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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Mo 10.05.2010 | | Autor: | DanteXI |
| Aufgabe | Für die Glieder einer Folge (an) gelte
an = [mm] \bruch{X*n + Y}{Z n^2}
[/mm]
Man bestimme die Zahlen X, Y, Z so, daß gilt:
a1 = 1; a2 = [mm] \bruch{5}{8}; [/mm] a3 = [mm] \bruch{4}{9} [/mm] |
Ich sitze jetzt seit 2 Wochen (!!!) an dieser Aufgabe, habe im Internet gesucht und gesucht, bin auf das Gaußsche sowie das Matrizenverfahren gestoßen, aber ich kann diese Gleichung einfach nicht lösen. Ich hoffe mir kann hier jemand helfen weil ich langsam extrem frustriert bin und verzweifele. Die Lösungen habe ich, aber der Lösungsweg ist mir ein absolutes Rätsel!
Danke für die Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dante,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Was hast Du denn bereits gerechnet? Du musst hier lediglich die genannten Werte einsetzen. Damit erhältst Du dann ein Gleichungssystem, welches es zu lösen gilt:
[mm] $$a_1 [/mm] \ = \ 1 \ = \ [mm] \bruch{X*1+Y}{Z*1^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{X+Y}{Z} [/mm] \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ X+Y \ = \ Z \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ X+Y-Z \ = \ 0$$
[mm] $$a_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{8} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{X*2+Y}{Z*2^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*X+Y}{4*Z} [/mm] \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ 4*X+2*Y \ = \ 5*Z \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ 4*X+2*Y-5*Z \ = \ 0$$
[mm] $$a_3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{9} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{X*3+Y}{Z*3^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3*X+Y}{9*Z} [/mm] \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ 3*X+Y \ = \ 4*Z \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ 3*X+Y-4*Z \ = \ 0$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 10.05.2010 | | Autor: | DanteXI |
Hallo,
ja ich habe auch immer alles nach Z umgestellt und mich bei dem Gleichungssystem versucht, aber da komme ich nicht weiter. Und zwar komme ich immer wieder zu dem Ergebnis, wenn ich von II und III die erste Gleichung abgezogen habe das:
II' 0 * X - 2 * Y - 1 * Y = 0
III' 0 * X - 2 * Y - 1 * Y = =
Somit löst sich dann ja alles auf und alles wäre Null?
Ich weiss das ich da einen Fehler habe, aber ich finde ihn leider nicht :(
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Hallo DanteXI,
> Hallo,
>
> ja ich habe auch immer alles nach Z umgestellt und mich bei
> dem Gleichungssystem versucht, aber da komme ich nicht
> weiter. Und zwar komme ich immer wieder zu dem Ergebnis,
> wenn ich von II und III die erste Gleichung abgezogen habe
> das:
Das solltest du mal im Detail vorrechnen ...
>
> II' 0 * X - 2 * Y - 1 * Y = 0
> III' 0 * X - 2 * Y - 1 * Y = =
>
> Somit löst sich dann ja alles auf und alles wäre Null?
> Ich weiss das ich da einen Fehler habe, aber ich finde ihn
> leider nicht :(
Wenn du - wie du sagst - alle Gleichungen nach z auflöst, hast du doch:
(1) $Z=X+Y$
(2) [mm] $Z=\frac{4}{5}X+\frac{2}{5}Y$
[/mm]
(3) [mm] $Z=\frac{3}{4}X+\frac{1}{4}Y$
[/mm]
Setze nun das $Z=X+Y$ aus (1) in (2) und (3) ein, dann hast du in (2') und (3') nur noch die Variablen $X,Y$
Löse etwa (2') nach X auf und setze dann in (3') ein, damit bekommst du $Y$ ..
Dann rückwärts gehen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mo 10.05.2010 | | Autor: | DanteXI |
Bitte haltet mich nicht für verrückt, aber ich rechne mit den von euch angegebenen Methoden, aber nachdem ich dann nach X und Y aufgelöst habe und das wiederzum einsetze, ich krieg immer nur 0 raus. Ich bin im moment echt etwas balla balla im Kopf und ja, ich verstehs einfach nicht, sorry :(
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Hallo,
du hast recht, es kommt in der letzten Zeile (Gauss-verfahren) eine Nullzeile raus. Es steht also die wahre Aussage 0 = 0 da. Das bedeutet es gibt unendlich viele Werte-tripel X,Y,Z die die Forderung erfüllen. Dabei ist eine der drei Variablen frei wählbar (1 Freiheitsgrad). Die anderen beiden hängen dann aber jeweils von der dritten Variable ab!
Gruss Christian
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:38 Mo 10.05.2010 | | Autor: | maba |
Hi
also ich sage mal gleich vorweg ich hab keine ahnung ob der ansatz stimmt
eins ist aber sicher das diese drei gleichungen sehr widersprüchlich sind und kein nichts außer x = y = z = 0 sie erfüllen würde
wenn das die lösung ist ok glaub ich aber nicht.
das problem was meinermeinung nach bei dieser aufgabe besteht ist, dass die drei kleichungen voneinander abhängen und somit am ender 0 = 0 raus kommt es somit keine lösung gibt.
mfg
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> das problem was meinermeinung nach bei dieser aufgabe
> besteht ist, dass die drei kleichungen voneinander
> abhängen und somit am ender 0 = 0 raus kommt es somit
> keine lösung gibt.
Hallo,
Du hast recht damit, daß am Ende, wenn man äquivalente Umformungen des Gleichungssystems vornimmt,
für eine der Gleichungen 0=0 herauskommt.
Dies bedeutet allerdings nicht, daß es keine Lösung gibt!
Kein x,y,z der Welt kann die Wahrheit der Gleichung 0=0 vermasseln. Sie ist universell gültig und liefert keinerlei Einschränkung.
Man überlegt sich nun im weiteren Verlauf, welche x,y,z die verbleibenden Gleichungen lösen - dies wurde im Thread ja bereits getan.
Gruß v. Angela
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