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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:58 So 11.07.2010 | | Autor: | wuto |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden und die Punkte minimalen Abstands.
G1 : v=(1,0,0) + lamda*(1,2,3)
G2: v=(0,1,0) + lamda*(3,2,1) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi Leute.
Der Abstand der beiden Geraden müsste 12/sqrt(96) betragen. Bitte korrigiert mich, wenn ich falsch liege. Meine Frage ist jetzt: Wie komme ich auf die Punkte mit minimalem Abstand auf beiden Geraden? Ich denke mal, dass ich irgendwie über das Kreuzprodukt gehen und dann ein LGS aufstellen muss. Ich bitte um genauere Hilfe. Vielen Dank im Voraus!
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Hallo wuto, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich hab jetzt erstmal nichts nachgerechnet - aber wie kommst Du denn auf den Abstand der Geraden? Da hast Du doch schon das meiste gerechnet, was du auch weiter brauchst.
> Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden und die Punkte
> minimalen Abstands.
> G1 : v=(1,0,0) + lamda*(1,2,3)
> G2: v=(0,1,0) + lamda*(3,2,1)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich denke mal, dass
> ich irgendwie über das Kreuzprodukt gehen und dann ein LGS
> aufstellen muss.
Ja, nicht schlecht. Das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren gibt Dir die Richtung der gesuchten kürzesten Strecke. Nun brauchst Du nur noch einen Ansatz, der einen (vorerst beliebigen) Punkt der einen Gerade mit einem (ebenfalls noch beliebigen) Punkt der anderen Gerade in dieser Richtung verbindet. Es gibt nur eine Lösung, und Du findest sie in der Tat über das sich ergebende LGS.
Du bist also auf dem richtigen Weg. Mach weiter!
Nebenbei: [mm] \lambda [/mm] schreibt man hier \lambda, und wenn Du dem Buchstabennamen sein "b" gönnst, klappt auch die Darstellung.
Vektoren gehen auch: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] schreibt man \vektor{1 \\ 0 \\ 0}.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 So 11.07.2010 | | Autor: | wuto |
Danke erstmal für die Antwort! Bin ganz neu hier, deswegen kenne ich mich mit den Darstellungsformen noch nich so gut aus.
Also den Abstand habe ich folgendermaßen berechnet:
[mm] \bruch{| <(p2-p1),s> |}{||s||}
[/mm]
p2-p1 ist der Verbindungsvektor der beiden Stützvektoren und s das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren. ||s|| ist die Länge des Vektors s.
Okay dann war ich mit dem LGS ja nicht so ganz auf dem Holzweg. Bin mir jedoch immernoch nicht ganz sicher wie ich es aufstellen soll bzw. was ich gleichsetzen soll.
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] * [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] = [mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm] + [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] * [mm] \vektor{-4 \\ 8 \\ -4}
[/mm]
Vielleicht so? [mm] \vektor{-4 \\ 8 \\ -4} [/mm] Wäre hier das Kreuzprodukt.
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Hallo wuto,
> Danke erstmal für die Antwort! Bin ganz neu hier, deswegen
> kenne ich mich mit den Darstellungsformen noch nich so gut
> aus.
> Also den Abstand habe ich folgendermaßen berechnet:
> [mm]\bruch{| <(p2-p1),s> |}{||s||}[/mm]
> p2-p1 ist der
> Verbindungsvektor der beiden Stützvektoren und s das
> Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren. ||s|| ist die
> Länge des Vektors s.
> Okay dann war ich mit dem LGS ja nicht so ganz auf dem
> Holzweg. Bin mir jedoch immernoch nicht ganz sicher wie ich
> es aufstellen soll bzw. was ich gleichsetzen soll.
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\vektor{x\\y\\z}[/mm] *
> [mm]\vektor{1\\2\\3}[/mm] = [mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm] + [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> * [mm]\vektor{-4 \\ 8 \\ -4}[/mm]
> Vielleicht so? [mm]\vektor{-4 \\ 8 \\ -4}[/mm]
> Wäre hier das Kreuzprodukt.
>
Der Ansatz führt über die Minimierung des Abstandes
[mm]d:=\wurzel{\left(g_{1}-g_{2}\right) \* \left(g_{1}-g_{2}\right)}[/mm]
zu dem besagten LGS
Hier ist [mm]g_{1}:\overrightarrow{x}=\pmat{1 \\ 0 \\ 0}+\lambda*\pmat{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
und [mm]g_{2}:\overrightarrow{x}=\pmat{0 \\ 1 \\ 0}+\mu*\pmat{3 \\ 2 \\ 1}[/mm]
Um auf das LGS zu kommen, differenziere d nach [mm]\lambda, \ \mu[/mm]
Dann muss gelten:
[mm]\bruch{\partial d }{\partial \lambda}=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial d }{\partial \mu}=0[/mm]
Betrachte statt d besser [mm]d^{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 So 11.07.2010 | | Autor: | Pappus |
> Danke erstmal für die Antwort! Bin ganz neu hier, deswegen
> kenne ich mich mit den Darstellungsformen noch nich so gut
> aus.
> Also den Abstand habe ich folgendermaßen berechnet:
> [mm]\bruch{| <(p2-p1),s> |}{||s||}[/mm]
> p2-p1 ist der
> Verbindungsvektor der beiden Stützvektoren und s das
> Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren. ||s|| ist die
> Länge des Vektors s.
> Okay dann war ich mit dem LGS ja nicht so ganz auf dem
> Holzweg. Bin mir jedoch immernoch nicht ganz sicher wie ich
> es aufstellen soll bzw. was ich gleichsetzen soll.
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\vektor{x\\y\\z}[/mm] *
> [mm]\vektor{1\\2\\3}[/mm] = [mm]\vektor{0\\1\\0}[/mm] + [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> * [mm]\vektor{-4 \\ 8 \\ -4}[/mm]
> Vielleicht so? [mm]\vektor{-4 \\ 8 \\ -4}[/mm]
> Wäre hier das Kreuzprodukt.
>
Guten Tag!
1. Um Konfusionen vorzubeugen habe ich die Geradengleichungen geringfügig verändert:
[mm]g_1: \vec{x} = \vektor{1 \\ 0 \\ 0}+\lambda \vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
[mm]g_2: \vec{x} = \vektor{0 \\ 1 \\ 0}+\mu \vektor{3 \\ 2 \\ 1}[/mm]
2. Den Verbindungsvektor [mm]\vec{s}[/mm] zwischen den beiden Punkten der beiden Geraden, die den kürzesten Abstand definieren, hast Du mit dem Kreuzprodukt richtig berechnet.
3. Du musst nun eine Gerade definieren, die durch einen beliebigen Punkt von [mm]g_1[/mm] läuft, die Richtung von [mm]\vec{s}[/mm] hat und durch einen Punkt von [mm]g_2[/mm] läuft:
[mm]\overbrace{\underbrace{\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+\lambda \vektor{1 \\ 2 \\ 3}}_{Startpunkt auf g_1} + \sigma \cdot \vec{s}}^{Verbindungsgerade}= \underbrace{\vektor{0 \\ 1 \\ 0}+\mu \vektor{3 \\ 2 \\ 1}}_{Endpunkt auf g_2}[/mm]
4. Dieses LGS in [mm](\lambda, \mu,\sigma)[/mm] hat eine eindeutige Lösung.
Salve
Pappus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:52 Mo 12.07.2010 | | Autor: | wuto |
Vielen Dank für eure Hilfe. Ihr habt mir sehr geholfen. Habe das LGS mal ausgerechnet. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann müsste der Punkt auf g1 [mm] \vektor{1,25 \\ 0,5 \\ 0,75} [/mm] und auf g2 [mm] \vektor{0,75 \\ 1,5 \\ 0,25} [/mm] lauten.
Danke nochmal und schönen Abend.
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