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Forum "Stochastik" - 2 aufgaben
2 aufgaben < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

2 aufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:35 So 18.01.2004
Autor: pfote

kann mir jmd mit diesen zwei aufgaben helfen? es ist volle knäste dringend!



[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
        
Bezug
2 aufgaben: ad 1)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 So 18.01.2004
Autor: Marc

Hallo pfote,

willkommen im MR!

Nun, das ist ganz einfach: Wenn die drei Kinder mit den W'keiten 0,6, 0,7 bzw. 0,8 ein Ziel treffen, dann treffen sie jeweils mit den W'keiten 0,4, 0,3 bzw. 0,2 dieses Ziel nicht (daher kommt 1-0,6, 1-0,3, 1-0,8).
Allgemein liegt das an diesem Zusammenhang zwischen Ereignis und seinem Gegenereignis: [mm] P(A)+P(\bar A)=1 [/mm].

Dass keines der Kinder trifft bedeutet, dass das 1. Kind nicht trifft und das 2. Kind nicht trifft und das 3. Kind nicht. Formal schreibt man das als [mm] A_1\cap A_2\cap A_3 [/mm], falls [mm] A_1, A_2, A_3 [/mm] das Ereignis ist, dass das jeweilige Kind nicht trifft.

Die W'keit dieses Ereignisses ist nun  [mm] A_1\cap A_2\cap A_3 [/mm]:

[mm] P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)*P(A_2)*P(A_3) [/mm], da die drei Ereignisse unabhängig voneinander sind (sonst gilt diese Formel nicht).

In deinem Fall ist nun
[mm] P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)*P(A_2)*P(A_3)=0,4*0,3*0,2=\ldots [/mm].

Dies ist also die W'keit, dass alle drei Kinder nicht treffen; wir wollten aber die W'keit berechnen dafür berechnen, dass die Kinder treffen. Dies ist aber wiederum das Gegenereignis davon, dass sie nicht treffen (das hört sich kompliziert an, ist aber total simpel).

Es ist also die gesuchte W'keit

[mm] 1-P(A_1\cap A_2\cap A_3)=1-P(A_1)*P(A_2)*P(A_3)=1-0,4*0,3*0,2=1-\ldots [/mm]

Bei weiteren Fragen stelle sie bitte hier im MR.

Die zweite Frage beantworte ich gleich.

Viele Grüße,
Marc.

Bezug
                
Bezug
2 aufgaben: ad 1)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 So 18.01.2004
Autor: pfote

mir ist schon klar, dass das immer das gegenereignis ist, aber mir ist nicht klar, warum das so gemacht wird! weil ich würde halt nur 0,6 * 0,7 * 0,8 machen! rein logisch für mich halt!

Bezug
                        
Bezug
2 aufgaben: ad 1)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 So 18.01.2004
Autor: Marc

Hallo pfote,

> mir ist schon klar, dass das immer das gegenereignis ist,
> aber mir ist nicht klar, warum das so gemacht wird! weil
> ich würde halt nur 0,6 * 0,7 * 0,8 machen! rein logisch für
> mich halt!

Ist das denn jetzt mit der 2. Aufgabe klar?

Wenn du "nur" 0,6 * 0,7 * 0,8 rechnest, dann ist das die W'keit dass alle drei Kinder treffen. Die Frage ist aber so zu verstehen, dass mindestens eines der Kinder treffen soll, denn dann wäre "das Ziel ja getroffen".

Alles klar?

Marc.

Bezug
                                
Bezug
2 aufgaben: ad 1)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:47 So 18.01.2004
Autor: pfote

hab vorhin nochmal ganz unten was hingeschrieben dazu!

Bezug
        
Bezug
2 aufgaben: ad 2)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:26 So 18.01.2004
Autor: Marc

Hallo pfote,

diese Aufgabe löst sich natürlich genauso wie die erste.

Der Umweg über die Gegenereignisse ist hier der geschickteste Weg, denn:

Die W'keit, dass einer Person an mindestens einer Krankheit erkrankt, ist genau das Gegenereignis davon, dass sie an keiner Krankheit erkrankt.

Wenn man diesen Umweg nicht geht, müßte man folgende Fälle einzeln berechnen, was letztendlich viel umständerlicher ist:

P(Person erkrankt an mindestens einer Krankheit) = P(Person erkrankt an A und an B) + P(Person erkrankt an A und nicht an B) + P(Person erkrankt nicht an A, aber an B).

Da ist es einfacher, zu rechnen:
P(Person erkrankt an mindestens einer Krankheit) = 1 - P(Person erkrankt weder an A noch an B).

Vielleicht wird es so auch noch deutlicher:
Die Person hat doch 4. verschiedene "Krankheitsfälle":
1. Person weder an A noch an B erkrankt
2. Person an A, aber nicht an B erkrankt
3. Person nicht A, aber an B erkrankt
4. Person an A und an B erkrankt

Einer dieser vier (sich gegenseitig ausschließenden) Fälle muß vorliegen, es gilt deswegen offenbar:
P(Person weder an A noch an B erkrankt)+P(Person an A, aber nicht an B erkrankt)+P(Person nicht A, aber an B erkrankt)+P(Person an A und an B erkrankt) = 1

formal:

[mm] P(\bar A\cap\bar B) + \underbrace{P(A\cap\bar B) +P(\bar A\cap B) +P( A\cap B)}_{\mbox{dies ist die gesuchte W'keit}} = 1 [/mm]

Deswegen rechnet man
[mm] \underbrace{P(A\cap\bar B) +P(\bar A\cap B) +P( A\cap B)}_{\mbox{dies ist die gesuchte W'keit}} = 1- P(\bar A\cap\bar B) [/mm]

Alles klar?

Melde dich, falls nicht.

Alles Gute,
Marc.

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Bezug
2 aufgaben: ad 2)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 So 18.01.2004
Autor: pfote

auf gut deutsch ist das so in der art, eine wegstreichung? also wenn ich z.b. x - x hätte, dann so was?

Bezug
                        
Bezug
2 aufgaben: ad 2)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 So 18.01.2004
Autor: Marc

Hallo pfote,

> auf gut deutsch ist das so in der art, eine wegstreichung?
> also wenn ich z.b. x - x hätte, dann so was?

Häh?

Wo wird denn da was weggestrichen?
Das ist die einfache Beobachtung, dass z.B. bei einem Würfel die W'keit, dass "eine 6 kommt oder es kommt keine 6" immer eintritt, da es für den Würfel keine andere Möglichkeit gibt, außer "6" und "nicht 6". Also ist
P("es kommt 6") + P("es kommt keine 6") = 1 = 100%

Viele Grüße,
Marc

Bezug
                                
Bezug
2 aufgaben: ad 2)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 So 18.01.2004
Autor: pfote

also heißt die erste 1 im allgemeinen es ist das gegenereignis und die 1 in den klammern, auch?

Bezug
                                        
Bezug
2 aufgaben: ad 2)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:43 So 18.01.2004
Autor: Marc

Hallo pfote,

mmh, so ähnlich.

Die 1 ist die W'keit des sicheren Ereignisses, also eines Ereignisses, dass immer eintritt, wie z.B. bei meinem Würfel-Beispiel.

Wenn man nun schreibt "1-P(A)" dann ist das die W'keit des Gegenereignisses von [mm] A [/mm], also von [mm] \bar A [/mm]:

[mm] P(\bar A) = 1- P(A) [/mm]

Diese Formel folgt ganz einfach aus:

[mm] P(\bar A) + P(A) = 1 [/mm]

Entweder tritt ein Ereignis ein, oder eben nicht. Die W'keit beider zusammen ist 100%, also 1.

Viele Grüße,
Marc.

PS: Es wäre nett, wenn du deinen eMail-Auto-responder ausschalten würdest, da du den MatheRaum damit zuspammst und übrigens Spammern, vor denen du dich dadurch ja gerade schützen willst, zeigst, dass deine eMail-Adresse gültig ist und sie dich deswegen nur noch mehr zuspammen.

Oder stelle in deinem Profil die eMail-Benachrichtungen ab.

Bezug
                                                
Bezug
2 aufgaben: ad 2)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:48 So 18.01.2004
Autor: pfote

hab vorhin nochmal ganz unten was hingeschrieben dazu!

Bezug
        
Bezug
2 aufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:06 So 18.01.2004
Autor: pfote

also könnte ich das dann auch so schreiben? eigentlich so normal wie immer, nur dass es länger dauert, nur verstehe ich das andere einfach überhaupt nicht!
[Dateianhang nicht öffentlich][Dateianhang nicht öffentlich]


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
2 aufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 So 18.01.2004
Autor: Marc

Hallo pfote,

bitte stelle doch die Sachen hier ins Forum, das ist für alle Beteiligten einfacher. Nach ein paar Wochen, wenn du die beiden PDF-Dateien auf deinem Server gelöscht hast, kann man so immer noch nachvollziehen, worum es in deiner Frage geht. Außerdem könnte ich jetzt auf einzelne Textpassagen Bezug nehmen, davon würdest du jetzt auch profitieren.

Zu Aufgabe 1)

Zu "Also könnte ich auch so schreiben?":
Ja, genau, so könntest du es auch schreiben.
Hier rechnest du 7 Einzel-Wahrscheinlichkeiten aus; es fehlt in dieser Liste (und das ist auch richtig so) die W'keit, dass keiner trifft; diese W'keit würde die Summe der 7 Einzel-W'keiten zu 1 ergänzen.
Nun frage ich dich: Findest du es einfacher, 7 Einzel-W'keiten auszurechnen oder stattdessen 1 minus die W'keit 0,4*0,3*0,2, dass keiner trifft?

Dass diese Rechenweise logisch ist, kannst du schon an den Ergebnissen sehen, die ja offenbar gleich sind.

Wenn du eingesehen hast, dass "1 minus die W'keit 0,4*0,3*0,2" einfacher zu rechnen ist, hast du auch verstanden, warum man zweimal mit Gegenereignissen arbeitet, denn: 0,4, 0,3 und 0,2 sind die Gegenw'keiten zu den gegebenen W'keiten und "1 minus die W'keit 0,4*0,3*0,2" ist wieder eine Gegenw'keit.

Nochmal zur Verdeutlichung, damit muß es jetzt klar werden. Für die Treffer gibt es nur diese 8 Möglichkeiten, wobei [mm] A,B,C [/mm] die Ereignisse sind, dass die einzelnen Kinder treffen.

[mm] A\cap B\cap C [/mm] (alle Kinder treffen)
[mm] \bar A\cap B\cap C [/mm] (2 Kinder treffen)
[mm] A\cap \bar B\cap C [/mm]
[mm] A\cap B\cap \bar C [/mm]
[mm] \bar A\cap \bar B\cap C [/mm] (1 Kind trifft)
[mm] \bar A\cap B\cap \bar C [/mm]
[mm] A\cap \bar B\cap \bar C [/mm]
[mm] \bar A\cap \bar B\cap \bar C [/mm] (kein Kind trifft)

Die W'keiten dieser 8 Ereignisse ergeben zusammen 100%, also 1.

Gesucht ist die Summe der W'keiten der ersten 7 Möglichkeiten, da in diesen 7 Fällen die Zielscheibe getroffen wird; nur im 8. Fall wird sie nicht getroffen.

Formal:

[mm] \underbrace{P(A\cap B\cap C)+P(\bar A\cap B\cap C)+P(A\cap \bar B\cap C)+P(A\cap B\cap \bar C) +P(\bar A\cap \bar B\cap C)+P(\bar A\cap B\cap \bar C) +P(A\cap \bar B\cap \bar C)}_{\mbox{=gesuchte W'keit}}\\+P(\bar A\cap \bar B\cap \bar C)=1[/mm]

Deswegen:
[mm] \underbrace{P(A\cap B\cap C)+P(\bar A\cap B\cap C)+P(A\cap \bar B\cap C)+P(A\cap B\cap \bar C) +P(\bar A\cap \bar B\cap C)+P(\bar A\cap B\cap \bar C) +P(A\cap \bar B\cap \bar C)}_{\mbox{=gesuchte W'keit}}=1-P(\bar A\cap \bar B\cap \bar C)[/mm]

bzw. noch deutlicher:
[mm] \mbox{=gesuchte W'keit}=1-P(\bar A\cap \bar B\cap \bar C)[/mm]

Ist nun alles klar?

Bei der zweiten Aufgabe ist auch alles in Ordnung, nur ist die zweite Lösung (wie bei der ersten Aufgabe auch) die umständlichere.

Alles Gute,
Marc.

Bezug
                        
Bezug
2 aufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 So 18.01.2004
Autor: pfote

also nochmal, die aufgabe hat den haken, wenn ich die wahrscheinlichkeit ausrechne, muss ich viele zahlen hinschreiben! nehme ich das gegenereignis muss ich nur wenige zahlen hinschreiben! und da das ergebnis  ja dann in ner weise das gegenteil von dem ist, was ich ausrechne 1 - das ergebnis?

Bezug
                                
Bezug
2 aufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 So 18.01.2004
Autor: Marc

Hallo pfote,

bitte stelle den Auto-Responder deiner eMail-Adresse ab oder deaktiviere die eMail-Benachrichtungen hier in deinem Profil!!

> also nochmal, die aufgabe hat den haken, wenn ich die
> wahrscheinlichkeit ausrechne, muss ich viele zahlen
> hinschreiben! nehme ich das gegenereignis muss ich nur
> wenige zahlen hinschreiben! und da das ergebnis  ja dann in
> ner weise das gegenteil von dem ist, was ich ausrechne 1 -
> das ergebnis?

So ist es :-)

Ich denke, du hast nun die Vorteile der Gegenw'keiten begriffen :-)

Alles Gute,
Marc.



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