3 Aufgaben - e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | 1.
Welche Ursprungsgerade g ist Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = e^-x ?
2. Welche Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = e^-x ist parallel zur Sehne durch die beiden Punkte P(-1|e) und [mm] Q(1|\bruch{1}{e}) [/mm] des Graphen von f = Berechnen Sie zunächst die Steigung der Sehne.
3. Die Graphen von f(x) = [mm] e^x [/mm] und g(x) = [mm] e^0,5x [/mm] besitzen an einer einzigen Stelle x die gleiche Steigung.
a) Wo liegt diese Stelle ?
b) Wie lautet die Gleichung der Normalen von f an dieser Stelle ? |
Hallo,
also für Aufgabe 1 haben wir einen Ansatz gewählt , der zwar okay ist , aber wo ich gerne anders rechnen möchte.
Und zwar :
Der Ansatz vom Lehrer :
I : m *x = e^-x
II : m = -e^-x
=> -e^-x * x = e^-x
x = -1
m = [mm] -e^1 [/mm] = -e
g(x) = -ex
Das ist das Ergebnis.
In der Aufgabe steht was von Ursprungsgerade , also haben wir zwei Punkte geben nämlich P(0|0).
Dann habe ich es mit der Tangentengleichung probiert , ich kriege aber nicht das gleiche Ergebnis raus , was mache ich falsch ?
t(x) = [mm] f'(x_o)(x-x_o) [/mm] + [mm] f(x_o)
[/mm]
t(x) = -1(x-0)+1
t(x) = -x.
Erstmal nur Aufgabe 1 , die anderen folgen später.
Wär echt nett , wenn der Fehler , den ich mache , mir erklärt wird.
In der Mathematik gibt es verschiedene Lösungswege , ich habe bis jetzt immer mit der Tangentengleichung gerechnet bei solchen Aufgaben , und jetzt geht das nicht..
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:22 Fr 03.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Was ist das Ergebnis, das der Lehrer errechnet hat?
$-ex$? Was soll das sein?
Für welchen Punkt soll das denn eine Tangente sein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Fr 03.02.2012 | | Autor: | abakus |
> 1.
> Welche Ursprungsgerade g ist Tangente an den Graphen der
> Funktion f(x) = e^-x ?
>
> 2. Welche Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = e^-x
> ist parallel zur Sehne durch die beiden Punkte P(-1|e) und
> [mm]Q(1|\bruch{1}{e})[/mm] des Graphen von f = Berechnen Sie
> zunächst die Steigung der Sehne.
>
> 3. Die Graphen von f(x) = [mm]e^x[/mm] und g(x) = [mm]e^0,5x[/mm] besitzen an
> einer einzigen Stelle x die gleiche Steigung.
>
> a) Wo liegt diese Stelle ?
>
> b) Wie lautet die Gleichung der Normalen von f an dieser
> Stelle ?
>
> Hallo,
>
> also für Aufgabe 1 haben wir einen Ansatz gewählt , der
> zwar okay ist , aber wo ich gerne anders rechnen möchte.
>
> Und zwar :
>
> Der Ansatz vom Lehrer :
>
> I : m *x = e^-x
>
> II : m = -e^-x
>
> => -e^-x * x = e^-x
>
> x = -1
>
> m = [mm]-e^1[/mm] = -e
>
> g(x) = -ex
> Das ist das Ergebnis.
>
> In der Aufgabe steht was von Ursprungsgerade , also haben
> wir zwei Punkte geben nämlich P(0|0).
>
> Dann habe ich es mit der Tangentengleichung probiert , ich
> kriege aber nicht das gleiche Ergebnis raus , was mache ich
> falsch ?
Hallo,
du weißt doch noch nicht einmal, wo der Punkt des Graphen liegt, dessen Tangente durch den Ursprung geht. Es ist auf alle Fälle NICHT der Punkt (0|1) des Graphen. Demzufolge hat die Tangemnte NICHT den Anstieg [mm] $e^0=1$, [/mm] und der Tangentenpunkt hat auch NICHT den Funktionswert
f(0)=1.
Gruß Abakus
>
> t(x) = [mm]f'(x_o)(x-x_o)[/mm] + [mm]f(x_o)[/mm]
>
> t(x) = -1(x-0)+1
>
> t(x) = -x.
>
> Erstmal nur Aufgabe 1 , die anderen folgen später.
>
> Wär echt nett , wenn der Fehler , den ich mache , mir
> erklärt wird.
>
> In der Mathematik gibt es verschiedene Lösungswege , ich
> habe bis jetzt immer mit der Tangentengleichung gerechnet
> bei solchen Aufgaben , und jetzt geht das nicht..
|
|
|
| |
|
Na warum ?
Wenn er sagt , dass er durch den Ursprung geht , hat man automatisch zwei Punkte , wo ist da das Problem ?
Verstehe irgendwie nicht jetzt , was das Problem ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Fr 03.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Für die Tangentengleichung musst Du wissen, für welchen Punkt des Graphen die Gerade Tangente sein soll.
Weißt Du hier aber nicht.
|
|
|
| |
|
Na für P(0|0) , oder nciht ?
Die Tangente muss ja durch den Urpsrung gehen , und wenn die Tangente durch den Ursprung geht , hat man zwei Punkte ,nämlich der Koordinatenursprung.
Ich weiß doch für welche Punkte er geht , wenn er sgat , dass es eine Ursprungsgerade sein soll.
Ich habe bis jetzt immer so gerechnet und es ist glaub ich auch nicht falsch , dass man sagt , dass man zwei Punkte hat , oder nciht ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Fr 03.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ja, die Gerade soll durch den Ursprung gehen.
Aber da kommen ja immer noch zig mögliche Tangenten in Frage, je nachdem, für welchen Punkt des Graphen Du eine Tangente bestimmen sollst.
Du willst die Tangentengleichung verwenden: Dafür musst Du aber zusätzlich noch wissen, für welchen Graphenpunkt die Ursprungsgerade Tangente sein soll.
|
|
|
| |
|
Ich kapier das irgendwie nicht..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Fr 03.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Die Gleichung der Tangente für eine Funktion f
im Punkt [mm] $(x_0|f(x_0))$
[/mm]
lautet
[mm] $y=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)$.
[/mm]
Was ist denn hier [mm] $x_0$ [/mm] und was [mm] $f(x_0)$?
[/mm]
Du meinst (0|0), stimmt's?
Das ist aber nicht so. Das ist ja ein Punkt der Tangente, die Du zu bestimmen hast, aber kein Punkt der Funktion, für die Du die Tangente bestimmen sollst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Fr 03.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Gesucht ist eine Gerade, die durch (0|0) geht und Tangente an den Graphen von [mm] f(x)=e^{-x} [/mm] ist.
D.h. es gibt einen Punkt [mm] (x_0 |f(x_0), [/mm] in dem sich der Graph von f und die gesuchte Gerade berühren. Die gesuchte Gerade hat die Gestalt: g(x)=mx.
Als0 gilt:
[mm] f(x_0=g(x_0) [/mm] und [mm] f'(x_0)=g'(x_0).
[/mm]
Das war der Ansatz Deines Lehrers.
FRED
|
|
|
| |
|
Achso , jetzt verstehe ich das , oh man haha.
Vielen Dank für die Hilfe.
Kommen wir nun zur Aufgabe 2 :
" 2. Welche Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = e^-x ist parallel zur Sehne durch die beiden Punkte P(-1|e) und $ [mm] Q(1|\bruch{1}{e}) [/mm] $ des Graphen von f = Berechnen Sie zunächst die Steigung der Sehne.
"
Okay , also m = [mm] \bruch{\Delta y}{\Delta x}
[/mm]
Also folgt :
[mm] \bruch{\bruch{1}{e}-e}{1-(-1)} [/mm] = -1,175.
Tangentengleichung (diesmal die andere) t(x) = mx+n
Jetzt haben wir die Steigung raus und jetzt wird die 1.Ableitung mit der Steigung gleichgesetzt :
f'(x) = m
-e^-x = -1,175
e^-x = 1,175
-x * ln e = ln 1,175
-x = [mm] \bruch{ln(1,175)}{ln e}
[/mm]
x = -0,157
Jetzt wird das x in die Ausgangsfunktion eingesetzt.
f(-0,157) = 1,17
=>
1,17 = -1,175*(-0,157) + n
1,17 = 0,184 + n
n = 0,99
=> t (x) = -1,175x + 0,99
Ist das richtig ?
|
|
|
| |
|
Hallo
[mm] m=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{e}-e)\approx-1,175 [/mm] hast du
die Berührstelle ist nicht ok, ln(1,175), der weiter Weg aber dann mathematisch korrekt, rechne die Tangente noch einmal durch
Steffi
|
|
|
| |
|
Verstehe ich jetzt leider nicht , hab ich was falsches gerechnet ?
|
|
|
| |
|
Ich mache jetzt mal mit Aufgabe 3 weiter.. Wenn irgendwas falsch berechnet wurde in den vorherigen Posts bitte sofort sagen , damit ich es nicht vergesse und auch gleich verstehen kann.
Also Aufgabe 3 :
"3. Die Graphen von f(x) = $ [mm] e^x [/mm] $ und g(x) = $ [mm] e^0,5x [/mm] $ besitzen an einer einzigen Stelle x die gleiche Steigung.
a) Wo liegt diese Stelle ?
b) Wie lautet die Gleichung der Normalen von f an dieser Stelle ? "
Also zunächst einmal die Ableitungen :
f(x) = [mm] e^x [/mm] , f'(x) = [mm] e^x
[/mm]
g(x) = e^(0,5x) , g'(x) = 0,5e^(0,5x)
Jetzt ist nach einer Stelle gefragt , wo die beiden Funktionen die gleiche Steigung haben.
Also erste Ableitungen gleichsetzen :
[mm] e^x [/mm] = [mm] 0,5e^0,5x
[/mm]
x * ln(e) = 0,5x * ln (0,5e)
Kann ich das so machen , geht das ? Außerdem habe ich jetzt das x zwei Mal da..
Gibt es hier einen schlaueren Weg ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Fr 03.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ja, die ersten Ableitungen werden gleichgesetzt.
[mm] $e^x=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}\Leftrightarrow x=\ln(...)$
[/mm]
|
|
|
| |
|
Ja , aber komme irgendwie nicht weiter..
[mm] e^x=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}
[/mm]
Jetzt einfach :
x * ln (e) = [mm] \bruch{1}{2}*x [/mm] * [mm] ln(\bruch{1}{2} [/mm] e ) ?
Weiß jetzt nicht , wie ich weitermachen soll ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Fr 03.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Auf der linken Gleichungsseite logarithmierst Du, um an das x zu kommen, dann musst Du auch die rechte Gleichungsseite logarithmieren, also
[mm] $\ln\left(\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}\right)$
[/mm]
Was ist das?
Dann alle x auf die linke Seite holen, fertig.
|
|
|
| |
|
> Auf der linken Gleichungsseite logarithmierst Du, um an das
> x zu kommen, dann musst Du auch die rechte Gleichungsseite
> logarithmieren, also
>
> [mm]\ln\left(\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}\right)[/mm]
>
> Was ist das?
Keine Ahnung , noch nie gesehen sowas.. Bestimmt kann man das anders aufschreiben oder so..
> Dann alle x auf die linke Seite holen, fertig.
>
>
>
Ich hab das Logarithmieren immer anders gelernt :
$ [mm] \ln\left(\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}\right) [/mm] $
Sowas logarithmieren wir anders , und zwar so :
[mm] \bruch{1}{2}x [/mm] * ln ( [mm] \bruch{1}{2}e)..
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Fr 03.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Dann hast Du es wohl falsch gelernt oder bringst gerade was durcheinander.
Also die Logarithmusgesetze muss man natürlich kennen...
[mm] $\ln\left(\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}\right)=\ln\left(\frac{1}{2}\right)+\ln\left(e^{\frac{1}{2}x}\right)=\ln\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}x\underbrace{\ln(e)}_{=1}=\ln(1)-\ln(2)+\frac{1}{2}x=\frac{x}{2}-\ln(2)$
[/mm]
|
|
|
| |
|
Wir hatten noch nicht mal die Logarithmusgesetze , tut mir echt Leid , sonst hätte ich dir das erspart..
>
> [mm]\ln\left(\frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}\right)=\ln\left(\frac{1}{2}\right)+\ln\left(e^{\frac{1}{2}x}\right)=\ln\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}x\underbrace{\ln(e)}_{=1}=\ln(1)-\ln(2)+\frac{1}{2}x=\frac{x}{2}-\ln(2)[/mm]
Wie komms tdu auf ln(1)- ln(2) ? Verstehe ich nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Fr 03.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
> Wie komms tdu auf ln(1)- ln(2) ? Verstehe ich nicht.
[mm] $\ln\left(\frac{1}{2}\right)=\ln(1)-\ln(2)$
[/mm]
---
So, jetzt einfach das eine x auf die linke Seite bringen und fertig bist Du.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:25 Fr 03.02.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar vielen Dank.
Tut mir Leid nochmal wegen den Gesetzen , die habe ich noch nicht drauf , vielleicht kommt das , wenn wir das Thema Logarithmusfunktionen haben.
Danke , dass du dir die Mühe gemacht hast und es mir erklärt hast.
Schönen Abend noch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Fr 03.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Gerne, kein Problem.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Fr 03.02.2012 | | Autor: | abakus |
> Ich mache jetzt mal mit Aufgabe 3 weiter.. Wenn irgendwas
> falsch berechnet wurde in den vorherigen Posts bitte sofort
> sagen , damit ich es nicht vergesse und auch gleich
> verstehen kann.
>
> Also Aufgabe 3 :
>
> "3. Die Graphen von f(x) = [mm]e^x[/mm] und g(x) = [mm]e^0,5x[/mm] besitzen
> an einer einzigen Stelle x die gleiche Steigung.
>
> a) Wo liegt diese Stelle ?
>
> b) Wie lautet die Gleichung der Normalen von f an dieser
> Stelle ? "
>
> Also zunächst einmal die Ableitungen :
>
> f(x) = [mm]e^x[/mm] , f'(x) = [mm]e^x[/mm]
>
> g(x) = e^(0,5x) , g'(x) = 0,5e^(0,5x)
>
> Jetzt ist nach einer Stelle gefragt , wo die beiden
> Funktionen die gleiche Steigung haben.
>
> Also erste Ableitungen gleichsetzen :
>
> [mm]e^x[/mm] = [mm]0,5e^0,5x[/mm]
>
> x * ln(e) = 0,5x * ln (0,5e)
>
> Kann ich das so machen , geht das ? Außerdem habe ich
> jetzt das x zwei Mal da..
> Gibt es hier einen schlaueren Weg ?
Ich denke schon.
Es gilt [mm]e^{0,5x}=(e^x)^{0,5}=\wurzel{e^x}[/mm]
Wenn du jetzt [mm]e^{0,5x}=z[/mm] substituierst, lautet deine Gleichung [mm]e^x=0,5*e^{0,5*x}[/mm] etwas einfacher
[mm]z^2=0,5*z[/mm]
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
Hallo, ln(1,175)=0,1614...... Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Fr 03.02.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Verstehe den Zusammenhang jetzt nicht , mit diesem Wert habe ich "indirekt" gearbeitet , siehe bitte hier :
-x = $ [mm] \bruch{ln(1,175)}{ln e} [/mm] $
Ich habe das Ergebnis aus dieser Bruchrechung genommen..
|
|
|
| |
|
Hallo, zunächst mal eine Skizze, wie es aussieht,
[Dateianhang nicht öffentlich]
an der Stelle x berührt die Tangente die Funktion, also haben Tangente und Funktion den gleichen Funktionswert, sind also gleich
(1) [mm] m*x=e^{-x}
[/mm]
weiterhin haben sie an der Stelle x den gleichen Anstieg (1. Ableitung)
(2) [mm] m=-e^{-x}
[/mm]
setze (2) in (1) ein
[mm] -e^{-x}*x=e^{-x}
[/mm]
[mm] -x=\bruch{e^{-x}}{e^{-x}}
[/mm]
-x=1
x=-1
somit ist dir die Stelle x=-1, an der sich Tangente und Funktion berühren, bekannt, bestimme nun die Tangentengleichung
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
