1:
Ist meine Lösung für a richtig?

Frage 2:
Wie lautet die Lösung für b=fkt(x,y)?
Ich denke man muss x und y quadrieren und
eine "geschickte" Linearkombination bilden. *grübel*

Liebe Grüße,
Marc

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
2 Gleichungen + 2 Unbekannte: ?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Mi 31.08.2005
Autor: Bastiane

Hallo!
Erstmal [willkommenmr]

> Also habe zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (a und b),
> nämlich:
>  
> x = sin(a-60°) * sin b
>  y = sin(a-120°) * sinb

Also, wenn a und b die Unbekannten sein sollen, dann verstehe ich nicht, was x und y sein sollen!? [kopfkratz] [haee]
  
> Für a habe ich eine Lösung gefunden: *stolz*
>  
> a = arctan( sqrt(3) * (x-y) / (x+y) )

>
> Frage 1:
>  Ist meine Lösung für a richtig?
>  
> Frage 2:
>  Wie lautet die Lösung für b=fkt(x,y)?
>  Ich denke man muss x und y quadrieren und
>  eine "geschickte" Linearkombination bilden. *grübel*

Irgendwie verstehe ich deine Aufgabe nicht. Ist das wirklich so die Aufgabenstellung?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

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Bezug
2 Gleichungen + 2 Unbekannte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:17 Mi 31.08.2005
Autor: Ingenius


>  Erstmal [willkommenmr]

Danke! :-)

> Also, wenn a und b die Unbekannten sein sollen, dann
> verstehe ich nicht, was x und y sein sollen!? [kopfkratz]
> [haee]

Absolut richtig!
a und b sind Unbekannte!
x und y sind gegeben!
  
> Irgendwie verstehe ich deine Aufgabe nicht. Ist das
> wirklich so die Aufgabenstellung?

Mmh, also habe zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
und suche dazu die Lösung.
Diese sollte in einer geschlossenen Form existieren.
Will keine numerisch-iterativen Verfahren anwenden, oder so...

Das ist die Aufgabenstellung!
Bezug
        
Bezug
2 Gleichungen + 2 Unbekannte: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Mi 31.08.2005
Autor: MathePower

Hallo Ingenius,

[willkommenmr]

> Hallo zusammen,
>  
> bin ganz neu hier und hab schon meine erste Frage:
>  
> Also habe zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (a und b),
> nämlich:
>  
> x = sin(a-60°) * sin b
>  y = sin(a-120°) * sinb
>  
> Für a habe ich eine Lösung gefunden: *stolz*
>  
> a = arctan( sqrt(3) * (x-y) / (x+y) )
>  
> Frage 1:
>  Ist meine Lösung für a richtig?

die Lösung stimmt bis auf's Vorzeichen. [ok]

>  
> Frage 2:
>  Wie lautet die Lösung für b=fkt(x,y)?
>  Ich denke man muss x und y quadrieren und
>  eine "geschickte" Linearkombination bilden. *grübel*

Verwende hierfür eine Gleichung und setze das gefundene a ein.

Zum Beispiel so:

[mm]\begin{gathered} x\; = \;\sin \left( {a\; - \;60^ \circ } \right)\;\sin \;b \hfill \\ = \;\left( {\sin \left( a \right)\;\cos \left( {60^ \circ } \right)\; - \;\cos \left( a \right)\;\sin \left( {60^ \circ } \right)} \right)\;\sin \left( b \right) \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Gruß
MathePower
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2 Gleichungen + 2 Unbekannte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 Mi 31.08.2005
Autor: Ingenius

Hallo MathePower,

erstmal vielen Dank für Deine Antwort,
selbstverständlich ist

> Zum Beispiel so:
>  
> [mm]\begin{gathered} x\; = \;\sin \left( {a\; - \;60^ \circ } \right)\;\sin \;b \hfill \\ = \;\left( {\sin \left( a \right)\;\cos \left( {60^ \circ } \right)\; - \;\cos \left( a \right)\;\sin \left( {60^ \circ } \right)} \right)\;\sin \left( b \right) \hfill \\ \end{gathered}[/mm]

eine Lösung!

Gibts da nicht was "schöneres"?
Boah, das ist ja eine Riesengleichung :-)
*just kidding*

Nein, es hat tatsächlich auch einen Grund.
(der passt aber nicht mehr in Klasse 9 -10)
x und y haben einen gaußverteilten Fehler
mit dem Mittelwert 0.

Verwende ich a steigt die Ordnung meines Fehlers, oder?

Ich hatte die Hoffnung es gibt da was "schickes:-)" in der Form:
b = arcsin( sqrt( [mm] k1*x^2 [/mm] + [mm] k2*y^2 [/mm] ) )
So, oder so ähnlich?

Weil nimmt man noch eine dritte Gleichung hinzu, nämlich:
z = sin x * sin y
Dann ist mein System überbestimmt und ich finde
b = arcsin( sqrt( 2/3 * [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2) [/mm] ) )

Zugegeben, langsam wirds kompliziert... *grübel*

Hilfe!!!!!
Marc
Bezug
                        
Bezug
2 Gleichungen + 2 Unbekannte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Mi 31.08.2005
Autor: MathePower

Hallo Ingenius,

> Hallo MathePower,
>  
> erstmal vielen Dank für Deine Antwort,
>  selbstverständlich ist
>
> > Zum Beispiel so:
>  >  
> > [mm]\begin{gathered} x\; = \;\sin \left( {a\; - \;60^ \circ } \right)\;\sin \;b \hfill \\ = \;\left( {\sin \left( a \right)\;\cos \left( {60^ \circ } \right)\; - \;\cos \left( a \right)\;\sin \left( {60^ \circ } \right)} \right)\;\sin \left( b \right) \hfill \\ \end{gathered}[/mm]
>  
> eine Lösung!
>  
> Gibts da nicht was "schöneres"?
>  Boah, das ist ja eine Riesengleichung :-)
>  *just kidding*

ich habe auf die erste Gleichung nur die Additionstheoreme angewandt.

>  
> Nein, es hat tatsächlich auch einen Grund.
>  (der passt aber nicht mehr in Klasse 9 -10)
>  x und y haben einen gaußverteilten Fehler
>  mit dem Mittelwert 0.
>  
> Verwende ich a steigt die Ordnung meines Fehlers, oder?
>  
> Ich hatte die Hoffnung es gibt da was "schickes:-)" in der
> Form:
>  b = arcsin( sqrt( [mm]k1*x^2[/mm] + [mm]k2*y^2[/mm] ) )
>  So, oder so ähnlich?
>  
> Weil nimmt man noch eine dritte Gleichung hinzu, nämlich:
>  z = sin x * sin y
>  Dann ist mein System überbestimmt und ich finde
>  b = arcsin( sqrt( 2/3 * [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2)[/mm] ) )
>  
> Zugegeben, langsam wirds kompliziert... *grübel*

Nur keine Angst vor solchen Ausdrücken wie oben.

>  
> Hilfe!!!!
>  Marc

Gruß
MathePower
Bezug
                                
Bezug
2 Gleichungen + 2 Unbekannte: Hilfe....! *Heul!*
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:25 Mi 31.08.2005
Autor: Ingenius

Hallo MathePower

Nochmal Danke für Deine Antwort, aber
so schnell gebe ich nicht auf:

Also

> Zum Beispiel so:
>  
> [mm]\begin{gathered} x\; = \;\sin \left( {a\; - \;60^ \circ } \right)\;\sin \;b \hfill \\ = \;\left( {\sin \left( a \right)\;\cos \left( {60^ \circ } \right)\; - \;\cos \left( a \right)\;\sin \left( {60^ \circ } \right)} \right)\;\sin \left( b \right) \hfill \\ \end{gathered}[/mm]

  
ist eine unstrittige Lösung! Völlig Klar!
  
> ich habe auf die erste Gleichung nur die Additionstheoreme
> angewandt.

Das mit dem Additionstheorem ist auch klar!
Zur Herleitung von a verwendet man dieses Theorem zweimal.
Dieses brauchst du aber noch nicht einmal,
um die Gleichung nach b zu lösen:-)

"Lustig" wird der Ausdruck ja auch erst, wenn man a einsetzt:-)
Das lautet dann nämlich:
b = arcsin( x / sin( arctan(...) ) ) ... Ach nee!
  
Nein, es hat tatsächlich auch einen Grund.
x und y haben einen gaußverteilten Fehler mit dem Mittelwert 0.
Verwende ich a steigt die Ordnung meines Fehlers, oder?

Antwort?

Ich hatte die Hoffnung es gibt da was "schickes:-)" in der Form:
b = arcsin( sqrt( [mm]k1*x^2[/mm] + [mm]k2*y^2[/mm] ) )
So, oder so ähnlich?

Antwort?
k1=? und k2=?

Weil nimmt man noch eine dritte Gleichung hinzu, nämlich:
z = sin x * sin y
Dann ist mein System überbestimmt und ich finde
b = arcsin( sqrt( 2/3 * [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2)[/mm] ) )

Das ist so eine schicke Lösung mit
k1 =  k2 = k3 = 2/3
  
> Nur keine Angst vor solchen Ausdrücken wie oben.

Keine Angst, eher Verzweiflung.... :-)


Bitte, brauche Hilfe!!!
Marc.
Bezug
                                        
Bezug
2 Gleichungen + 2 Unbekannte: Hartnäckig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 Mi 31.08.2005
Autor: MathePower

Hallo Ingenius,

>    
> > Nur keine Angst vor solchen Ausdrücken wie oben.
>  
> Keine Angst, eher Verzweiflung.... :-)
>  
>

Ich habe leider keine andere Idee, als eine Gleichung herzunehmen, umformen via Additionstheorem, a einsetzen, zusammenfassen und dann auflösen nach b.

Ich werde das auch mal tun.

> Bitte, brauche Hilfe!!!
>  Marc.

Gruß
MathePower
Bezug
                                                
Bezug
2 Gleichungen + 2 Unbekannte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:53 Mi 31.08.2005
Autor: Ingenius

Hallo MathePower

> Ich habe leider keine andere Idee, als eine Gleichung
> herzunehmen, umformen via Additionstheorem, a einsetzen,
> zusammenfassen und dann auflösen nach b.

Die Idee ist ja auch eine Lösung.
Mich stört eher die Form der Lösung.
(vergleiche mit dem Beispiel 3 Gleichungen und 2 Unbekannte)

> Ich werde das auch mal tun.

Das ist lieb! Danke!
Das Problem sehe ich beim zusammenfassen. :-)

Grübel jetzt auch noch was.
Vielleicht hab ich ja morgen auch neue Erkenntnisse :-)
Und wir sprechen dann nochmal!

Ich habe diese Frage jetzt auch in die Rubrik "Uni-Sonstiges" gestellt.
Kannst auch gerne da antworten.

Viele Liebe Grüße
Marc
Bezug
        
Bezug
2 Gleichungen + 2 Unbekannte: Die Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:00 Do 01.09.2005
Autor: Ingenius

Hallo zusammen!

Hab gestern Nacht noch selber die Lösung gefunden.
( Konnte ohne Lösung nicht schlafen :-) )

Die Lösung lautet:

a = arctan( sqrt(3) * (y+x) / (y-x) )

b = arcsin( sqrt( 2/3 * [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] (x+y)^2 [/mm] ) ) )

Vielen Dank für alle Nachrichten


> Hallo zusammen,
>  
> bin ganz neu hier und hab schon meine erste Frage:
>  
> Also habe zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (a und b),
> nämlich:
>  
> x = sin(a-60°) * sin b
>  y = sin(a-120°) * sinb
>  
> Für a habe ich eine Lösung gefunden: *stolz*
>  
> a = arctan( sqrt(3) * (x-y) / (x+y) )
>  
> Frage 1:
>  Ist meine Lösung für a richtig?
>  
> Frage 2:
>  Wie lautet die Lösung für b=fkt(x,y)?
>  Ich denke man muss x und y quadrieren und
>  eine "geschickte" Linearkombination bilden. *grübel*
>  
> Liebe Grüße,
>  Marc
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

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