40 Matrosen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:22 Mo 02.06.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Stefan,
ich dachte, ich beschäftige uns mal ein bisschen  Nein, ein Freund fragte mich nach der Lösung dieser Aufgabe, und ich würde jetzt gerne wissen, ob das so in Ordnung ist, was ich ihm gesagt habe.
| Aufgabe | | 40 Matrosen kehren nach einer Zech-Tour auf ihr Schiff zurück. Berechne den Erwartungswert der Zufallsvariable, die die Anzahl der Matrosen angibt, die auf ihrem eigenen Schlafplatz zu liegen kommen. |
Meine Lösungsgedanken:
(Bitte nur kurz kommentieren, was falsch ist).
Es gibt 40! Permutationen, die die Zuordnung Matrose->Schlafplätze darstellen; alle sind gleichwahrscheinlich, nur eine davon ist die "richtige" Zuordnung, bei der jeder Matrose auf seinem Schlafplatz liegt.
Betrachtet man nun den Schlafplatz eines beliebigen Matrosen, so gibt es unter den 40! Permutationen (n-1)! Stück, bei denen der richtige Matrose dort auch liegt. Da dies für alle Schlafplätze gilt, ist also die W'keit, dass ein Matrose auf seinem Platz liegt (n-1)! / n! = 1 / 40, also haben wir ein Bernoulli-Experiment mit Erfolgwahrscheinlichkeit p = 1/40, Erwartungswert E(X) = n*p = 40 * 1/40 = 1
Zu erwarten ist also nur ein einziger Matrose, der auf seinem Platz zu liegen kommt.
Wahrscheinlich hast du diese Aufgabe schon tausendmal bearbeitet, aber ich bin mir immer unsicher bei Stochastik...
Vielen Dank für die Korrektur,
Marc
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:29 Di 03.06.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Marc,
das ist alles in Ordnung so. Die (Einzel-)Wahrscheinlichkeit von 1/40 hätte man aber doch auch einfacher (ohne Permutationen) einsehen können, oder?
Normalerweise dient die Aufgabe dazu, die Vorzüge der Linearität des Erwartungswertes deutlich zu machen. (Schreibe dann die Zufallsvariable der Anzahl der richtig liegenden Matrosen als Summe über Indikatiorfunktionen.) Aber da man die Formel für den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable ja explizit kennt (E(X)=n*p), ist dein Vorgehen so auch völlig in Ordnung. 
Ich schreibe dir gleich noch mal eine Mail, in der ich dir von den neuesten Entwicklungen, was meine "Öffentlichkeitsarbeit" angehn, berichte.
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Di 03.06.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Stefan,
danke für deine Antwort, für mich hat sich MatheRaum jetzt schon gelohnt
> das ist alles in Ordnung so. Die (Einzel-)Wahrscheinlichkeit
> von 1/40 hätte man aber doch auch einfacher (ohne
> Permutationen) einsehen können, oder?
Das ist mir (eben) nicht so klar, denn bei meiner ersten naiven Betrachtung der Dinge hat der als zweite ankommende Matrose ja eigentlich nicht mehr die W'keit 1/40, seinen eigenen Schlafplatz einzunehmen, da dieser ja entweder schon belegt ist oder er nur noch aus 39 wählen kann. Kann man denn anders schneller einsehen, dass jeder mit W'keit 1/40 seinen Platz einnimmt?
Danke nochmal,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 Di 03.06.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Marc,
okay, ich verstehe dein Problem natuerlich schon und habe im Moment das gleiche Problem. Hmmmh... Jetzt bin ich gerade überfragt, um ehrlich zu sein. Vielleicht geht es ja doch nicht einfacher!?
Im Moment bin ich mir noch nicht mal mehr sicher, ob die Lösung überhaupt richtig ist, obwohl ich sie so auch mittlerweile im Internet gefunden habe. Ich denke mal weiter drüber nach...
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Di 03.06.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Marc!
Ich glaube ich habe es jetzt verstanden. Deine Seite hatte ich übrigens auch gefunden.
Vorneweg: Ich hatte beim vorletzten Mal Unsinn geschrieben: Es handelt sich doch nicht um eine Binomialverteilung. Zwar ist die Zufallsvariable, welche die Anzahl der Matrosen misst, die auf dem richtige Platz liegen, eine Summe bernoulli-verteilter Zufallsvariablen, aber diese sind (wie du selber richtigerweise festgestellt hast!) nicht unabhängig!! Aber sie sind identisch verteilt. Daher ist der Erwartungswert der Summe (wegen der Linearität des Erwartungswerts!) einfach n-mal der Erwartungswert derjenigen Zufallsvariablen, die misst, ob der i-te Matrose auf dem richtigen Platz liegt. Daher ist dein Ergebnis am Schluss nur "mehr oder weniger zufällig" richtig. Sorry, ich hatte dir also zu früh recht gegeben mit deinem Ansatz der Binomialverteilung.
Genau geht es jetzt so:
Es sei
[mm] A_i [/mm] : [mm] {(a_1,...,a_n) : a_i = i}
[/mm]
das Ereignis, dass der i-te Matrose auf dem richtigen Platz liegt und
[mm] 1_{A_i}
[/mm]
die Indikatorfunktion (1, falls omega in [mm] A_i; [/mm] 0 sonst).
Gesucht ist der Erwartungswert von
S = [mm] sum_{i=1}^n 1_{A_i}
[/mm]
(diese Zufallsvariable misst die Anzahl der Matrosen, die auf dem richtigen Platz liegen).
Da der Erwartungswert linear ist, gilt:
E[S] = [mm] E[1_{A_1}] [/mm] + ... + [mm] E[1_{A_n}].
[/mm]
Es gilt für alle i (da [mm] 1_{A_i} [/mm] bernoulli-verteilt ist oder einfach nach Definition des Erwartungswertes für Indikatorfunktionen) :
[mm] E[1_{A_i}] [/mm] = [mm] P(A_i).
[/mm]
Mit genau deinen Überlegungen (!) stellt man fest, dass folgendes gilt:
[mm] P(A_i) [/mm] = (n-1)! / n! = 1/n
(insbesondere ist [mm] P(A_i) [/mm] unabhängig von i).
Daher gilt:
E[S] = n * [mm] P(A_1) [/mm] = n * 1/n = 1.
Ich hoffe ich habe dich jetzt nicht verwirrt, sorry, Marc.
Also, noch einmal: Dein Ansatz, was die Einzelwahrscheinlichkeiten angeht, war voellig richtig. Allerdings ist (in meiner Notation) das S nicht binomialverteilt. Dennoch gilt auch hier (wegen der identischen Verteilung der [mm] 1_{A_i}) [/mm] die Beziehung:
E[S] = n * [mm] P(A_1).
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Di 03.06.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Marc,
kein Problem. Vielen Dank für deine netten Worte.
> Nein, im Gegenteil, du hast für mich wieder ein Stück Logik in
> die Stochastik gebracht
Da muss man leider in der diskreten Stochastik häufig ziemlich lange nach suchen. Es liegt an den Darstellungen, die häufig in Stochastik-Büchern miserabel sind. Es wird immer argumentiert, dass durch einen maßtheoretischen Ansatz die Intuition verloren geht. Dem kann ich nicht zustimmen. Ich bin eher der Meinung, dass ein maßtheoretisch-axiomatischer Zugang "logischer" erscheint. Dafür bin ich viel zu wenig Stochastiker und viel zu viel Analytiker. Erst nach dem Studium der beiden Bücher von Bauer ("Maß-und Integrationstheorie" und "Wahrscheinlichkeitstheorie") habe ich die Stochastik wirklich verstanden.
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 Di 03.06.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo nochmal,
ich habe nochmal nachgelesen: Du hattest zwar nirgendswo behauptet, dass S (oder bei dir X) binomialverteilt ist. Aber du hast etwas von "Bernoulli-Experiment" geschrieben, und dabei wird die Unabhängigkeit vorausgesetzt.
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 23.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Sa 23.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Marc,
ist das eine manuelle Schließung? Oder was veranlasst matux, jetzt doch diesen gut abgehangenen Thread zu beenden? Es gab da ja noch ein paar mehr, aber ich habe lange nicht mehr danach gesucht.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Sa 23.07.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo reverend!
Da wurde diese Frage wieder durch DM08 eröffnet und dann doch nicht beantwortet. Daher hier der matux-Einsatz.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:04 So 24.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Loddar,
> Da wurde diese Frage wieder durch DM08 eröffnet und dann
> doch nicht beantwortet. Daher hier der matux-Einsatz.
Hm. Darauf hätte ich kommen können bzw. es selbst nachsehen sollen. Habe ich aber nicht. Danke also für den Hinweis!
Grüße
reverend
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://wwwmayr.informatik.tu-muenchen.de/lehre/2002WS/ra/uebung/lo01.ps![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]"){kind=small}
