2 Methoden zur homogenen Lsg. < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | wann ist es vorteilhafter eine homogene lösung mit
[mm] x=K*e^{-\integral{f(t)dt}} [/mm]
zu rechnen und wann mittels trennung der variablen?
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die aufgabe [mm] x'+\bruch{1}{t}*x=2*cos(t^2)
[/mm]
kann ich mit beiden methoden berechnen.
homogene Lsg:
[mm] x=K*e^{-\integral\bruch{1}{t}dt}=K*e^{-ln(t)}=K*\bruch{1}{t}
[/mm]
oder
[mm] \bruch{dx}{dt}=-\bruch{x}{t}
[/mm]
[mm] -\integral\bruch{1}{x} dx=\integral{\bruch{1}{t}} [/mm] dt
-ln(x)=ln(t)+ln(c)
[mm] x=\bruch{1}{t*c}=K*\bruch{1}{t}
[/mm]
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Das kannst du so machen wie es dir besser gefällt, die Formel kannst du direkt aus Trennung der Variablen herleiten (etwas physikalisch, korrekt (aber weniger anschaulich) machst du eine Substitution):
[mm]x' = g(x)*f(t)[/mm]
[mm]\frac{dx}{dt} = g(x) * f(t)[/mm]
[mm]\frac{dx}{g(x)} = f(t) * dt[/mm]
[mm]\int \frac{dx}{g(x)} = \int f(t) * dt[/mm]
Wenn nun [mm]g(x) = x[/mm] gilt ist die rechte Seite [mm]\ln x + c[/mm] also ergibt sich nach auflösen:
[mm]x = \exp(\int f(t) * dt - c) = K * \exp(\int f(t) * dt)[/mm] wobei [mm]K = \exp(-c)[/mm] ist.
Das Integral, das du berechnen musst, ist in jedem Fall immer das gleiche, ob du dir nun die Formel merkst oder den etwas allgemeineren Ansatz mit den getrennten Variablen und zusätzlicher Funktion g ist Geschmackssache.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Mi 27.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
ok danke für die erklärung
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