3 Multiple Choice Fragen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Mi 18.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Mahlzeit,
hier sind zwei Aussagen, bei denen man angeben sollte, ob sie wahr oder falsch sind, und bei denen ich mich falsch entschieden hatte. Ich versuche jetzt, die richtige Lösung zu begründen, wär cool, wenn mich einer bestätigen kann.
[mm] A\subseteq [/mm] X, d(x,A)=inf{d(x,a) | a [mm] \in [/mm] A}
1)Ist A* das Innere von A in X und A* [mm] \not=\emptyset [/mm] , so ist d(x, A*)=d(x,A) für alle x aus X.
Ich weiß nun, dass die Aussage falsch ist, denn:
Liegt x in A, so ist die Aussage richtig.
Ist x außerhalb A und ist A eine offene Menge, so stimmt sie auch, denn eine offene Menge ist ja das selbe wie das Innere jener Menge.
Ist A abgeschlossen, so gehört der Rand mit zur Menge. Der Abstand zur Menge ist dann der Abstand zum Rand, aber der Abstand zum Inneren ist dann etwas mehr.
Beispiel: Sei [mm] X=\IN [/mm] , A=[2,3,4,5]
Der Abstand zur Menge von x=6 wäre jetzt 1. Der Abstand zum Inneren wäre dann 2, denn 5 ist ja kein innerer Punkt, da A keine Umgebung von 5 ist (das Intervall endet ja an der Stelle).
Also gilt die Aussage nicht immer, richtig?
2) Ist A* der Rand von A in X und ist A* [mm] \not=\emptyset [/mm] , so ist d(x,A)=d(x,A*) für alle [mm] x\in X\A.
[/mm]
x liegt außerhalb von A. Ist A nun offen, so ist der Abstand zu A das gleiche wie der Abstand zum Rand, die Aussage stimmt.
Ist A abgeschlossen, so beherbergt sie den Rand, die Aussage stimmt wieder.
Was gibt es noch? Eine Menge, die weder offen noch abgeschlossen ist? Dann gibt es einen Rand, der Rand gehört aber nicht mehr dazu, und der Abstand zur Menge selbst ist der Abstand zu einem Punkt IN der Menge, was möglich ist, da sie ja nicht offen ist.
Beispiel: Sei [mm] X=\IN [/mm] , A=]2,3,4,5[
Der Rand von A besteht jetzt aus 2 und 5. Die Menge selbst aber nur aus 3 und 4. Der Abstand von x=6 zum Rand wäre dann 1, zur Menge selbst aber 2.
Das heißt, die Aussage stimmt im Allgemeinen nicht , richtig?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:34 Do 19.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Paivren,
> [mm]A\subseteq[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
X, d(x,A)=inf$\{$d(x,a) | a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A$\}$
$X$ ist ein beliebiger metrischer Raum, nehme ich an?
> 1)Ist A* das Innere von A in X und A* [mm]\not=\emptyset[/mm] , so
> ist d(x, A*)=d(x,A) für alle x aus X.
>
> Ich weiß nun, dass die Aussage falsch ist, denn:
> Liegt x in A, so ist die Aussage richtig.
Nein. Betrachte etwa [mm] $X=\IR$ [/mm] mit der gewöhnlichen Metrik, [mm] $A=\{0\}\cup[1,2]$ [/mm] und $x=0$.
> Ist x außerhalb A und ist A eine offene Menge, so stimmt
> sie auch, denn eine offene Menge ist ja das selbe wie das
> Innere jener Menge.
Ja.
> Ist A abgeschlossen, so gehört der Rand mit zur Menge. Der
> Abstand zur Menge ist dann der Abstand zum Rand, aber der
> Abstand zum Inneren ist dann etwas mehr.
Nein. Betrachte etwa [mm] $X=\IR$ [/mm] mit der gewöhnlichen Metrik, $A=[1,2]$ und $x=0$.
> Beispiel: Sei [mm]X=\IN[/mm],
Mit der durch $d(x,y)=|x-y|$ gegebenen Metrik auf $X$?
> A=[2,3,4,5]
Du meinst die Menge [mm] $\{2,3,4,5\}$?
[/mm]
> Der Abstand zur Menge von x=6 wäre jetzt 1.
Ja.
> Der Abstand
> zum Inneren wäre dann 2,
Nein.
> denn 5 ist ja kein innerer Punkt,
Doch. Wie habt ihr innere Punkte definiert?
> da A keine Umgebung von 5 ist
Doch. [mm] $5\in U\subseteq [/mm] A$ für die in $X$ offene Menge [mm] $U:=\{5\}=B_{\bruch12}^X(5)$ [/mm] (Ball um $5$ in $X$ vom Radius [mm] $\bruch12$).
[/mm]
> (das Intervall endet ja an
> der Stelle).
>
> Also gilt die Aussage nicht immer, richtig?
> 2) Ist A* der Rand von A in X und ist A* [mm]\not=\emptyset[/mm] ,
> so ist d(x,A)=d(x,A*) für alle [mm]x\in X\setminus A.[/mm]
>
> x liegt außerhalb von A. Ist A nun offen, so ist der
> Abstand zu A das gleiche wie der Abstand zum Rand, die
> Aussage stimmt.
Nein. Betrachte etwa [mm] $X=\{0\}\cup[1,2]$ [/mm] (mit $[1,2]$ meine ich das Intervall aller reeller Zahlen $x$ mit [mm] $1\le x\le [/mm] 2$) mit der durch $d(x,y)=|x-y|$ gegebenen Metrik, $A=[1,2)$ (Warum ist sie offen in $X$?) und $x=0$. Beachte dabei, dass [mm] $A^\*=\{2\}$ [/mm] gilt.
> Ist A abgeschlossen, so beherbergt sie den Rand, die
> Aussage stimmt wieder.
Nein. Betrachte etwa [mm] $X=\{0\}\cup(1,3]$ [/mm] mit der durch $d(x,y)=|x-y|$ gegebenen Metrik, $A=(1,2]$ (Warum ist sie abgeschlossen in $X$?) und $x=0$. Beachte dabei, dass [mm] $A^\*=\{2\}$ [/mm] gilt.
> Was gibt es noch? Eine Menge, die weder offen noch
> abgeschlossen ist?
(Sicherheitshalber: Es gibt auch Mengen, die offen und abgeschlossen gleichzeitig sind.)
> Dann gibt es einen Rand, der Rand
> gehört aber nicht mehr dazu,
Was meinst du damit?
> und der Abstand zur Menge
> selbst ist der Abstand zu einem Punkt IN der Menge,
Nein. Betrachte etwa [mm] $X=\IR$ [/mm] mit der gewöhnlichen Metrik, $A=(1,2]$ und $x=0$.
> was
> möglich ist, da sie ja nicht offen ist.
>
> Beispiel: Sei [mm]X=\IN[/mm] , A=]2,3,4,5[
Was meinst du mit $]2,3,4,5[$? Vielleicht [mm] $\{3,4\}$?
[/mm]
> Der Rand von A besteht jetzt aus 2 und 5.
(Unabhängig von der Wahl von $A$:) Nein. Der Rand jeder Teilmenge von $X$ ist die leere Menge.
> Die Menge selbst
> aber nur aus 3 und 4. Der Abstand von x=6 zum Rand wäre
> dann 1, zur Menge selbst aber 2.
> Das heißt, die Aussage stimmt im Allgemeinen nicht ,
> richtig?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Fr 20.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Hallo Tobias, danke für Deine ausführliche Antwort.
Auch, wenn es schmerzt zu lesen, dass fast alle meine Aussagen falsch zu sein scheinen.
Erst mal sorry wegen teils schlampiger Schreibweise.
Mit A=[2,3,4,5] meinte ich wirklich nur A=[2,5].
Erst mal Definitionen:
Rand einer Menge A [mm] \subseteq [/mm] X : alle Berührpunkte von A und X \ A
Innerer Punkt: x [mm] \in [/mm] A ist ein innerer Punkt von A genau dann, wenn A eine Umgebung von x ist.
Inneres: Menge aller inneren Punkte
Abgeschlossen: Menge A [mm] \subseteq [/mm] X ist abgeschlossen, wenn sie alle ihre Berührpunkte (und Häufungspunkte) enthält, und wenn X-A offen ist.
> [mm]X[/mm] ist ein beliebiger metrischer Raum, nehme ich an?
Genau.
> > 1)Ist A* das Innere von A in X und A* [mm]\not=\emptyset[/mm] , so
> > ist d(x, A*)=d(x,A) für alle x aus X.
> >
> > Ich weiß nun, dass die Aussage falsch ist, denn:
> > Liegt x in A, so ist die Aussage richtig.
> Nein. Betrachte etwa [mm]X=\IR[/mm] mit der gewöhnlichen Metrik,
> [mm]A=\{0\}\cup[1,2][/mm] und [mm]x=0[/mm].
Verstehe, der Abstand von x zur Menge ist 0, aber nicht zum Inneren, 0 zählt nicht zum Inneren. Denn eine Umgebung um 0 würde nicht mehr zur Menge gehören.
> > Ist A abgeschlossen, so gehört der Rand mit zur Menge. Der
> > Abstand zur Menge ist dann der Abstand zum Rand, aber der
> > Abstand zum Inneren ist dann etwas mehr.
> Nein. Betrachte etwa [mm]X=\IR[/mm] mit der gewöhnlichen Metrik,
> [mm]A=[1,2][/mm] und [mm]x=0[/mm].
Verstehe. Der Abstand zum Rand ist 1. Der Abstand vom Inneren aber auch, da der Abstand ja das Infimum aller Abstände zu den inneren Punkten ist, und das ist nun mal der Abstand zu 1. Auch, wenn 1 selbst kein innerer Punkt ist.
> > Beispiel: Sei [mm]X=\IN[/mm],
> Mit der durch [mm]d(x,y)=|x-y|[/mm] gegebenen Metrik auf [mm]X[/mm]?
Ja.
> > A=[2,3,4,5]
> Du meinst die Menge [mm]\{2,3,4,5\}[/mm]?
Ja.
> > Der Abstand zur Menge von x=6 wäre jetzt 1.
> Ja.
> > Der Abstand
> > zum Inneren wäre dann 2,
> Nein.
>
> > denn 5 ist ja kein innerer Punkt,
> Doch. Wie habt ihr innere Punkte definiert?
>
> > da A keine Umgebung von 5 ist
> Doch. [mm]5\in U\subseteq A[/mm] für die in [mm]X[/mm] offene Menge
> [mm]U:=\{5\}=B_{\bruch12}^X(5)[/mm] (Ball um [mm]5[/mm] in [mm]X[/mm] vom Radius
> [mm]\bruch12[/mm]).
Moment. [mm] X=\IN [/mm] , A [mm] \subseteq [/mm] X, A=[2,5]. Dann hat x=6 den Abstand 1 zur Menge. Aber den Abstand 2 zum nächsten inneren Punkt der Menge, nämlich 4. In der Menge der natürlichen Zahlen kann ich doch keine Umgebung um 5 legen, sodass diese Umgebung noch komplett in A enthalten ist. Deine Kugel hat ja den Radius 0,5, das wäre doch nicht zulässig...
> > 2) Ist A* der Rand von A in X und ist A* [mm]\not=\emptyset[/mm] ,
> > so ist d(x,A)=d(x,A*) für alle [mm]x\in X\setminus A.[/mm]
> >
> > x liegt außerhalb von A. Ist A nun offen, so ist der
> > Abstand zu A das gleiche wie der Abstand zum Rand, die
> > Aussage stimmt.
> Nein. Betrachte etwa [mm]X=\{0\}\cup[1,2][/mm] (mit [mm][1,2][/mm] meine ich
> das Intervall aller reeller Zahlen [mm]x[/mm] mit [mm]1\le x\le 2[/mm]) mit
> der durch [mm]d(x,y)=|x-y|[/mm] gegebenen Metrik, [mm]A=[1,2)[/mm] (Warum ist
> sie offen in [mm]X[/mm]?) und [mm]x=0[/mm]. Beachte dabei, dass [mm]A^\*=\{2\}[/mm]
> gilt.
A ist eine offene Menge, denn: rechts im Intervall kann man sich beliebig nahe an 2 annähern, und um die 1 kann man eine Umgebung ziehen: Auf der einen Seite erwischt man damit jede menge reeller Zahlen, auf der anderen Seite immerhin noch die 0.
Dass 2 ein Randpunkt von A ist, verstehe ich. Aber warum nicht auch 0? 0 berührt X \ A, aber doch auch A selbst, oder nicht? Zwischen {0} und [1,2] liegen doch in X keine anderen Werte mehr, also müsste 0 die 1 berühren und somit auch ein Randpunkt von A sein...
> > Beispiel: Sei [mm]X=\IN[/mm] , A=]2,3,4,5[
> Was meinst du mit [mm]]2,3,4,5[[/mm]? Vielleicht [mm]\{3,4\}[/mm]?
]2,5[
> > Der Rand von A besteht jetzt aus 2 und 5.
> (Unabhängig von der Wahl von [mm]A[/mm]:) Nein. Der Rand jeder
> Teilmenge von [mm]X[/mm] ist die leere Menge.
[mm] X=\IN [/mm] , [mm] A\subseteq [/mm] X, A=]2,5[
2 und 5 berühren A (die 5 berührt die 4, die 2 berührt die 3), aber gleichzeitig auch X \ A, da sie ja selbst zu X \ A gehören.
Ich scheine einem grundsätzlichen Irrtum zu unterliegen.
Wenn wir uns im Raum der natürlichen Zahlen bewegen, dann stellt man sich den Abstand zwischen zwei natürlichen Zahlen doch unendlich klein vor, oder nicht? Also, dass 5 die 4 berührt.
Scheint wohl nicht so zu sein...
Hoffe, Du hast noch Luft, schreibe Dienstag eine Klausur und werde dort wieder auf derlei Aussagen stoßen^^
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Fr 20.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Mit A=[2,3,4,5] meinte ich wirklich nur A=[2,5].
Unter $[2,5]$ verstehe ich das Intervall aller REELLEN Zahlen $x$ mit [mm] $2\le x\le5$. [/mm] Daher würde ich für die Menge aller natürlichen Zahlen $x$ mit [mm] $2\le x\le [/mm] 5$ eine der Schreibweisen [mm] $\{2,3,4,5\}$ [/mm] und [mm] $\{x\in\IN\;|\;2\le x\le 5\}$ [/mm] verwenden.
> Erst mal Definitionen:
Das ist gut. Das hilft, besser auf dich einzugehen.
> Rand einer Menge A [mm]\subseteq[/mm] X : alle Berührpunkte von A
> und X \ A
Nur um Missverständnisse auszuschließen:
Der Rand von einer Teilmenge [mm] $A\subseteq [/mm] X$ soll sicherlich die Menge aller Berührunkte von $A$ sein, die gleichzeitig Berührpunkt von [mm] $X\setminus [/mm] A$ sind.
> Innerer Punkt: x [mm]\in[/mm] A ist ein innerer Punkt von A genau
> dann, wenn A eine Umgebung von x ist.
> Inneres: Menge aller inneren Punkte
> Abgeschlossen: Menge A [mm]\subseteq[/mm] X ist abgeschlossen,
> wenn sie alle ihre Berührpunkte (und Häufungspunkte)
> enthält,
Häufungspunkte sind ja spezielle Berührpunkte.
> und wenn X-A offen ist.
Sicherheitshalber: Die Bedingungen
$A$ enthält alle Berührpunkte von $A$
und
$X-A$ offen
sind äquivalent.
> > > 1)Ist A* das Innere von A in X und A* [mm]\not=\emptyset[/mm] , so
> > > ist d(x, A*)=d(x,A) für alle x aus X.
> > >
> > > Ich weiß nun, dass die Aussage falsch ist, denn:
> > > Liegt x in A, so ist die Aussage richtig.
>
> > Nein. Betrachte etwa [mm]X=\IR[/mm] mit der gewöhnlichen Metrik,
> > [mm]A=\{0\}\cup[1,2][/mm] und [mm]x=0[/mm].
> Verstehe, der Abstand von x zur Menge ist 0, aber nicht
> zum Inneren, 0 zählt nicht zum Inneren. Denn eine
> Umgebung um 0 würde nicht mehr zur Menge gehören.
Genau. Das Innere von $A$ ist $(1,2)$ (das Intervall aller reellen Zahlen $x$ mit $1<x<2$). Es gilt [mm] $d(x,A^\*)=1$.
[/mm]
> > > Ist A abgeschlossen, so gehört der Rand mit zur Menge. Der
> > > Abstand zur Menge ist dann der Abstand zum Rand, aber der
> > > Abstand zum Inneren ist dann etwas mehr.
>
> > Nein. Betrachte etwa [mm]X=\IR[/mm] mit der gewöhnlichen Metrik,
> > [mm]A=[1,2][/mm] und [mm]x=0[/mm].
> Verstehe. Der Abstand zum Rand ist 1. Der Abstand vom
> Inneren aber auch, da der Abstand ja das Infimum aller
> Abstände zu den inneren Punkten ist, und das ist nun mal
> der Abstand zu 1. Auch, wenn 1 selbst kein innerer Punkt
> ist.
Genau.
> > > Beispiel: Sei [mm]X=\IN[/mm],
>
> > Mit der durch [mm]d(x,y)=|x-y|[/mm] gegebenen Metrik auf [mm]X[/mm]?
> Ja.
> > > A=[2,3,4,5]
>
> > Du meinst die Menge [mm]\{2,3,4,5\}[/mm]?
> Ja.
> > > Der Abstand zur Menge von x=6 wäre jetzt 1.
>
> > Ja.
>
> > > Der Abstand
> > > zum Inneren wäre dann 2,
>
> > Nein.
> >
> > > denn 5 ist ja kein innerer Punkt,
>
> > Doch. Wie habt ihr innere Punkte definiert?
> >
> > > da A keine Umgebung von 5 ist
>
> > Doch. [mm]5\in U\subseteq A[/mm] für die in [mm]X[/mm] offene Menge
> > [mm]U:=\{5\}=B_{\bruch12}^X(5)[/mm] (Ball um [mm]5[/mm] in [mm]X[/mm] vom Radius
> > [mm]\bruch12[/mm]).
> Moment. [mm]X=\IN[/mm] , A [mm]\subseteq[/mm] X, A=[2,5]. Dann hat x=6 den
> Abstand 1 zur Menge.
Ja.
> Aber den Abstand 2 zum nächsten
> inneren Punkt der Menge, nämlich 4. In der Menge der
> natürlichen Zahlen kann ich doch keine Umgebung um 5
> legen, sodass diese Umgebung noch komplett in A enthalten
> ist. Deine Kugel hat ja den Radius 0,5, das wäre doch
> nicht zulässig...
Doch, das ist zulässig. Wie habt ihr Umgebung definiert? Falls darin das Wort "offen" vorkommt: Wie habt ihr die Offenheit einer Teilmenge eines metrischen Raumes definiert? Irgendwo innerhalb dieser Definitionen sollte von reellen Zahlen [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] die Rede sein. Und $0,5$ ist ohne Zweifel eine reelle Zahl $>0$.
> > > 2) Ist A* der Rand von A in X und ist A* [mm]\not=\emptyset[/mm] ,
> > > so ist d(x,A)=d(x,A*) für alle [mm]x\in X\setminus A.[/mm]
> >
> >
> > > x liegt außerhalb von A. Ist A nun offen, so ist der
> > > Abstand zu A das gleiche wie der Abstand zum Rand, die
> > > Aussage stimmt.
>
> > Nein. Betrachte etwa [mm]X=\{0\}\cup[1,2][/mm] (mit [mm][1,2][/mm] meine ich
> > das Intervall aller reeller Zahlen [mm]x[/mm] mit [mm]1\le x\le 2[/mm]) mit
> > der durch [mm]d(x,y)=|x-y|[/mm] gegebenen Metrik, [mm]A=[1,2)[/mm] (Warum ist
> > sie offen in [mm]X[/mm]?) und [mm]x=0[/mm]. Beachte dabei, dass [mm]A^\*=\{2\}[/mm]
> > gilt.
> A ist eine offene Menge, denn: rechts im Intervall kann
> man sich beliebig nahe an 2 annähern, und um die 1 kann
> man eine Umgebung ziehen: Auf der einen Seite erwischt man
> damit jede menge reeller Zahlen, auf der anderen Seite
> immerhin noch die 0.
Ich kann nicht ganz folgen, weil ich nicht weiß, welche Umgebung du genau betrachtest. "Beliebig nah an 2 annähern können" scheint mir nicht als Begründung geeignet.
Denkbar wäre z.B. folgende Begründung der Offenheit von $A$ (vorausgesetzt, es ist bekannt, dass Kugeln der Form [mm] $B_\varepsilon^X(x)=\{y\in X\;|\;d(x,y)<\varepsilon\}$ [/mm] für reelle Zahlen [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und [mm] $x\in [/mm] X$ in beliebigen metrischen Räumen $X$ offen sind): Es gilt [mm] $A=B_1^X(1)$.
[/mm]
Wenn nicht bekannt ist, dass die Kugeln obiger Form offen sind, musst du wohl mit der Definition der Offenheit in metrischen Räumen arbeiten.
> Dass 2 ein Randpunkt von A ist, verstehe ich. Aber warum
> nicht auch 0? 0 berührt X \ A,
Ja.
> aber doch auch A selbst,
> oder nicht?
Nein. $0$ wäre genau dann Berührpunkt von $A$, wenn in jeder Umgebung von $0$ mindestens ein Punkt aus $A$ läge. [mm] $B_{0,5}^X(0)=\{0\}$ [/mm] ist aber eine Umgebung von $0$, in der kein Punkt aus $A$ liegt.
> Zwischen {0} und [1,2] liegen doch in X keine
> anderen Werte mehr,
Darauf kommt es in der Definition eines Berührpunktes nicht an. (In beliebigen metrischen Räumen ist zumindest so ohne Weiteres auch gar nicht klar, was "dazwischen liegen" eigentlich bedeuten soll.)
> also müsste 0 die 1 berühren
Die Aussage, dass sich zwei Punkte berühren, gibt es gar nicht; es gibt nur die Aussage, dass ein Punkt Berührpunkt einer Menge ist.
> und
> somit auch ein Randpunkt von A sein...
Noch ein paar Worte zur Anschauung des Begriffs Berührpunkt: Man kann zeigen: In einem beliebigen metrischen Raum $X$ ist ein Punkt [mm] $x\in [/mm] X$ Berührpunkt einer Teilmenge [mm] $A\subseteq [/mm] X$ genau dann, wenn es zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] einen Punkt [mm] $a\in [/mm] A$ mit [mm] $d(x,a)<\varepsilon$ [/mm] gilt, also wenn man sozusagen mit Punkten aus $A$ beliebig nahe an $x$ herankommt. In unserem Beispiel kommt man sozusagen nicht näher als bis zum Abstand 1 mit Punkten aus $A=[1,2)$ an $x=0$ heran.
> > > Beispiel: Sei [mm]X=\IN[/mm] , A=]2,3,4,5[
>
> > Was meinst du mit [mm]]2,3,4,5[[/mm]? Vielleicht [mm]\{3,4\}[/mm]?
> ]2,5[
Unter $]2,5[$ verstehe ich das Intervall aller REELLEN Zahlen $x$ mit $2<x<5$. Das wäre gar keine Teilmenge von [mm] $X=\IN$. [/mm] Falls du die Menge aller natürlichen Zahlen $x$ mit $2<x<5$ meinst: Das ist nichts anderes als die Menge [mm] $\{3,4\}$. [/mm] Davon gehe ich im Folgenden aus.
> > > Der Rand von A besteht jetzt aus 2 und 5.
>
> > (Unabhängig von der Wahl von [mm]A[/mm]:) Nein. Der Rand jeder
> > Teilmenge von [mm]X[/mm] ist die leere Menge.
> [mm]X=\IN[/mm] , [mm]A\subseteq[/mm] X, A=]2,5[
> 2 und 5 berühren A
Nein. Anschauliche Begründung: Man kommt mit Punkten aus $A$ nicht näher als bis zum Abstand $1$ an $2$ und $5$ heran. Formale Begründung: [mm] $B_{0,5}^X(2)=\{2\}$ [/mm] (bzw. [mm] $B_{0,5}^X(5)=\{5\}$) [/mm] ist eine Umgebung von $2$ (bzw. $5$), die kein Element aus $A$ enthält.
> (die 5 berührt die 4, die 2 berührt
> die 3),
S.o.: Es gibt die Aussage, dass sich zwei Punkte berühren gar nicht.
> aber gleichzeitig auch X \ A, da sie ja selbst zu X
> \ A gehören.
Das stimmt. Alle Punkte einer Teilmenge eines metrischen Raumes sind stets Berührpunkte dieser Teilmenge.
> Ich scheine einem grundsätzlichen Irrtum zu unterliegen.
> Wenn wir uns im Raum der natürlichen Zahlen bewegen, dann
> stellt man sich den Abstand zwischen zwei natürlichen
> Zahlen doch unendlich klein vor, oder nicht? Also, dass 5
> die 4 berührt.
> Scheint wohl nicht so zu sein...
Nein, es gilt $d(4,5)=|4-5|=|-1|=1$ und den Abstand $1$ würde sich wohl niemand als unendlich klein vorstellen. Der Abstand zweier verschiedener Elemente eines metrischen Raumes ist stets $>0$, also wird man sich ihn wohl nie als unendlich klein vorstellen.
Ich hoffe, dass meine Erklärungen ein wenig weiterhelfen. Ich freue mich über Nachfragen.
Viel Erfolg nächsten Dienstag!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Fr 20.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Hey Tobias,
> Unter [mm][2,5][/mm] verstehe ich das Intervall aller REELLEN
> Zahlen [mm]x[/mm] mit [mm]2\le x\le5[/mm]. Daher würde ich für die Menge
> aller natürlichen Zahlen [mm]x[/mm] mit [mm]2\le x\le 5[/mm] eine der
> Schreibweisen [mm]\{2,3,4,5\}[/mm] und [mm]\{x\in\IN\;|\;2\le x\le 5\}[/mm]
> verwenden.
Oh, ich wusste nicht, dass man die Schreibweise X=[a,b] nur bei reellen Zahlen verwendet... aber ich bin ja auch nur Physiker ^^
Gut, dass Du es trotzdem richtig interpretieren konntest!
> Nur um Missverständnisse auszuschließen:
>
> Der Rand von einer Teilmenge [mm]A\subseteq X[/mm] soll sicherlich
> die Menge aller Berührunkte von [mm]A[/mm] sein, die gleichzeitig
> Berührpunkt von [mm]X\setminus A[/mm] sind.
Genau.
> > Innerer Punkt: x [mm]\in[/mm] A ist ein innerer Punkt von A genau
> > dann, wenn A eine Umgebung von x ist.
> > Inneres: Menge aller inneren Punkte
> > Abgeschlossen: Menge A [mm]\subseteq[/mm] X ist abgeschlossen,
> > wenn sie alle ihre Berührpunkte (und Häufungspunkte)
> > enthält,
> Häufungspunkte sind ja spezielle Berührpunkte.
>
> > und wenn X-A offen ist.
> Sicherheitshalber: Die Bedingungen
>
> [mm]A[/mm] enthält alle Berührpunkte von [mm]A[/mm]
>
> und
>
> [mm]X-A[/mm] offen
>
> sind äquivalent.
Ok, das ergibt auch Sinn.
>
> > > > 1)Ist A* das Innere von A in X und A* [mm]\not=\emptyset[/mm] , so
> > > > ist d(x, A*)=d(x,A) für alle x aus X.
> > > >
> > > > Ich weiß nun, dass die Aussage falsch ist, denn:
> > > > Liegt x in A, so ist die Aussage richtig.
> >
> > > Nein. Betrachte etwa [mm]X=\IR[/mm] mit der gewöhnlichen Metrik,
> > > [mm]A=\{0\}\cup[1,2][/mm] und [mm]x=0[/mm].
> > Verstehe, der Abstand von x zur Menge ist 0, aber nicht
> > zum Inneren, 0 zählt nicht zum Inneren. Denn eine
> > Umgebung um 0 würde nicht mehr zur Menge gehören.
> Genau. Das Innere von [mm]A[/mm] ist [mm](1,2)[/mm] (das Intervall aller
> reellen Zahlen [mm]x[/mm] mit [mm]1
>
Gut, das hab ich also richtig nachvollziehen können.
> > > > Ist A abgeschlossen, so gehört der Rand mit zur Menge. Der
> > > > Abstand zur Menge ist dann der Abstand zum Rand, aber der
> > > > Abstand zum Inneren ist dann etwas mehr.
> >
> > > Nein. Betrachte etwa [mm]X=\IR[/mm] mit der gewöhnlichen Metrik,
> > > [mm]A=[1,2][/mm] und [mm]x=0[/mm].
> > Verstehe. Der Abstand zum Rand ist 1. Der Abstand vom
> > Inneren aber auch, da der Abstand ja das Infimum aller
> > Abstände zu den inneren Punkten ist, und das ist nun mal
> > der Abstand zu 1. Auch, wenn 1 selbst kein innerer Punkt
> > ist.
> Genau.
Musik in meinen Ohren^^
> > > > Beispiel: Sei [mm]X=\IN[/mm],
> >
> > > Mit der durch [mm]d(x,y)=|x-y|[/mm] gegebenen Metrik auf [mm]X[/mm]?
> > Ja.
> > > > A=[2,3,4,5]
> >
> > > Du meinst die Menge [mm]\{2,3,4,5\}[/mm]?
> > Ja.
> > > > Der Abstand zur Menge von x=6 wäre jetzt 1.
> >
> > > Ja.
> >
> > > > Der Abstand
> > > > zum Inneren wäre dann 2,
> >
> > > Nein.
> > >
> > > > denn 5 ist ja kein innerer Punkt,
> >
> > > Doch. Wie habt ihr innere Punkte definiert?
> > >
> > > > da A keine Umgebung von 5 ist
> >
> > > Doch. [mm]5\in U\subseteq A[/mm] für die in [mm]X[/mm] offene Menge
> > > [mm]U:=\{5\}=B_{\bruch12}^X(5)[/mm] (Ball um [mm]5[/mm] in [mm]X[/mm] vom Radius
> > > [mm]\bruch12[/mm]).
> > Moment. [mm]X=\IN[/mm] , A [mm]\subseteq[/mm] X, A=[2,5]. Dann hat x=6
> den
> > Abstand 1 zur Menge.
> Ja.
>
> > Aber den Abstand 2 zum nächsten
> > inneren Punkt der Menge, nämlich 4. In der Menge der
> > natürlichen Zahlen kann ich doch keine Umgebung um 5
> > legen, sodass diese Umgebung noch komplett in A enthalten
> > ist. Deine Kugel hat ja den Radius 0,5, das wäre doch
> > nicht zulässig...
> Doch, das ist zulässig. Wie habt ihr Umgebung definiert?
> Falls darin das Wort "offen" vorkommt: Wie habt ihr die
> Offenheit einer Teilmenge eines metrischen Raumes
> definiert? Irgendwo innerhalb dieser Definitionen sollte
> von reellen Zahlen [mm]\varepsilon>0[/mm] die Rede sein. Und [mm]0,5[/mm] ist
> ohne Zweifel eine reelle Zahl [mm]>0[/mm].
Wir hatten die offene Menge auch mit der [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung definiert, bzw mit der Kugel.
Eine Teilmenge A von X ist dann offen, wenn es zu jedem Punkt aus A eine Kugel gibt, die noch vollständig in A liegt.
Also wenn es zu jedem [mm] x\in [/mm] A ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt, sodass [mm] B_{ \varepsilon }(x) [/mm] = { y [mm] \in [/mm] X | d(x,y) < [mm] \varepsilon [/mm] } noch vollständig in A liegt.
Oder so ähnlich^^
Nun zu meinem Beispiel zurück:
[mm] X=\IN [/mm] , [mm] A\subseteq [/mm] X, A* das Innere von A, A={2,3,4,5}, x=6.
d(x,A)=1
Und ich behaupte jetzt, dass d(x,A*)=2.
Weil man um 5 keine Umgebung in X ziehen kann, die noch in A liegt.
Du sagst jetzt, es geht mit einer Kugel, Radius 0,5 zB.
Dann wäre das "rechte Ende" dieser Kugel bei 5,5. 5,5 liegt aber doch nicht in A, also erfüllt diese Kugel die Definition doch nicht.
Deswegen meine Behauptung d(x,A*)=2
> > > > 2) Ist A* der Rand von A in X und ist A* [mm]\not=\emptyset[/mm] ,
> > > > so ist d(x,A)=d(x,A*) für alle [mm]x\in X\setminus A.[/mm]
> >
> >
> > >
> > > > x liegt außerhalb von A. Ist A nun offen, so ist der
> > > > Abstand zu A das gleiche wie der Abstand zum Rand, die
> > > > Aussage stimmt.
> >
> > > Nein. Betrachte etwa [mm]X=\{0\}\cup[1,2][/mm] (mit [mm][1,2][/mm] meine ich
> > > das Intervall aller reeller Zahlen [mm]x[/mm] mit [mm]1\le x\le 2[/mm]) mit
> > > der durch [mm]d(x,y)=|x-y|[/mm] gegebenen Metrik, [mm]A=[1,2)[/mm] (Warum ist
> > > sie offen in [mm]X[/mm]?) und [mm]x=0[/mm]. Beachte dabei, dass [mm]A^\*=\{2\}[/mm]
> > > gilt.
> > A ist eine offene Menge, denn: rechts im Intervall kann
> > man sich beliebig nahe an 2 annähern, und um die 1 kann
> > man eine Umgebung ziehen: Auf der einen Seite erwischt man
> > damit jede menge reeller Zahlen, auf der anderen Seite
> > immerhin noch die 0.
> Ich kann nicht ganz folgen, weil ich nicht weiß, welche
> Umgebung du genau betrachtest. "Beliebig nah an 2 annähern
> können" scheint mir nicht als Begründung geeignet.
>
> Denkbar wäre z.B. folgende Begründung der Offenheit von [mm]A[/mm]
> (vorausgesetzt, es ist bekannt, dass Kugeln der Form
> [mm]B_\varepsilon^X(x)=\{y\in X\;|\;d(x,y)<\varepsilon\}[/mm] für
> reelle Zahlen [mm]\varepsilon>0[/mm] und [mm]x\in X[/mm] in beliebigen
> metrischen Räumen [mm]X[/mm] offen sind): Es gilt [mm]A=B_1^X(1)[/mm].
>
> Wenn nicht bekannt ist, dass die Kugeln obiger Form offen
> sind, musst du wohl mit der Definition der Offenheit in
> metrischen Räumen arbeiten.
>
> > Dass 2 ein Randpunkt von A ist, verstehe ich. Aber warum
> > nicht auch 0? 0 berührt X \ A,
> Ja.
>
> > aber doch auch A selbst,
> > oder nicht?
> Nein. [mm]0[/mm] wäre genau dann Berührpunkt von [mm]A[/mm], wenn in jeder
> Umgebung von [mm]0[/mm] mindestens ein Punkt aus [mm]A[/mm] läge.
> [mm]B_{0,5}^X(0)=\{0\}[/mm] ist aber eine Umgebung von [mm]0[/mm], in der
> kein Punkt aus [mm]A[/mm] liegt.
>
> > Zwischen {0} und [1,2] liegen doch in X keine
> > anderen Werte mehr,
> Darauf kommt es in der Definition eines Berührpunktes
> nicht an. (In beliebigen metrischen Räumen ist zumindest
> so ohne Weiteres auch gar nicht klar, was "dazwischen
> liegen" eigentlich bedeuten soll.)
>
> > also müsste 0 die 1 berühren
> Die Aussage, dass sich zwei Punkte berühren, gibt es gar
> nicht; es gibt nur die Aussage, dass ein Punkt Berührpunkt
> einer Menge ist.
>
> > und
> > somit auch ein Randpunkt von A sein...
> Noch ein paar Worte zur Anschauung des Begriffs
> Berührpunkt: Man kann zeigen: In einem beliebigen
> metrischen Raum [mm]X[/mm] ist ein Punkt [mm]x\in X[/mm] Berührpunkt einer
> Teilmenge [mm]A\subseteq X[/mm] genau dann, wenn es zu jedem
> [mm]\varepsilon>0[/mm] einen Punkt [mm]a\in A[/mm] mit [mm]d(x,a)<\varepsilon[/mm]
> gilt, also wenn man sozusagen mit Punkten aus [mm]A[/mm] beliebig
> nahe an [mm]x[/mm] herankommt. In unserem Beispiel kommt man
> sozusagen nicht näher als bis zum Abstand 1 mit Punkten
> aus [mm]A=[1,2)[/mm] an [mm]x=0[/mm] heran.
>
> > > > Beispiel: Sei [mm]X=\IN[/mm] , A=]2,3,4,5[
> >
> > > Was meinst du mit [mm]]2,3,4,5[[/mm]? Vielleicht [mm]\{3,4\}[/mm]?
> > ]2,5[
> Unter [mm]]2,5[[/mm] verstehe ich das Intervall aller REELLEN
> Zahlen [mm]x[/mm] mit [mm]2
> [mm]X=\IN[/mm]. Falls du die Menge aller natürlichen Zahlen [mm]x[/mm] mit
> [mm]2
> Davon gehe ich im Folgenden aus.
>
> > > > Der Rand von A besteht jetzt aus 2 und 5.
> >
> > > (Unabhängig von der Wahl von [mm]A[/mm]:) Nein. Der Rand jeder
> > > Teilmenge von [mm]X[/mm] ist die leere Menge.
> > [mm]X=\IN[/mm] , [mm]A\subseteq[/mm] X, A=]2,5[
> > 2 und 5 berühren A
> Nein. Anschauliche Begründung: Man kommt mit Punkten aus
> [mm]A[/mm] nicht näher als bis zum Abstand [mm]1[/mm] an [mm]2[/mm] und [mm]5[/mm] heran.
> Formale Begründung: [mm]B_{0,5}^X(2)=\{2\}[/mm] (bzw.
> [mm]B_{0,5}^X(5)=\{5\}[/mm]) ist eine Umgebung von [mm]2[/mm] (bzw. [mm]5[/mm]), die
> kein Element aus [mm]A[/mm] enthält.
>
> > (die 5 berührt die 4, die 2 berührt
> > die 3),
> S.o.: Es gibt die Aussage, dass sich zwei Punkte berühren
> gar nicht.
>
> > aber gleichzeitig auch X \ A, da sie ja selbst zu X
> > \ A gehören.
> Das stimmt. Alle Punkte einer Teilmenge eines metrischen
> Raumes sind stets Berührpunkte dieser Teilmenge.
>
> > Ich scheine einem grundsätzlichen Irrtum zu unterliegen.
> > Wenn wir uns im Raum der natürlichen Zahlen bewegen,
> dann
> > stellt man sich den Abstand zwischen zwei natürlichen
> > Zahlen doch unendlich klein vor, oder nicht? Also, dass 5
> > die 4 berührt.
> > Scheint wohl nicht so zu sein...
> Nein, es gilt [mm]d(4,5)=|4-5|=|-1|=1[/mm] und den Abstand [mm]1[/mm] würde
> sich wohl niemand als unendlich klein vorstellen. Der
> Abstand zweier verschiedener Elemente eines metrischen
> Raumes ist stets [mm]>0[/mm], also wird man sich ihn wohl nie als
> unendlich klein vorstellen.
>
Bei dem Rest ist mir einiges klar geworden. Vor allem, weil Du mir vor Augen gehalten hast, dass die Berührung zweier Punkte gar nicht definiert ist, und dass zwei natürliche Zahlen, auch, wenn man die anderen reellen Zahlen dazwischen "ausblendet", indem man in der Menge nur die natürlichen Zahlen betrachtet, stets den Abstand 1 zueinander haben, und nicht "unendlich nah" zueinander rücken.
Nochmal Dein Beispiel, um zu sehen, ob ichs kapiert hab:
X={0} [mm] \cup [/mm] [2,5], A=[2,5) [mm] \subseteq [/mm] X.
Der Rand von A ist nun 5, denn nur 5 berührt sowohl A, als auch A \ X. 0 berührt zwar X \ A, aber eben nicht A, denn das nächste Element ist 2, und das ist genau d(0,2)=2 von 0 entfernt. D.h. ich kann eine Umgebung um 0 legen, die so klein ist, dass keine Elemente von A darin enthalten sind --> 0 ist kein Berührpunkt von A und damit kein Randpunkt.
> Ich hoffe, dass meine Erklärungen ein wenig weiterhelfen.
> Ich freue mich über Nachfragen.
Auf jeden Fall!!
Ich will mich an der Stelle echt bei Dir bedanken,
ich hatte eigentlich gedacht, ich hätte alles verstanden gehabt und wollte hier nur eine kurze Bestätigung holen.
Stattdessen kam heraus, dass meine Überlegungen nicht nur einige Aspekte nicht beachtet ließen, sondern dass ich teilweise auch von völlig falschen Grundgedanken ausgegangen bin (von wegen zwei benachbarte natürliche Zahlen "berühren" sich in [mm] X=\IN [/mm] etc).
Mein Verständnis hat sich auf jeden Fall deutlich erweitert und meine Chancen, diese Wahr/Falsch-Aussagen der Topologie zu meistern, haben sich entsprechend erhöht - vor allem, weil die beiden Aussagen, um die es hier ging, die schwersten der Probeklausur waren.
> Viel Erfolg nächsten Dienstag!
Danke :)
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:10 Sa 21.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Wir hatten die offene Menge auch mit der [mm]\varepsilon[/mm] -
> Umgebung definiert, bzw mit der Kugel.
> Eine Teilmenge A von X ist dann offen, wenn es zu jedem
> Punkt aus A eine Kugel
um diesen Punkt
> gibt, die noch vollständig in A
> liegt.
> Also wenn es zu jedem [mm]x\in[/mm] A ein [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gibt,
> sodass [mm]B_{ \varepsilon }(x)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= $\{$ y [mm]\in[/mm] X | d(x,y) <
> [mm]\varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$ noch vollständig in A liegt.
Ja, genau diese Definition wird üblicherweise verwendet. Mit "vollständig in $A$ liegen" ist dabei "Teilmenge von A sein" gemeint.
> Nun zu meinem Beispiel zurück:
> [mm]X=\IN[/mm] , [mm]A\subseteq[/mm] X, A* das Innere von A, A={2,3,4,5},
> x=6.
> d(x,A)=1
> Und ich behaupte jetzt, dass d(x,A*)=2.
> Weil man um 5 keine Umgebung in X ziehen kann, die noch in
> A liegt.
> Du sagst jetzt, es geht mit einer Kugel, Radius 0,5 zB.
Ja, genau das sage ich... 
> Dann wäre das "rechte Ende" dieser Kugel bei 5,5.
Diese Kugel lautet
[mm] $B_{0,5}(5)=\{y\in X\;|\;d(5,y)<0,5\}=\{y\in\IN\;|\;|5-y|<0,5\}=\{5\}$.
[/mm]
Insofern würde ich nicht davon sprechen, dass sie ein "rechtes Ende" bei $5,5$ habe ($5,5$ ist auch gar kein Punkt im metrischen Raum [mm] $X=\IN$). [/mm] In jedem Fall liegt $5,5$ nicht in dieser Kugel.
> 5,5
> liegt aber doch nicht in A,
Das stimmt. Aber wie gesagt liegt 5,5 auch nicht in der Kugel vom Radius 0,5 um 5.
> also erfüllt diese Kugel die
> Definition doch nicht.
Doch: Es gilt [mm] $B_{0,5}(5)=\{5\}\subseteq [/mm] A$.
> Deswegen meine Behauptung d(x,A*)=2
> Nochmal Dein Beispiel, um zu sehen, ob ichs kapiert hab:
> X={0} [mm]\cup[/mm] [2,5], A=[2,5) [mm]\subseteq[/mm] X.
> Der Rand von A ist nun 5,
Du meinst das Richtige: Der Rand besteht nur aus dem Element 5. Der Rand selbst lautet [mm] $\{5\}$.
[/mm]
> denn nur 5 berührt sowohl A,
> als auch A \ X.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 0 berührt zwar X \ A, aber eben nicht A,
> denn das nächste Element ist 2, und das ist genau d(0,2)=2
> von 0 entfernt.
> D.h. ich kann eine Umgebung um 0 legen, die
> so klein ist, dass keine Elemente von A darin enthalten
> sind
Ja, nämlich die Umgebungen [mm] $\{0\}$ [/mm] und [mm] $\{0,5\}$ [/mm] haben diese Eigenschaft.
> --> 0 ist kein Berührpunkt von A und damit kein
> Randpunkt.
> > Ich hoffe, dass meine Erklärungen ein wenig weiterhelfen.
> > Ich freue mich über Nachfragen.
> Auf jeden Fall!!
> Ich will mich an der Stelle echt bei Dir bedanken,
> ich hatte eigentlich gedacht, ich hätte alles verstanden
> gehabt und wollte hier nur eine kurze Bestätigung holen.
> Stattdessen kam heraus, dass meine Überlegungen nicht nur
> einige Aspekte nicht beachtet ließen, sondern dass ich
> teilweise auch von völlig falschen Grundgedanken
> ausgegangen bin (von wegen zwei benachbarte natürliche
> Zahlen "berühren" sich in [mm]X=\IN[/mm] etc).
> Mein Verständnis hat sich auf jeden Fall deutlich
> erweitert und meine Chancen, diese Wahr/Falsch-Aussagen der
> Topologie zu meistern, haben sich entsprechend erhöht -
> vor allem, weil die beiden Aussagen, um die es hier ging,
> die schwersten der Probeklausur waren.
Das freut mich! 
(Beachte noch, dass wir in unseren Beispielen bisher nur spezielle metrische Räume betrachtet $X$ haben, nämlich welche mit [mm] $X\subseteq\IR$ [/mm] und $d(x,y)=|x-y|$ für alle [mm] $x,y\in [/mm] X$. Es gibt aber auch ganz andere metrische Räume $X$, z.B. $X$ eine beliebige Menge und
[mm] $d(x,y):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=y \\ 1, & \mbox{für } x\not=y \end{cases}$
[/mm]
für alle [mm] $x,y\in [/mm] X$. Z.B. lässt sich [mm] $X=\IN$ [/mm] auch so zu einem metrischen Raum machen. Dann haben je zwei verschiedene natürliche Zahlen plötzlich stets Abstand 1.)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:02 So 22.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Hi nochmal,
> > Nun zu meinem Beispiel zurück:
> > [mm]X=\IN[/mm] , [mm]A\subseteq[/mm] X, A* das Innere von A, A={2,3,4,5},
> > x=6.
> > d(x,A)=1
> > Und ich behaupte jetzt, dass d(x,A*)=2.
> > Weil man um 5 keine Umgebung in X ziehen kann, die noch
> in
> > A liegt.
> > Du sagst jetzt, es geht mit einer Kugel, Radius 0,5
> zB.
> Ja, genau das sage ich...
>
> > Dann wäre das "rechte Ende" dieser Kugel bei 5,5.
> Diese Kugel lautet
>
> [mm]B_{0,5}(5)=\{y\in X\;|\;d(5,y)<0,5\}=\{y\in\IN\;|\;|5-y|<0,5\}=\{5\}[/mm].
>
Aber das würde ja bedeuten, dass die Umgebung um x=5 nur aus {5} selbst besteht. Ist das legitim?
Was wäre, wenn [mm] X=\IR [/mm] wäre? Dann schließt Deine Kugel auf jeden Fall noch Elemente ein, die nicht in A liegen (5,5^^). Wenigstens dann wäre x=5 doch kein innerer Punkt mehr, oder?
> (Beachte noch, dass wir in unseren Beispielen bisher nur
> spezielle metrische Räume betrachtet [mm]X[/mm] haben, nämlich
> welche mit [mm]X\subseteq\IR[/mm] und [mm]d(x,y)=|x-y|[/mm] für alle [mm]x,y\in X[/mm].
> Es gibt aber auch ganz andere metrische Räume [mm]X[/mm], z.B. [mm]X[/mm]
> eine beliebige Menge und
>
> [mm]d(x,y):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=y \\ 1, & \mbox{für } x\not=y \end{cases}[/mm]
>
> für alle [mm]x,y\in X[/mm]. Z.B. lässt sich [mm]X=\IN[/mm] auch so zu einem
> metrischen Raum machen. Dann haben je zwei verschiedene
> natürliche Zahlen plötzlich stets Abstand 1.)
Ja, das verstehe ich, man muss also stets auch auf die Metrik achten.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 So 22.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > > [mm]X=\IN[/mm] , [mm]A\subseteq[/mm] X, A* das Innere von A,
> A={2,3,4,5},
> > > x=6.
> > > d(x,A)=1
> > > Und ich behaupte jetzt, dass d(x,A*)=2.
> > > Weil man um 5 keine Umgebung in X ziehen kann, die
> noch
> > in
> > > A liegt.
> > > Du sagst jetzt, es geht mit einer Kugel, Radius 0,5
> > zB.
> > Ja, genau das sage ich...
> >
> > > Dann wäre das "rechte Ende" dieser Kugel bei 5,5.
> > Diese Kugel lautet
>
> >
> > [mm]B_{0,5}(5)=\{y\in X\;|\;d(5,y)<0,5\}=\{y\in\IN\;|\;|5-y|<0,5\}=\{5\}[/mm].
>
> >
>
> Aber das würde ja bedeuten, dass die Umgebung um x=5 nur
> aus {5} selbst besteht. Ist das legitim?
Ja.
> Was wäre, wenn [mm]X=\IR[/mm] wäre? Dann schließt Deine Kugel
> auf jeden Fall noch Elemente ein, die nicht in A liegen
Genau.
> (5,5^^).
$5,5$ zwar nicht (denn wegen [mm] $|5-5,5|=0,5\ge [/mm] 0,5$ liegt $5,5$ auch für [mm] $X=\IR$ [/mm] nicht in [mm] $B_{0,5}(5)$), [/mm] aber z.B. $5,4$.
> Wenigstens dann wäre x=5 doch kein innerer Punkt
> mehr, oder?
Genau.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 So 22.09.2013 | | Autor: | Paivren |
Yes,
dann hab ichs verstanden!!
Danke Dir nochmal, Tobias, hast mir sehr geholfen :)
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