4-gradiges Polynom < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Di 18.12.2012 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie ein Polynom vierter Ordnung in Linearfaktordarstellung, das Nullstellen bei 5 und -1 besitzt und das durch die Punkte P1 (0|5),(3|-100) sowie (1|-12) geht. |
Ich habe meine Probleme dabei die 3. und die 4. Nullstelle zu finden. Ich komme zwar auf Ergebnisse, aber beim Einsetzen stimmen die Werte nicht mit der Aufgabenstellung überein. Ich weiß, dass die Funktion in Linearfaktordarstellung in etwa so aussehen muss:
[mm] f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})
[/mm]
Da ich die ersten zwei Nullstellen habe, sieht dies ja so aus:
[mm] f(x)=a(x-5)(x+1)(x-x_{3})(x-x_{4})
[/mm]
Wie soll ich nun weitermachen? Bitte mit Erklärung, wenn dies möglich ist.
Mit freundlichsten Grüßen und Dank im Voraus
Andi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Di 18.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du setzt die 3 Punkte ein und bekommst 3 Gleichungen mit den Unbekannten a, [mm] x_3, x_4
[/mm]
die löst man.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Di 18.12.2012 | | Autor: | bquadrat |
Gut ja, das wusste ich :)
Ich habe nun alles eingesetzt, was ich einsetzen konnte und habe nun folgende 3 Gleichungen. Könntest du mir eventuell weiterhelfen?
1. [mm] 5=-5a(-x_{3})(-x_{4})
[/mm]
2. [mm] -100=-8a(3-x_{3})(3-x_{4})
[/mm]
3. [mm] -12=-8a(1-x_{3})(1-x_{4})
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Di 18.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] x_3*x_4=-1/a [/mm] in die anderen Gl. einsetzen, nachdem du sie ausmult. hast. dann nach [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] auflösen (abhängig von a) , das Ergebnis wieder in die erste Gl einsetzen, gibt a.
andere methode: setze alle punkte in die fkt f(x)= [mm] ax^4+bx^3+cx^2+dx+e [/mm] ein, dann hast du 5 lineare gl, die du lösen kannst.
Danach dividierst du durch (x-5)*( und löst die bleibende quadratische gl. für die 2 restlichen Nullstellen,
gruss leduartx+1)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Di 18.12.2012 | | Autor: | bquadrat |
Also ichhabe jetzt deine 2. Variante ausprobiert, aber noch nicht durch (x-5)*(x+1) geteilt, weil ich die vermutung habe, etwas falsch gemacht zu haben.
Also durch das Einsetzen der 5 Punkte habe ich nun folgende 5 Gleichungen:
1. 0=625a+125b+25c+5d+e
2. 0=a-b+c-d+e
3. 5=e
4. -100=81a+27b+9c+3d+e
5. -12=a+b+c+d+e
habe ich dich vielleicht falsch verstanden?
Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Fulla |
> Also durch das Einsetzen der 5 Punkte habe ich nun
> folgende 5 Gleichungen:
> 1. 0=625a+125b+25c+5d+e
> 2. 0=a-b+c-d+e
> 3. 5=e
> 4. -100=81a+27b+9c+3d+e
> 5. -12=a+b+c+d+e
Hallo Andi,
deine Gleichungen stimmen. Du kannst jetzt [mm]e=5[/mm] in die anderen Gleichungen einsetzen und dann (1.) durch 5 und (4.) durch 3 dividieren.
Such dir ein Verfahren zum Lösen des Gleichungssystems aus (welche kennst du eigentlich?) und führe die von leduart vorgeschlagene Polynomdivision durch.
(Tipp: Die Koeffizienten a, b, c, d sind alle ganzzahlig, bzw. Vielfache von [mm]\frac 12[/mm]. Wenn du also irgendwelche wilden Brüche rauskriegst (so wie ich beim ersten Versuch), hast du dich verrechnet. Gleiches gilt übrigens auch für die Nullstellen [mm]x_1[/mm],...,[mm]x_4[/mm].)
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Mi 19.12.2012 | | Autor: | bquadrat |
Hallo und vielen Dank für die Mithilfe.
Ich habe das Gleichungssystem nun in eine Matrix umgeformt (damit habe ich zumindest mal bessere Übersicht) und das ganze sieht nun so aus:
[mm] \pmat{ 125 & 25 & 5 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 27 & 9 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ d } [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ -35 \\ -17}
[/mm]
Nun habe ich aber ehrlich gesagt noch keine Ahnung wie ich weiterrechnen soll aber versuche mal auf eine Idee zu kommen.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Fulla |
> Hallo und vielen Dank für die Mithilfe.
> Ich habe das Gleichungssystem nun in eine Matrix umgeformt
> (damit habe ich zumindest mal bessere Übersicht) und das
> ganze sieht nun so aus:
> [mm]\pmat{ 125 & 25 & 5 & 1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
27 & 9 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 1 }[/mm] * [mm]\vektor{a \\
b \\
c \\
d }[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\
\red{0} \\
-35 \\
-17}[/mm]
>
> Nun habe ich aber ehrlich gesagt noch keine Ahnung wie ich
> weiterrechnen soll aber versuche mal auf eine Idee zu
> kommen.....
Hallo zurück!
In der zweiten Zeile ist ein Fehler: statt 0 muss da -5 stehen.
Schreib das Ganze lieber in der Form [mm](A|b)[/mm], wobei A die Matrix und b der Vektor rechts des Gleichheitszeichens ist. Siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
Jetzt darfst du folgende Umformungen durchführen:
- Multipliziere eine komplette Zeile mit einere beliebigen, von 0 verschiedenen Zahl
- Vertausche zwei Zeilen
- Addiere ein (von 0 verschiederes) Vielfaches einer Zeile zu einer anderen
Versuche so zu erreichen, dass die Matrix zur Einheitsmatrix [mm]E_4[/mm] wird, dann sind die Einträge des Vektors [mm]\tilde b[/mm] von oben nach unten die Parameter a, b, c, d.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 So 23.12.2012 | | Autor: | bquadrat |
Dankeschön für die Hilfe es hat mir geholfen und ich bin auf das richtige Ergebnis gekommen :) Auch wenn es jetzt bisschen spät kommt.
Andi
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