2 kleine Integralprobleme < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Sa 26.06.2010 | | Autor: | mero |
| Aufgabe 1 | [mm] \integral_{3}^{4}{\bruch{2x^3-20x+33}{x^2+2x-8} dx}
[/mm]
Nullstellen:
[mm] x^2+2x-8:
[/mm]
x1 = -4
x2 = 2
Partialbruch:
[mm] \bruch{A}{x+4} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x-2}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] 2x^3-20x+33 [/mm] = Ax - 2A + Bx + 4B
Für x Nullstellen einsetzten:
A= [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
B = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] \integral_{3}^{4}{\bruch{\bruch{5}{2}}{x+4} dx} [/mm] + [mm] \integral_{3}^{4}{\bruch{\bruch{3}{2}}{x-2} dx}
[/mm]
=> [mm] \bruch{5*(ln(x+4))}{2} [/mm] + [mm] \bruch{3*ln(x-2))}{2}
[/mm]
Ich höre hier auf, denn ab hier kommt meine Frage.
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| Aufgabe 2 | [mm] \integral_{2}^{3}{\bruch{x^4-3}{x^3-x} dx}
[/mm]
Polynomdivision?
[mm] (x^4-3):(x^3-x) [/mm] = x [....] |
Hallo,
Aufgabe 1:
zum Integral in Aufgabe 1 habe ich eine Frage, ich habe doch soweit alles richtig gemacht, aber lt. einem CAS kommt noch ein [mm] x^2-4x [/mm] als Stammfunktion dahinter. Aber ich weiß nicht wo das herkommt, ich muss irgendwas vergessen haben bei Aufgabe 1. Kann mir jmd. sagen wo das herkommt, bzw. was ich noch beachten muss?
Aufgabe 2:
Meine zweite Frage ist, wie muss ich bei dem Integral vorgehen, diese Fkt. ist ja unecht gebrochen und ich wollte eine Polynomdivision durchführen, aber da komm ich nicht weiter nach dem x. Ist der Ansatz falsch? Muss ich was anderes machen, oder mache ich die Polynomdivison einfach falsch?
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 Sa 26.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo mero!
> Polynomdivision?
Ja, der Ansatz mit der  Polynomdivision ist korrekt.
> [mm](x^3-3):(x^3-x)[/mm] = x [....]
In der vorderen Klammer muss es [mm] $x^4$ [/mm] heißen.
Was ergibt denn nun [mm] $x*\left(x^3-x\right)$ [/mm] ?
Ziehe diesen Term dann von [mm] $\left(x^4-3\right)$ [/mm] ab.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Sa 26.06.2010 | | Autor: | mero |
Hallo,
ja stimmt, ich habe es korregiert. Danke ;)
Also ich habe das so gemacht:
[mm] (x^4 [/mm] -3) : [mm] (x^3-x)= [/mm] x - [mm] \bruch{x^2-3}{x^3-x}
[/mm]
[mm] x^4 -x^2
[/mm]
[mm] -x^2 [/mm] - 3
Weil als Rest ja [mm] -x^2 [/mm] und -3 überbleibt. Ist das so richtig? Muss ich dann auf den hinteren Teil nochmal die Partialbruchzerlegung anwenden?
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Hallo mero,
> Hallo,
> ja stimmt, ich habe es korregiert. Danke ;)
>
> Also ich habe das so gemacht:
>
> [mm](x^4[/mm] -3) : [mm](x^3-x)=[/mm] x - [mm]\bruch{x^2-3}{x^3-x}[/mm]
> [mm]x^4 -x^2[/mm]
> [mm]-x^2[/mm] - 3
>
> Weil als Rest ja [mm]-x^2[/mm] und -3 überbleibt. Ist das so
Hier hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm](x^4 -3) : (x^3-x)= x \red{+}\bruch{x^2-3}{x^3-x}[/mm]
> richtig? Muss ich dann auf den hinteren Teil nochmal die
> Partialbruchzerlegung anwenden?
So ist es.
Gruss
MathePower
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Hallo mero,
> [mm]\integral_{3}^{4}{\bruch{2x^3-20x+33}{x^2+2x-8} dx}[/mm]
>
> Nullstellen:
> [mm]x^2+2x-8:[/mm]
> x1 = -4
> x2 = 2
>
> Partialbruch:
> [mm]\bruch{A}{x+4}[/mm] + [mm]\bruch{B}{x-2}[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]2x^3-20x+33[/mm] = Ax - 2A + Bx + 4B
>
> Für x Nullstellen einsetzten:
> A= [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> B = [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>
> [mm]\integral_{3}^{4}{\bruch{\bruch{5}{2}}{x+4} dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{3}^{4}{\bruch{\bruch{3}{2}}{x-2} dx}[/mm]
>
> => [mm]\bruch{5*(ln(x+4))}{2}[/mm] + [mm]\bruch{3*ln(x-2))}{2}[/mm]
> Ich höre hier auf, denn ab hier kommt meine Frage.
> Hallo,
>
> Aufgabe 1:
> zum Integral in Aufgabe 1 habe ich eine Frage, ich habe
> doch soweit alles richtig gemacht, aber lt. einem CAS kommt
> noch ein [mm]x^2-4x[/mm] als Stammfunktion dahinter. Aber ich weiß
> nicht wo das herkommt, ich muss irgendwas vergessen haben
> bei Aufgabe 1. Kann mir jmd. sagen wo das herkommt, bzw.
> was ich noch beachten muss?
Da der Zählergrad (3) größer als der Nennergrad (2) mußt Du
zuerst eine Polynomdivision durchführen.
>
> MfG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 So 27.06.2010 | | Autor: | mero |
| Aufgabe | [mm] \integral_{3}^{4}{\bruch{2x^3-20x+33}{x^2+2x-8} dx}
[/mm]
Da die Funktion Unecht Gebrochen (Zählerporenz > Nennerpotenz) ist wende ich die Polynom division an:
[mm] (2x^3-20x+33):(x^2+2x-8) [/mm] = 2x + [mm] \bruch{-4x^2-20x+33}{x^2+2x-8}
[/mm]
Nun wende ich die Partialbruchzerlegung auf den hinteren Term an (Nullstellen von dem Nenner x1 = -4 x2 = 2:
[mm] \bruch{A}{(x+4)}+\bruch{B}{(x-2)}
[/mm]
Wenn ich das jetzt löse komme ich für
A = -8,166
B = 3,88 |
Hallo,
ich habe mich jetzt nochmal an dieser Aufgabe versucht. Bei meinem jetzigen Versuch bin ich noch weiter von dem Ergebnis entfernt als oben, denn oben stimmen schonmal die 5*ln[...]/2 etc.
Was habe ich diesmal falsch gemacht? Muss ich die 2x von der Polynomdivison auch noch irgendwie beachten?
Gruß
Mero
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 So 27.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mero!
Zum einen musst Du die Polynomdivision so weit durchführen, dass der Zählergrad echt kleiner ist als der Nennergrad. Das ist bei Dir nicht der Fall.
Und zum anderen musst Du bei der Bildung der Stammfunktion selbstverständlich auch die ganzrationalen Terme wie z.B. das $2*x_$ mitberücksichtigen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 So 27.06.2010 | | Autor: | mero |
| Aufgabe | [mm] \integral_{3}^{4}{\bruch{2x^3-20x+33}{x^2+2x-8} dx}
[/mm]
Nullstellen:
[mm] x^2+2x-8:
[/mm]
x1 = -4
x2 = 2
Partialbruch:
[mm] \bruch{A}{x+4} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x-2}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] 2x^3-20x+33 [/mm] = Ax - 2A + Bx + 4B
Für x Nullstellen einsetzten:
A= [mm] \bruch{5}{2} [/mm] => [mm] \bruch{\bruch{5}{2}}{(x+4)}
[/mm]
B = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] => [mm] \bruch{\bruch{3}{2}}{(x-2)}
[/mm]
Nun ist die Funktion aber Unechtgebrochen, also muss ich die Polynomdivision solange durchführen, bis die Funktion echt gebrochen ist also:
1. Polynomdivision:
[mm] (2x^3-20x+33):(x^2+2x-8) [/mm] = 2x - [mm] \bruch{-4x^2-4x+33}{x^2+2x-8}
[/mm]
[mm] -(2x^3 +4x^2-16x)
[/mm]
[mm] -4x^2-4x+33
[/mm]
2. Polynomdivision um auf eine echt gebrochen Fkt. zu kommen:
[mm] (-4x^2-4x+33)(x^2+2x-8) [/mm] = -4 [mm] +\bruch{4x+1}{x^2+2x-8}
[/mm]
[mm] -(-4x^2-8x+32)
[/mm]
+4x+1
I: 2x - [mm] \bruch{-4x^2-4x+33}{x^2+2x-8}
[/mm]
II: -4 [mm] +\bruch{4x+1}{x^2+2x-8}
[/mm]
Ich glaube nun habe ich einen Fehler gemacht, denn ich habe immer auf den echt gebrochen rationalen Teil die Partialbruchzerlegung angewandt. Aber ich glaube das ist Falsch, oder? (Dann kommen ganz krumme Zahlen raus, die nicht zur Lösung passen)
Weil wenn ich mir nun meine Ergebnisse anschaue kann ich folgendes sagen:
Die Partialbruchzerlegung von oben mit
A= [mm] \bruch{5}{2} [/mm] => [mm] \bruch{\bruch{5}{2}}{(x+4)}
[/mm]
B = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] => [mm] \bruch{\bruch{3}{2}}{(x-2)}
[/mm]
ist richtig (lt. Lösung)
wenn ich nun den ganz rationalen Teil der beiden Polynom division anschaue sind das genau die Teile, die mir zur richtigen Stammfunktion fehlen.
Muss ich also von den Polynomdivisionen nur den echt gebrochenen Teil mit ins Integral ziehen, also so?
[mm] \integral_{3}^{4}{\bruch{\bruch{5}{2}}{(x+4)} dx}+ \integral_{3}^{4}{\bruch{\bruch{3}{2}}{(x-2)} dx} [/mm] + [mm] \integral_{3}^{4}{2x dx} [/mm] - [mm] \integral_{3}^{4}{4 dx}
[/mm]
und kann den echt gebrochen Teil "eigl." außer Acht lassen?
Wenn das so wäre, hätte ich das Integral richtig, den es kommt raus
[mm] [\bruch{5*ln(x+4)}{2}+\bruch{3*ln(x-2)}{2}+x^2-4x] [/mm] |
Hallo,
ich hoffe Ihr habt noch Geduld mit mir. Ich glaube (aber ich glaube wirklich nur) ich habe es nun hinbekommen, wenn mein Weg oben richtig ist.
Kann mir jmd. folgen? Ist das so richtig?
Ich hoffe doch!
Danke nochmal an Euch, habt mir wirlich sehr geholfen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 So 27.06.2010 | | Autor: | Melvissimo |
> Muss ich also von den Polynomdivisionen nur den echt
> gebrochenen Teil mit ins Integral ziehen, also so?
>
[...]
>
> und kann den echt gebrochen Teil "eigl." außer Acht
> lassen?
Ich weiß leider nicht, was du mit dieser Frage meinst, sie ergibt für mich keinen Sinn.
> [mm]\integral_{3}^{4}{\bruch{\bruch{5}{2}}{(x+4)} dx}+ \integral_{3}^{4}{\bruch{\bruch{3}{2}}{(x-2)} dx}[/mm] + [mm]\integral_{3}^{4}{2x dx}[/mm] + [mm]\integral_{3}^{4}{4 dx}[/mm]
Wenn ich das hier richtig sehe, müsste es doch eigentlich
[mm]\integral_{3}^{4}{\bruch{\bruch{5}{2}}{(x+4)} dx}+ \integral_{3}^{4}{\bruch{\bruch{3}{2}}{(x-2)} dx}[/mm] + [mm]\integral_{3}^{4}{2x dx}[/mm] - [mm]\integral_{3}^{4}{4 dx}[/mm] heißen, oder?
> Wenn das so wäre, hätte ich das Integral richtig, den es
> kommt raus
>
> [mm][\bruch{5*ln(x+4)}{2}+\bruch{3*ln(x-2)}{2}+x^2+4x][/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 So 27.06.2010 | | Autor: | mero |
Ja du hast Recht, ich habe mich verschrieben.
Das ist ein -
Naja, wenn ich das so schreibe habe ich den echt gebrochen rationalen Teil der ersten und zweiten Polynomdivision ja nicht wirklich irgendwo mit einbezogen
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> A= [mm]\bruch{5}{2}[/mm] => [mm]\bruch{\bruch{5}{2}}{(x+4)}[/mm]
> B = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] => [mm]\bruch{\bruch{3}{2}}{(x-2)}[/mm]
-4 [mm]+\bruch{4x+1}{x^2+2x-8}[/mm]
> [mm]-(-4x^2-8x+32)[/mm]
> +4x+1
>
>
> I: 2x - [mm]\bruch{-4x^2-4x+33}{x^2+2x-8}[/mm]
> II: -4 [mm]+\bruch{4x+1}{x^2+2x-8}[/mm]
>
> Muss ich also von den Polynomdivisionen nur den echt
> gebrochenen Teil mit ins Integral ziehen, also so?
Nach deiner Mitteilung gehe ich davon aus, dass du hier den ganz-rationalen Term meinst
> [mm]\integral_{3}^{4}{\bruch{\bruch{5}{2}}{(x+4)} dx}+ \integral_{3}^{4}{\bruch{\bruch{3}{2}}{(x-2)} dx}[/mm]
> + [mm]\integral_{3}^{4}{2x dx}[/mm] - [mm]\integral_{3}^{4}{4 dx}[/mm]
>
> und kann den echt gebrochen Teil "eigl." außer Acht
> lassen?
Den echt gebrochenen Teil deiner Polynom-Division hast du bereits mithilfe des Partial-Bruches ausgedrückt.
das kannst du ganz leicht selbst feststellen, indem du $ [mm] \bruch{\bruch{5}{2}}{(x+4)} +\bruch{\bruch{3}{2}}{(x-2)} [/mm] $ einmal zu einem einzigen Bruch zusammenfasst.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:07 So 27.06.2010 | | Autor: | mero |
Hallo,
Danke für die Antwort, ich glaube genau das meinte ich.
Da ich die Partialbruchzerlegung schon au der Ursprungsfunktion gezogen habe, brauche ich die echt gebrochen rationalen Ausdrücke der Polynomdivision nicht mehr zu "berücksichtigen" und muss mir nur noch den ganz rationalen Teil der Poly-Division anschauen.
Das ist richtig, oder ein Zufall das es hier so aufgeht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 So 27.06.2010 | | Autor: | mero |
Ok, alles geklärt. Mein Fehler.... habs hinbekommen :))
aber ich glaube die möglichkeit oben geht auch, oder man macht die Polynomdivision direkt richtig :)
Danke trozdem :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Sa 26.06.2010 | | Autor: | mero |
Danke Euch, ich glaube ich habs hinbekommen ;)
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