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3 kleine Fragen.: Integr.grenze, ln, und Integr.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:04 Sa 22.04.2006
Autor: DeusRa

Hey, ich hätte da mal 3 kleine Fragen.

Erste Frage:
Wenn ich ein Integral habe, also z.B. [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}, [/mm]
und dann eine Substitution mache mit $g(x):=y:=f(x)$

wie sehen dann die Integralgrenzen aus ???
So (i) [mm] \integral_{g(a)}^{g(b)}{y *dy} [/mm] oder
so (ii) [mm] \integral_{a}^{b}{y *dy} [/mm] ???????
(Unabh. davon ob die Substitution hier stimmt, oder nicht ! Es geht mir hierbei nur um die Grenzen).

Zweite Frage:
Ist [mm] $\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x-1} dx} [/mm] = ln(x-1)$ ???

Dritte Frage:
Gilt das folgende ???  :
$ln(b) - ln(a) = [mm] ln(\bruch{b}{a})$ [/mm] ???
Wie wäre es dann mit
[mm] $\alpha*ln(b) [/mm] - ln(a)$ ???, wobei [mm] \alpha \in \IR. [/mm]

Danke schon mal.

        
Bezug
3 kleine Fragen.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Sa 22.04.2006
Autor: Janyary

also zu 1.
die integralgrenzen haengen schon sehr mit deiner substitution zusammen. also ich machs mal an nem bsp. :

sei [mm] f(x)=\bruch{x}{(1+x^{2})^{2}} [/mm]
[mm] \integral_{0}^{a}{f(x) dx} [/mm]

wuerdest du also substituieren mit [mm] t=1+x^{2} [/mm]

du kannst dir das so vorstellen, dass du [mm] \integral_{x=0}^{x=a}{f(x) dx} [/mm] vor der substitution hast.

jetzt wuerdest du deine grenzen einfach in die substitution einsetzen, also fuer die untere [mm] t=1+0^{2}=1 [/mm] und fuer die obere [mm] t=1+a^{2} [/mm]

ergibt dann: [mm] \integral_{1}^{1+a^{2}}{f(t) dt} [/mm]

zu 2.

ist an sich richtig, nur muss das ganze in betraegen stehen, also:

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x-1} dx}=ln|x-1| [/mm]

und zu 3.

[mm] ln(b)-ln(a)=ln(\bruch{b}{a}) [/mm] ist korrekt.

[mm] \alpha*ln(b)=ln(b^{ \alpha}) [/mm]

also ist [mm] \alpha*ln(b)-ln(a)=ln(b^{ \alpha})-ln(a)=ln(\bruch{b^{\alpha}}{a}) [/mm]


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