3 Massen im Kreis < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Mi 28.01.2009 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
1. Schritt Finden der Lagrange-Gleichungen
L = T - V
Laut der Zeichnung ist doch nur der Winkel zwischen den Massen wichtig, oder? Allerdings habe ich Probleme das in eine Gleichung für die kinetische Energie alle drei Massen eingearbeitet werden müssen.
Geht das über Zylinderkoordinaten? Wenn ja, brauche ich doch z gar nicht. "z" ändert sich doch nicht! Rho ändert sich auch nicht, wäre also ein Parameter.
Für Hilfe wäre ich dankbar!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Mi 28.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
da es nur auf die Abstaend [mm] \phi_i*r [/mm] der Dinger ankommt wuerd ich die mit x1,x2 und [mm] 2\pi*r*(x1+x2) [/mm] angehen und du hast nur ein lineares System, das von den x abhaengt. natuerlich ist [mm] \phi [/mm] selbst genauso geiegnet, das ist bis auf den festen Faktor r ja dasselbe. Du musst nur festlegen wie du die x von der Ruhelage her rechnest,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Mi 28.01.2009 | | Autor: | murmel |
Also, die Massen sind in einem Ring angeordnet, ok.
Das mit den Winkeln habe ich auch verstanden, da es hier über den Umfang bzw. die Bogenlänge "geht".
Aber wie soll ich das jetzt mit den [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] verstehen? Heißt das nun x für die x-Achse, also in x-Richtung?
Und wieso taucht da bloß [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] auf, wo ist [mm] x_3? [/mm] Das verstehe ich gar nicht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
mit den [mm] $x_i$ [/mm] ist also die Auslenkung der Massen gemeint. Normalerweise hat man ja ein Kraftgesetz von Federn wie $F=Dx$. Was dir die Aufgabenstellung sagen möchte ist, dass dieses Gesetz auch hier gilt. Man könnte ja auch meinen, dass das Gesetz anders ausschaut, weil die Feder in einen Kreis gebogen ist.
Verstehe die [mm] $x_i$ [/mm] doch einfach als "Bogenlänge". Irgendwo setzt du den Nullpunkt, und dann geht [mm] $x_i$ [/mm] von 0 bis [mm] $2\pi$ [/mm] oder zwischen [mm] $-\pi$ [/mm] und [mm] $\pi$. [/mm] D.h. du parametrisierst deine Massen eben durch die Bogenlänge. Liegt die eine Masse dann z.B. bei [mm] $\pi/4$, [/mm] dann gilt eben, wenn [mm] $\pi/4$ [/mm] der Abstand von der Ruhelage deiner einen Feder ist, [mm] $F=D*\pi/4$. [/mm]
Mehr will dir die Aufgabenstellung da nicht sagen.
Aber wenn du das mit Hilfe der Winkel parametrisieren willst, was ja eigentlich genau das selbe ist, ist das natürlich auch okay.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Do 29.01.2009 | | Autor: | murmel |
Für was steht $ [mm] 2\pi\cdot{}r\cdot{}(x1+x2) [/mm] $?
[mm] 2*\pi*r [/mm] könnte der Umfang sein, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Do 29.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
das steht fuer nen Druckfehler: es sollte heissen :$ [mm] 2\pi\cdot{}r\cdot{}-(x1+x2) [/mm] $?
war aber auch so falsch, die Gesamtlaenge aller Federn muss ja der Umfang sein, waehrend die [mm] x_i [/mm] die Auslenkungen sein sollen. also vergiss die Aussage.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Do 29.01.2009 | | Autor: | murmel |
leduard, dort sind doch aber 3 Massen und 3 Federn abgebildet, ich verstehe nicht warum immer nur [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] auftaucht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Do 29.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
zeichne doch mal 2 Stellungen der Massen ein! kannst du alle 3 Auslenkungen unabhaengig voneinander machen?
halbier die Laenge einer Feder, mach die andere 1,3 mal so lang, was ist mit der dritten.
Zeichnungen, um das problem klar zu sehen sind bei mir immer ddas erste!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Do 29.01.2009 | | Autor: | murmel |
Hallo leduart,
das habe ich ja bereits probiert. Ich sitze gerade in der Uni vor einer Tafel. Auf der Tafel befindet sich meine Skizze. Das ist mein Problem ich weiß nicht wie ich das Problem anpacken soll! Ich bin eine totale Niete in dieser Theorie... . Muss ich jetzt alle drei Massen bewegen oder immer nur zwei? Momentan verstehe ich bloß "Bahnhof".
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Do 29.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst im allgemeinen alle 3 Massen bewegen. dann haben alle drei kin. energie, und alle drei Federn irgendne Auslenkung.
Eine moegliche loesung ist dass alle 3 einfach mit konstantem v umlaufen, eine andere etwa dass 2m festliegt und die 2 1m Teile nur schwingen und alles dazwischen.
Wenn dir der Kreis Aerger mach bring die 3 erstmal zw. 2 Waenden an,indem du eine der Federn durchschneidest. Wenn du das hast bring die 2 waende zusammen und ueberleg, was sich dadurch fuer die durchgeschnittene Feder ergibt. Das einzige, was dazukommt ist die Kreisbewegung.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 So 08.03.2009 | | Autor: | murmel |
Ich habe eine neue Frage bezüglich dieser Aufgabe:
Wenn man die Aufgbenstellung "genau" nimmt, sind die drei Federn miteinander verbunden. Alle drei Federn beeinflussen sich gegenseitig. Keine der Federn kann man als "äußeres" oder "inneres Potential assoziieren. Also sind praktisch keine der Federn sinngemäß über Wände verbunden.
Wäre es dann nicht naheliegend eher folgende Formel zu nutzen:
[mm]L= \bruch{1}{2}*m \left[ \dot x_1^2 + \dot x_2^2 + \dot x_3^2 \right] - \bruch{1}{2} \left[ \left( x_3 - x_1 \right)^2 + \left( x_3 - x_2 \right)^2 + \left( x_2 - x_1 \right)^2 \right] \[/mm]
Obwohl der Lösungsansatz für die Eigenfrequenzen schwieriger wird.
[mm]L= \bruch{1}{2}*m \left[ \dot x_1^2 + \dot x_2^2 + \dot x_3^2 \right] - \bruch{1}{2} \left[ x_1^2 + \left( x_3 - x_2 \right)^2 + \left( x_2 - x_1 \right)^2 + x_3^2 \right][/mm]
Warum ist erstere Formel nicht(?) richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Mo 09.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wo steht in deinem L dass eine Masse doppelt, eine Federkonsatante auch doppelt ist?
Wenn alle Massen gleich sind und alle k waere dein erster ansatz wohl richtig.
Ich sehe noch nicht so ganz, wo die Zwangsbedingung Kreis eingeht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Mo 09.03.2009 | | Autor: | murmel |
Stimmt, die Koeffizienten habe ich wohl unterschlagen!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:39 Mo 09.03.2009 | | Autor: | murmel |
Als Lösungsvorschlag, mit Koeffizienten
[mm] L= \bruch{1}{2}\cdot{}m \left[ \dot x_1^2 + \red {2} * \dot x_2^2 + \dot x_3^2 \right] - \bruch{1}{2} \left[ \red {2} *\left( x_3 - x_1 \right)^2 + \left( x_3 - x_2 \right)^2 + \left( x_2 - x_1 \right)^2 \right] \ [/mm]
plus Zwangsbedingung "Kreis":
[mm] x_i = \bruch{2 \pi r \phi_i}{2 \pi} [/mm]
mit dem Ansatz
[mm] T_{Rot} = \bruch{1}{2} \theta \omega^2 [/mm]
folgt:
[mm] L= \bruch{1}{2}\cdot{}m r^2 \left[ \dot \phi_1^2 + 2 * \dot \phi_2^2 + \dot \phi_3^2 \right] - \bruch{1}{2} \left[ 2 *\left( r \phi_3 - r \phi_1 \right)^2 + \left( r \phi_3 - r \phi_2 \right)^2 + \left( r \phi_2 - r \phi_1 \right)^2 \right] \ [/mm]
Sollte dieser Ansatz richtig sein, ergibt sich für mich eine weitere Schwierigkeit, nämlich das Lösen der daraus resultierenden kubischen Gleichung für die Eigenfrequenzen:
[mm] L= \bruch{1}{2}\cdot{}m r^2 \left[ \dot \phi_1^2 + 2 * \dot \phi_2^2 + \dot \phi_3^2 \right] - \bruch{1}{2} \left[ r^2 \left[ 2 \phi_3^2 + 2 \phi_1^2 - 4 \phi_1 \phi_3 + \phi_3^2 + \phi_2^2 - 2 \phi_3 \phi_2 + \phi_2^2 + \phi_1^2 - 2 \phi_1 \phi_2 \right] \right] \ [/mm]
"r" ist ja ein gegebener Parameter, sollte also nicht weiter stören.
Die Matrix lautet (ohne [mm] r^2):
[/mm]
[mm] \pmat{ {2k - m \omega^2} & {-2k} & {-4k} \\ {-2k} & {2k - m \omega^2} & {-2k} \\ {-4k} & {-2k} & {3k - m \omega^2}}=0
[/mm]
In Position [mm] M_{33} [/mm] der Matrix M erhalte ich einen völlig anderen Wert als für die Positionen [mm] M_{22} [/mm] und [mm] M_{11}, [/mm] das macht alles unübersichtlich und kompliziert!
Daraus erhalte ich, nach dem Auflösen der Determinante:
[mm] \red{ \left( 2k - m \omega^2 \right)* \left[ \left( 2k - m \omega^2 \right)* \left( 3k - m \omega^2 \right) - (-2k) * (-2k) \right]}- \green{(-2k) * \left[ \left( 3k - m \omega^2 \right) * (-2k) - (-4k) * (-2k) \right]} + \blue{(-4k) * \left[ \left( 2k - m \omega^2 \right)* (-4k) - (-2k) * (-2k) \right]}[/mm]
die schon erwähnte Gleichung, ob diese kubisch ist, sei dahingestellt.
Könnte mir bitte jemand mitteilen, ob mein Lösungsansatz nun richtig ist? Wenn nicht, was mache ich falsch? Kann mir niemand einen Tipp geben? Schade!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Do 12.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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