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Forum "Uni-Analysis" - 2 Grenzwerte
2 Grenzwerte < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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2 Grenzwerte: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:45 Sa 21.05.2005
Autor: Berndte2002

Hallo,

hab hier eine Aufgabe zu Grenzwerten, bei der ich überhaupt nicht weiterkomme, da einmal [mm] \bruch{0}{0} [/mm] rauskommen würde und einmal [mm] \infty-\infty. [/mm]

Es handelt sich dabei um folgende zwei Folgen:

1) [mm] \bruch{x^{m}-1}{x^{n}-1} [/mm] für x [mm] \mapsto [/mm] 1, wobei [mm] n,m\in \IZ\setminus{0} [/mm]

2) [mm] \wurzel{(x+a)(x+b)}-x [/mm] für x [mm] \mapsto \infty, [/mm] wobei [mm] a,b\in \IR [/mm]

Kann es auch sein, dass der Grenzwert von den Parametern abhängt?

Ich hoffe es kann wer helfen...
mfg
Berndte

        
Bezug
2 Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:02 Sa 21.05.2005
Autor: Max

Hallo Berndte,

bei dem ersten Grenzwert würde ich die MBLHospitalscheRegel anwenden. Bei dem zweiten Grenzwert kann man entweder ausmultiplzieren und $x$ teilweise Radizieren. Alternativ kann man den Grenzwert [mm] $\infty+\infty$ [/mm] gut einschätzen, deshalb bietet es sich an den Term so zu erweitern, dass man mit der 3. Binomischen Formel den Zähler so vereinfacht, dass dort nicht mehr das störende [mm] $\infty [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] übrig beleibt.

Gruß Max

Bezug
                
Bezug
2 Grenzwerte: Nachfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:41 Sa 21.05.2005
Autor: Berndte2002

Ok, danke erstmal!

Also ersteres ist mir jetzt klar:

[mm] \limes_{x\rightarrow1}\left(\bruch{x^{m}-1}{x^{n}-1}\right) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow1}\left(\bruch{m*x^{m-1}}{n*x^{n-1}}\right) [/mm] = [mm] \bruch{m}{n} [/mm]

Bei der zweiten Folge hab ich nun folgendermaßen erweitert:

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left(\wurzel{(x+a)(x+b)}-x\right) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{(x+a)(x+b)-x^{2}}{\wurzel{(x+a)(x+b)}+x}\right) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{x*(a+b)+ab}{\wurzel{(x+a)(x+b)}+x}\right) [/mm]

Nun hab ich ja quasi den Ausdruck:

[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{\infty}{\infty+\infty}\right) [/mm]

Das sieht ja ganz so aus, als ob das Ganze gegen 0 konvergiert. Kann man das auch noch sauber irgendwie zeigen?

Danke
mfg
Berndte

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Bezug
2 Grenzwerte: x ausklammern und kürzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:08 Sa 21.05.2005
Autor: Loddar

Hallo Berndte!


> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{x*(a+b)+ab}{\wurzel{(x+a)(x+b)}+x}\right)[/mm]
>  
> Nun hab ich ja quasi den Ausdruck:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\left(\bruch{\infty}{\infty+\infty}\right)[/mm]
>  
> Das sieht ja ganz so aus, als ob das Ganze gegen 0
> konvergiert. Kann man das auch noch sauber irgendwie
> zeigen?

Klammere in der Wurzel doch mal [mm] $x^2$ [/mm] aus und anschließend in Nenner und Zähler jeweils $x$. Dies kannst Du dann kürzen und anschließend Deine Grenzwertbetrachtung durchführen (ähnliches Beispiel).

Dann wirst Du auch den Grenzwert erkennen.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
2 Grenzwerte: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:29 Sa 21.05.2005
Autor: Berndte2002

Alles klar, danke, jetzt ist der Groschen gefallen!!!
mfg
Berndte

Bezug
                                        
Bezug
2 Grenzwerte: Ergebnis?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:41 Sa 21.05.2005
Autor: Loddar

Hallo Berndte!


Und, wie lautet nun Dein Ergebnis für die 2. Aufgabe?

Gruß
Loddar


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Bezug
2 Grenzwerte: Ergebnis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:28 Sa 21.05.2005
Autor: Berndte2002

Das Ergebnis ist [mm] \bruch{a+b}{2}, [/mm] hatte ich grad total vergessen mit hinzuschreiben :)
mfg
Berndte

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Bezug
2 Grenzwerte: Stimmt!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:53 Sa 21.05.2005
Autor: Loddar

Hallo Berndte!

> Das Ergebnis ist [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm]

[daumenhoch] Das habe ich auch erhalten!


Gruß
Loddar


Bezug
                        
Bezug
2 Grenzwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:12 Sa 21.05.2005
Autor: FriedrichLaher

Hallo Berndte

1) ok
2): "Kürze"mal durch x ( in der ausmultiplizierten [mm] $\sqrt{..}$ [/mm] natürlich alles durch [mm] $x^2$ [/mm] Teilen )

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