2 Varianten < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Di 21.04.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Ich suche den Schnittpunkt.
Aus Übungszwecken habe ich mal zwei Varianten ausprobiert
g: [mm] \overrightarrow{rx} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 5} [/mm] + t [mm] \vektor{3 \\ 4}
[/mm]
k: 2x + 3y + 3 = 0
Variante 1:
2 + 3t = -1.5y -1.5
5 + 4t = y
2 + 3t = -1.5(5 + 4t) -1.5
9t = -11
t = - [mm] \bruch{11}{9}
[/mm]
g: [mm] \overrightarrow{rx} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 5} [/mm] + - [mm] \bruch{11}{9} \vektor{3 \\ 4} [/mm] = [mm] (-\bruch{5}{3}/\bruch{1}{9})
[/mm]
Variante 2
k: [mm] \overrightarrow{rx} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ - \bruch{5}{3}} [/mm] + k [mm] \vektor{-3 \\ 2}
[/mm]
1 - 3k = 2 + 3t , k = - [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
- [mm] \bruch{5}{3} [/mm] + 2k = 5 + 4t
- [mm] \bruch{5}{3} [/mm] - [mm] \bruch{2}{6} [/mm] = 5 +4t
t= -1.75
Wo ist der Fehler?
Danke
Gruss Dinker
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Hallo!
> k: 2x + 3y + 3
Was ist das denn? Soll das eine Gerade sein? Im Raum kannst du eine Gerade nur durch Parameterform darstellen. Wenn es eine Ebene in Normalenform sein soll, fehlt aber noch die rechte Seite = ...
> Variante 1:
> 2 + 3t = -1.5y -1.5
> 5 + 4t = y
Was hast du denn hier für einen Ansatz genommen? Ich kann leider nicht nachvollziehen, wie du auf die erste Gleichung gekommen bist.
> Variante 2
> k: [mm]\overrightarrow{rx}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ - \bruch{5}{3}}[/mm] + k
> [mm]\vektor{-3 \\ 2}[/mm]
Jetzt gibst du k als Parameterform an, ich vermute daher dass es eine Gerade ist. Und nun willst du den Schnittpunkt mit dem obigen g bestimmen.
> 1 - 3k = 2 + 3t , k = - [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
> - [mm]\bruch{5}{3}[/mm] + 2k = 5 + 4t
Die Gleichungsansätze sind richtig, allerdings verstehe ich nicht wie du auf k = - [mm]\bruch{1}{6}[/mm] kommst? Du hast nun ein Lineares Gleichungssystem, dass es nach k und t aufzulösen gilt.
Bitte schreibe zu den jeweiligen Varianten, was dein Ansatz war. Und überprüf nochmal die beiden Elemente in ihrer Darstellung.
Viele Grüße, Stefan.
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Naja, bei der zweiten Geraden fehlt offensichtlich nur ein "=0" und damit ist das die Darstellung, die man in der 8./9. Klasse kennenlernt (oder so).
Im 2. Weg ist der Fehler das k = - [mm] \bruch{1}{6}. [/mm] Das hat keinen Zusammenhang zu den anderen Gleichungen. Ansonsten passt das alles.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Di 21.04.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
> Hallo!
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> > k: 2x + 3y + 3
>
> Was ist das denn? Soll das eine Gerade sein? Im Raum kannst
> du eine Gerade nur durch Parameterform darstellen. Wenn es
> eine Ebene in Normalenform sein soll, fehlt aber noch die
> rechte Seite = ...
ja so ist es
>
> > Variante 1:
> > 2 + 3t = -1.5y -1.5
> > 5 + 4t = y
>
> Was hast du denn hier für einen Ansatz genommen? Ich kann
> leider nicht nachvollziehen, wie du auf die erste Gleichung
> gekommen bist.
2 + 3t = -1.5x -1.5
> > 5 + 4t = y
So besser?
>
> > Variante 2
> > k: [mm]\overrightarrow{rx}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ - \bruch{5}{3}}[/mm] +
> k
> > [mm]\vektor{-3 \\ 2}[/mm]
>
> Jetzt gibst du k als Parameterform an, ich vermute daher
> dass es eine Gerade ist. Und nun willst du den Schnittpunkt
> mit dem obigen g bestimmen.
genau das will ich
>
> > 1 - 3k = 2 + 3t , k = - [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
> > - [mm]\bruch{5}{3}[/mm] + 2k = 5 + 4t
>
> Die Gleichungsansätze sind richtig, allerdings verstehe ich
> nicht wie du auf k = - [mm]\bruch{1}{6}[/mm] kommst? Du hast nun
> ein Lineares Gleichungssystem, dass es nach k und t
> aufzulösen gilt.
>
> Bitte schreibe zu den jeweiligen Varianten, was dein Ansatz
> war. Und überprüf nochmal die beiden Elemente in ihrer
> Darstellung.
>
> Viele Grüße, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Do 23.04.2009 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
Schnittpunktsuche...
> g: [mm]\overrightarrow{rx}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 5}[/mm] + t [mm]\vektor{3 \\ 4}[/mm]
>
> k: 2x + 3y + 3 = 0
>
>
> Variante 1:
> 2 + 3t = -1.5y -1.5
> 5 + 4t = y
>
> 2 + 3t = -1.5(5 + 4t) -1.5
> 9t = -11
> t = - [mm]\bruch{11}{9}[/mm]
Das ist die korrekte Lösung.
> g: [mm]\overrightarrow{rx}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 5}[/mm] + - [mm]\bruch{11}{9} \vektor{3 \\ 4}[/mm]
> = [mm](-\bruch{5}{3}/\bruch{1}{9})[/mm]
>
> Variante 2
> k: [mm]\overrightarrow{rx}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ - \bruch{5}{3}}[/mm] + k
> [mm]\vektor{-3 \\ 2}[/mm]
Hier frage ich mich, wie du überhaupt auf den Richtungsvektor kommst???
Hier meine Lösungsvariante...
Ich wähle zwei Punkte, z.b. (0 / -1) und ( -1,5 / 0)
=> k: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -1} [/mm] + [mm] r*(\vektor{-1,5 \\ 0} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ -1})
[/mm]
k: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -1} [/mm] + r* [mm] \vektor{-1,5 \\ 1}
[/mm]
-1,5r = 2+3t
-1+r = 5+4t
r = 6 +4t
- 9 -6t = 2+3t
t = - [mm] \bruch{11}{9}
[/mm]
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> Hallo
> Ich suche den Schnittpunkt.
> Aus Übungszwecken habe ich mal zwei Varianten ausprobiert
>
> g: [mm]\overrightarrow{rx}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 5}[/mm] + t [mm]\vektor{3 \\ 4}[/mm]
>
> k: 2x + 3y + 3 = 0
>
>
> Variante 1:
> 2 + 3t = -1.5y -1.5
> 5 + 4t = y
>
> 2 + 3t = -1.5(5 + 4t) -1.5
> 9t = -11
> t = - [mm]\bruch{11}{9}[/mm]
>
> g: [mm]\overrightarrow{rx}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 5}[/mm] + - [mm]\bruch{11}{9} \vektor{3 \\ 4}[/mm]
> = [mm](-\bruch{5}{3}/\bruch{1}{9})[/mm]
>
> Variante 2
> k: [mm]\overrightarrow{rx}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ - \bruch{5}{3}}[/mm] + k
> [mm]\vektor{-3 \\ 2}[/mm]
>
>
> 1 - 3k = 2 + 3t , k = - [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
> - [mm]\bruch{5}{3}[/mm] + 2k = 5 + 4t
>
> - [mm]\bruch{5}{3}[/mm] - [mm]\bruch{2}{6}[/mm] = 5 +4t
> t= -1.75
>
> Wo ist der Fehler?
>
> Danke
> Gruss Dinker
Hallo Dinker,
ich glaube, der Hauptfehler ist, dass du die Aufgabe
etwas zu kompliziert anpackst.
Zuerst wäre noch zu sagen, dass es hier offenbar
um den Schnittpunkt von zwei Geraden in der $\ x-y-$
Ebene (nicht etwa im [mm] \IR^3) [/mm] geht.
Von den beiden Geraden ist die eine durch eine
Parametergleichung, die andere durch eine Koordi-
natengleichung gegeben.
Nun mach dir klar: Auf $\ g$ liegen alle Punkte [mm] P_t(x(t)/y(t)),
[/mm]
wobei $\ t$ eine beliebige reelle Zahl sein darf und
$\ [mm] x=x(t)=2+3\,t$ [/mm] $\ [mm] y=y(t)=5+4\,t$
[/mm]
Auf $\ k$ liegen genau die Punkte [mm] P(x/y)\in\IR^2, [/mm] für
welche die Gleichung $\ [mm] 2\,x [/mm] + [mm] 3\,y [/mm] + 3 = 0$ erfüllen.
Falls nun $\ g$ und $\ k$ überhaupt einen Schnittpunkt [mm] S(x_S/y_S)
[/mm]
haben, so muss es zu diesem Schnittpunkt gemäss
der Parametrisierung von $\ g$ eine Zahl $\ t$ geben. Für
diese Zahl $\ t$ müssten nun die folgenden drei Gleichungen
erfüllt sein:
(1) $\ [mm] x_S\ [/mm] =\ [mm] 2+3\,t$
[/mm]
(2) $\ [mm] y_S\ [/mm] =\ [mm] 5+4\,t$
[/mm]
(3) $\ [mm] 2\,x_S [/mm] + [mm] 3\,y_S [/mm] + 3\ =\ 0$
Nun kannst du einfach die rechten Seiten von (1) bzw. (2)
anstelle von $\ [mm] x_S$ [/mm] bzw. $\ [mm] y_S$ [/mm] in (3) einsetzen:
(3) $\ [mm] 2\underbrace{\ x_S\ }_{2+3t} [/mm] + [mm] 3\underbrace{\ y_S\ }_{5+4t} [/mm] + 3\ =\ 0$
Das führt dann auf eine lineare Gleichung für $\ t$.
Setze dann die Lösung(en) $\ t$ in (1) und (2) ein, um die
Koordinaten [mm] x_S [/mm] und [mm] y_S [/mm] des Schnittpunktes zu erhalten.
LG Al-Chw.
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