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2x2-Matrix bildet ggT < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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2x2-Matrix bildet ggT: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 Mo 01.10.2012
Autor: triad

Aufgabe
Für [mm] a,b\in\IZ [/mm] sei [mm] d\in\IZ [/mm] ein ggT von a und b. Zeige, dass eine Matrix [mm] A\in M_{2\times2}(\IZ) [/mm] existiert, mit [mm] \operatorname{det}(A)=1 [/mm] und [mm] A\cdot{\vektor{a\\b}}=\vektor{d\\0}. [/mm]

Hallo.

Man soll hier eine Matrix finden, deren Determinante 1 ist und die einen Vektor auf einen Vektor abbildet, dessen erste Komponente der ggT der beiden Komponenten des ersten Vektors ist, die zweite Komponente soll 0 sein. Hat jemand eine Idee wie man da heran gehen kann? Für mich ist es schwer vorstellbar, dass man mit einer "kleinen" 2x2-Matrix ein ggT bilden kann.

        
Bezug
2x2-Matrix bildet ggT: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:28 Mo 01.10.2012
Autor: felixf

Moin!

> Für [mm]a,b\in\IZ[/mm] sei [mm]d\in\IZ[/mm] ein ggT von a und b. Zeige, dass
> eine Matrix [mm]A\in M_{2\times2}(\IZ)[/mm] existiert, mit
> [mm]\operatorname{det}(A)=1[/mm] und
> [mm]A\cdot{\vektor{a\\b}}=\vektor{d\\0}.[/mm]
>  
> Man soll hier eine Matrix finden, deren Determinante 1 ist
> und die einen Vektor auf einen Vektor abbildet, dessen
> erste Komponente der ggT der beiden Komponenten des ersten
> Vektors ist, die zweite Komponente soll 0 sein. Hat jemand
> eine Idee wie man da heran gehen kann? Für mich ist es
> schwer vorstellbar, dass man mit einer "kleinen" 2x2-Matrix
> ein ggT bilden kann.

Wenn $d = ggT(a, b)$ ist, dann gibt es doch $x, y [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $d = a x + b y$. Damit ist $1 = [mm] \frac{a}{d} \cdot [/mm] x - [mm] \frac{-b}{d} [/mm] y$. Das liefert dir die Eintraege einer ganzzahligen $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix mit Determinante 1.

LG Felix


Bezug
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