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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:13 Di 06.07.2004 | | Autor: | Stepsen |
Die ersten beiden Aufgaben sind hier:
1.
In jeder Ecke eines gleichseitigen Dreiecks mit 10 cm Seitenlänge
befindet sich eine kleine Kugel, die +10^-7 C trägt.
Welche Ladung muß eine kleine Kugel im Schwerpunkt des
Dreiecks tragen, damit das System stabil ist.
2.
Welche durchschnittliche elektrische Flußdichte besteht auf einer
Kugelschale (d=10 cm),in deren Inneren sich [mm] 2·10^6 [/mm] Protonen und
7 [mm] ·10^5 [/mm] Elektronen befinden?
alles im Vakuum und schwerelos
die Aufgaben 3 und 4 sind unter dem Link zu finden (konnte es nicht reinkopieren, da sonst die Skizzen fehlen würden!)
http://www-pbp.physik.hu-berlin.de/Lehre/Aufg/12.html
Also ich brauche keine kompletten Lösungen, aber wenn mir jemand nen hilfreichen Ansatz liefern könnte wäre mir schon sehr geholfen!
(Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt)
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Hallo,
Antwort auf Frage 1.
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Wir wählen den Ursprung des Koordinatensystems im Schwerpunt des Dreiecks. Dadurch, ist das System symetrisch bei einer Rotation um die z-Achse mit 120°. Also, wenn eine Kugel in einem Eck in Gleichgewicht ist, dann ist das ganze System stabil.
Bezeichnen wir die Ladung in den Ecken mit q und die im Schwerpunkt mit Q.
Die Koordinaten der Eckpunkte sind:
[mm] A(0|\bruch{a}{3} \wurzel{3}), B(-\bruch{a}{2}|-\bruch{a}{6} \wurzel{3}), C(\bruch{a}{2}|- \bruch{a}{6} \wurzel{3}).
[/mm]
a ist die Seitenlänge des Dreiecks.
Die Kräfte die auf die Kugel im punkt A wirken, sind
[mm] \vec{F}_{A0}=\bruch{qQ}{4 \pi \varepsilon}. \bruch{1}{ r_{A0}^{3}} \vektor{ x_{A}- x_{0} \\ y_{A}-y_{0}}
[/mm]
wobei
[mm] r_{A0}= \wurzel{(x_{A}-x_{0})^2+(y_{A}-y_{0})^2}
[/mm]
[mm] r_{A0}= \wurzel{(0-0)^2+((\bruch{a}{3} \wurzel{3})-0)^2}
[/mm]
[mm] r_{A0}=\bruch{a}{3} \wurzel{3}
[/mm]
[mm] \vec{F}_{A0}=\bruch{qQ}{4 \pi \varepsilon}. \bruch{1}{(\bruch{a}{3} \wurzel{3})^{3}} \vektor{0 \\ \bruch{a}{3} \wurzel{3}}
[/mm]
[mm] \vec{F}_{A0}=\bruch{qQ}{4 \pi \varepsilon}. \bruch{3}{a^{2}} \vektor{0\\1}
[/mm]
Ähnliches gilt Auch für die 2 anderen Kräfte. Man ersetzt in der obigen Formel den Index 0 durch B und dann durch C, und Q durch q.
[mm] \vec{F}_{AB}=\bruch{q^{2}}{4 \pi \varepsilon}. \bruch{1}{ r_{AB}^{3}} \vektor{ x_{A}- x_{B} \\ y_{A}-y_{B}}
[/mm]
wobei
[mm] r_{AB}= \wurzel{(x_{A}-x_{B})^2+(y_{A}-y_{B})^2}
[/mm]
[mm] r_{AB}= \wurzel{(0-(-\bruch{a}{2}))^2+((\bruch{a}{3} \wurzel{3})-(-\bruch{a}{6} \wurzel{3}))^2}
[/mm]
[mm] r_{AB}=a[/mm]
[mm] \vec{F}_{AB}=\bruch{q^{2}}{4 \pi \varepsilon}. \bruch{1}{a^{3}} \vektor{ \bruch{a}{2} \\ \bruch{a}{2} \wurzel{3}}
[/mm]
[mm] \vec{F}_{AB}=\bruch{q^{2}}{4 \pi \varepsilon}. \bruch{1}{2a^{2}} \vektor{1 \\ \wurzel{3}}
[/mm]
[mm] \vec{F}_{AC}=\bruch{q^{2}}{4 \pi \varepsilon}. \bruch{1}{ r_{AC}^{3}} \vektor{ x_{A}- x_{C} \\ y_{A}-y_{C}}
[/mm]
wobei
[mm] r_{AC}= \wurzel{(x_{A}-x_{C})^2+(y_{A}-y_{C})^2}
[/mm]
[mm] r_{AC}= \wurzel{(0-(\bruch{a}{2}))^2+((\bruch{a}{3} \wurzel{3})-(-\bruch{a}{6} \wurzel{3}))^2}
[/mm]
[mm] r_{AC}=a[/mm]
[mm] \vec{F}_{AC}=\bruch{q^{2}}{4 \pi \varepsilon}. \bruch{1}{a^{3}} \vektor{ -\bruch{a}{2} \\ \bruch{a}{2} \wurzel{3}}
[/mm]
[mm] \vec{F}_{AC}=\bruch{q^{2}}{4 \pi \varepsilon}. \bruch{1}{2a^{2}} \vektor{-1 \\ \wurzel{3}}
[/mm]
Man stellt die Bedingung, dass die vektorielle Summe dieser 3 Kräfte den Vektor 0 ergibt.
[mm] \vec{F}_{A0}+\vec{F}_{AB}+\vec{F}_{AC}= \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \bruch{q}{4 \pi \varepsilon a^{2}}(3Q \vektor{0 \\ 1}+\bruch{q}{2}\vektor{1 \\ \wurzel{3}}+\bruch{q}{2}\vektor{-1 \\ \wurzel{3}})=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
So erhält man für die Ladung Q:
[mm] Q=-\bruch{\wurzel{3}}{3}q
[/mm]
Das Ergebnis ist unabhängig von der Seitenlänge.
Hoffentlich hat es dir weitergeholfen.
Mit freundlichen Grüßen,
Ladis
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