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2 Vektorprobleme: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 Mo 27.06.2005
Autor: zlata

Hallo!!!

Frage 1:

Ich habe ein Dreieck ABC mit den Vektoren  [mm] \vec{a}; \vec{b} [/mm] und  [mm] \vec{c}. [/mm] Was sagt dann der Term


[mm] |(\vec{a}- \vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})| [/mm]

aus?!?


Frage 2:

Ich habe z.B. gegeben:

  [mm] \vec{a}= \vektor{2\\ 1\\-3} \vec{b}=\vektor{-4\\ -2\\6} [/mm]  --> die bestimmen ein Parallelogramm, von welchem ich den Flächeninhalt berechnen soll.

Außerdem habe ich gegeben: P(4;-2;3) --> Wozu brauche ich diesen Punkt????

Danke Zlata

  


        
Bezug
2 Vektorprobleme: Hilfe zu 1
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Mo 27.06.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Zlata,

merke: Fragen lieber einzeln posten! Dann werden sie schneller beantwortet, weil mehrere "Experten" zugleich dran arbeiten können!

Hier nun "Experte Zwerglein" für die erste:

> Frage 1:
>  
> Ich habe ein Dreieck ABC mit den Vektoren  [mm]\vec{a}; \vec{b}[/mm]
> und  [mm]\vec{c}.[/mm] Was sagt dann der Term
>
> [mm]|(\vec{a}- \vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})|[/mm]
>  
> aus?!?
>  

(1) Also: Betrag des Kreuzprodukts: Das ergibt die Maßzahl eines Flächeninhalts! (Ich sag' mal vereinfacht: "Flächeninhalt"!)
[mm] |\vec{a} \times \vec{b}| [/mm] ist der doppelte Flächeninhalt Deines Dreiecks bzw. der Inhalt des Parallelogramms, das von [mm] \vec{a} [/mm] und  [mm] \vec{b} [/mm] aufgespannt wird.

(2) Auch  [mm] |(\vec{a}- \vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})| [/mm] ist also ein Flächeninhalt. Aber von was? Bzw. wie groß ist er?
Nun: Du kannst es
- zeichnerisch oder
- rechnerisch
angehen.
Ich geb' Dir mal Hinweise für den rechnerischen Weg:

(3) Du musst das Produkt Stück für Stück ausmultiplizieren:
[mm] |(\vec{a}- \vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})| [/mm]
= [mm] |\vec{a}\times\vec{a} [/mm] + [mm] \vec{a}\times\vec{b} [/mm] - [mm] \vec{b}\times\vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b}\times\vec{b}| [/mm]

(4) Beim Vereinfachen musst Du nun die GESETZE DES VEKTORPRODUKTs beachten, vor allem:
[mm] \vec{a}\times\vec{a} [/mm] = [mm] \vec{o} [/mm] für jeden Vektor des [mm] \IR^{3} [/mm]
und
[mm] \vec{b}\times\vec{a} [/mm] = [mm] -\vec{a}\times\vec{b} [/mm]

(5) Am Ende wirst Du erhalten:
Der gesuchte Ausdruck ist doppelt so groß wie [mm] |\vec{a} \times \vec{b}|, [/mm]
also der 4-fache Flächeninhalt des ursprünglich gegebenen Dreiecks.

Bezug
        
Bezug
2 Vektorprobleme: Bsp 2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:19 Mo 27.06.2005
Autor: Dreieck

Hi!

> Frage 2:
>  
> Ich habe z.B. gegeben:
>  
> [mm]\vec{a}= \vektor{2\\ 1\\-3} \vec{b}=\vektor{-4\\ -2\\6}[/mm]
>  --> die bestimmen ein Parallelogramm, von welchem ich den

> Flächeninhalt berechnen soll.
>  
> Außerdem habe ich gegeben: P(4;-2;3) --> Wozu brauche ich
> diesen Punkt????

Naja, vielleicht liest du einfach die Angaben noch etwas genauer? :-)
Vieleicht soll der Punkt auch nur irrefuehren :-)
Was musst du alles ausrechnen?
Also fuer den Flaecheninhalt und den Umfang reichen die beiden Seitenvektoren.
Aber vielleicht entspricht der Punkt einem Eckpunkt, und du sollst die anderen Punkte ausrechnen?
Aber mit diesen Angaben kann man das nicht eindeutig sagen.
Noetigenfalls frag nochmals den Aufgabensteller.

lG
Peter

Bezug
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