3-dim. Lebesgue-Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 Do 08.09.2005 | | Autor: | westpark |
Hallo Mathefreunde,
in Vorbereitung auf eine Klausur bin ich auf diese Aufgabe gestoßen, zu der ich leider keine Lösung habe:
Begründen Sie Existenz des folgenden Integrals und bestimmen Sie es:
[mm] \integral_{M}^{} [/mm] {f(x,y,z) d [mm] \lambda_{3} [/mm] } mit f: M = [1,3]x[0,2]x[1,2] -> [mm] \IR [/mm] ,
f(x,y,z) = [mm] x²e^{y+z} [/mm] für y [mm] \not= [/mm] z
f(x,y,z) = e² für y = z
Weil M abg. / kompakt ist, ist M messb.
[mm] x²e^{y+z}, [/mm] e² sind jeweils stetig auf M (und M messbar), also Lebesgue-integrierbar.
Frage1: Reicht das als Begründung für die Existenz des Integrals oder ist es nicht ganz korrekt und man müsste es anders formulieren?
Jedenfalls sei die Existenz an dieser Stelle bewiesen und ich versuche mich an die Berechnung:
Ich weiß, ich kann das 3-dim. Integral mit Fubini in 3 1-dim. Integrale zerlegen, die ich auf Riemann-Integrale zurückführe, wo ich es dann mit den dort üblichen Methoden (Subst., part. Int.,...) berechnen kann.
Aber wie stelle ich das Integral auf? Ich komme mit der Fallunterscheidung x = y, x [mm] \not= [/mm] y nicht zurecht, weil ich nicht weiß, über welche Funktion ich integrieren soll oder wie ich die Intervalle so zerlege, dass auf dem einen Stück Funktion 1 und auf dem anderen Funktion 2 integriert werden muss.
Kann mir an dieser Stelle jemand helfen, das Integral aufzustellen? [Berechnen kann ich es dann wahrscheinlich selbst, nur eine Lösung wäre - falls Zeit und Lust vorhanden - für einen Vergleich sehr hilfreich]
Mit Dank und freundlichen Grüßen
westpark.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Do 08.09.2005 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo westpark,
ich würde (um ganz sicher zu gehen) die Integrierbarkeit über nachweisen, indem ich eine Funktion finde, die Integrierbar ist und den Betrag von f an allen Stellen von M übertrifft.
Indiesem Fall könnte man einfach $g(x,y,z) = [mm] 9*e^4$ [/mm] nehmen, diese Funktion ist konstant, also eine Treppenfunktion und damit auch integrierbar.
Zur Berechnung des Integrals: ist die Menge [mm] $\{(x,y,z) | y = z\}$ [/mm] nicht eine Nullmenge? Die kann man beim Integrieren vernachlässigen, damit musst Du dann auch keine Fallunterscheidung machen und das Integral wird recht einfach.
Dafür lege ich meine Hand aber nicht 100% ins Feuer ^^;
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 Do 08.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> ich würde (um ganz sicher zu gehen) die Integrierbarkeit
> über nachweisen, indem ich eine Funktion finde, die
> Integrierbar ist und den Betrag von f an allen Stellen von
> M übertrifft.
Das reicht nur dann, wenn die Funktion meßbar ist. Man muss hier aufpassen - in voller Allgemeinheit ist das einfach falsch! zB kann man die char. funktion einer beschränkten Menge, die nicht Lebesgue-meßbar ist sicher nach oben durch eine int.bare Abschätzen - das reicht aber nicht. Hier reicht es, weill die Funktion auf einer Nullmenge konstant und sonst stetig ist.
> Zur Berechnung des Integrals: ist die Menge [mm]\{(x,y,z) | y = z\}[/mm]
> nicht eine Nullmenge?
Genauer sogar: eine Hyperebene. Also das Integral einfach per Fubini berechnen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Do 08.09.2005 | | Autor: | AT-Colt |
> > ich würde (um ganz sicher zu gehen) die Integrierbarkeit
> > über nachweisen, indem ich eine Funktion finde, die
> > Integrierbar ist und den Betrag von f an allen Stellen von
> > M übertrifft.
>
> Das reicht nur dann, wenn die Funktion meßbar ist. Man muss
> hier aufpassen - in voller Allgemeinheit ist das einfach
> falsch! zB kann man die char. funktion einer beschränkten
> Menge, die nicht Lebesgue-meßbar ist sicher nach oben durch
> eine int.bare Abschätzen - das reicht aber nicht. Hier
> reicht es, weill die Funktion auf einer Nullmenge konstant
> und sonst stetig ist.
Naja, er hatte ja schon die Meßbarkeit von f begründet, deswegen hatte ich das nicht extra nochmal erwähnt, natürlich hast Du recht, die Funktion selbst muss bereits messbar sein.
greetz
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 Do 08.09.2005 | | Autor: | westpark |
Hallo [AT-Colt, SEcki],
herzlichen Dank für die schnelle Hilfe.
Nur damit ich alles richtig aufgefasst habe:
Die Menge {(x,y,z), y=z}, deren Elemente alle den Funktionswert e² haben, ist in einer Hyperebene enthalten und daher eine Nullmenge. Nullmengen sind ignorierbar, also ist mein gesuchtes Integral dann nach Fubini einfach nur noch:
[mm] \integral_{1}^{3} [/mm] { [mm] \integral_{0}^{2} [/mm] { [mm] \integral_{1}^{2} {x²e^{y+z} dz} [/mm] dy} dx}
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Do 08.09.2005 | | Autor: | AT-Colt |
Entweder das, oder ich habe bei der Klausur morgen schlechte Karten ^^;
Ja, sollte stimmen.
greetz
AT-Colt
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