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4x4: Inverse
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:49 So 04.07.2010
Autor: DoktorQuagga

Aufgabe
Hallo, kann mir jemand sagen, wie man die Inverse einer 4x4-Matrix berechnet?

Danke im voraus.

        
Bezug
4x4: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:16 So 04.07.2010
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo, kann mir jemand sagen, wie man die Inverse einer
> 4x4-Matrix berechnet?
>  Danke im voraus.

ja, zunächst einmal würde ich die Determinante berechnen, um zu gucken, ob die Matrix überhaupt invertierbar ist (oder besser berechnen lassen, z.B. etwa []hier).

Hat die Determinante nämlich den Wert [mm] $0\,,$ [/mm] so brauchen wir gar nicht erst nach einer inversen Matrix suchen. Hat sie einen Wert [mm] $\not=0$, [/mm] so ist die Matrix invertierbar.

Falls sie invertierbar ist, so ist die Linksinverse auch die Rechtsinverse. Mit
[mm] $$A=\pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} }$$ [/mm]
und
[mm] $$A^{-1}=:B=\pmat{ b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24}\\b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} \\b_{41} & b_{42} & b_{43} & b_{44} }$$ [/mm]
erhältst Du also mittels
[mm] $$A*B=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 }$$ [/mm]
16 Gleichungen in den 16 Unbekannten [mm] ($b_{11},\ldots,b_{14},$$b_{21},\ldots,b_{24},$$b_{31},\ldots,b_{34},$$b_{41},\ldots,b_{44}$), [/mm] welches Du lösen kannst.

Das ist so die ganze Theorie dahinter. Praktisch geht das dann z.B. mit dem []Gauß-Jordan-Algorithmus:
Dazu schreibe
[mm] $$\pmat{ a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & |& \blue{1} & \blue{0} & \blue{0} & \blue{0} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}& |&\blue{0} & \blue{1} & \blue{0} & \blue{0}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} &|& \blue{0} & \blue{0} & \blue{1} & \blue{0}\\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} &|& \blue{0} & \blue{0} & \blue{0} & \blue{1}}$$ [/mm]
und bringe bei dieser großen Matrix die Teil-Matrix [mm] $A\,$ [/mm] nun durch übliche Umformungen (die dann natürlich überall bei der obigen $4 [mm] \times [/mm] 8$-Matrix durchgeführt werden) des Gaußalgorithmus in die Form der Einheitsmatrix, so dass Du am Ende in der "blauen Teil-Matrix" die Inverse ablesen kannst.
(Dass man rechts die Inverse auch wirklich ablesen kann, kannst Du Dir selbst erklären, wenn Du Dir nochmal klarmachst, was passiert, wenn man ein eindeutig lösbares GLS (d.h. [mm] $A\,$ [/mm] regulär) der Form $Ax=b$ in die Matrixschreibweise $(A|b)$ überführt und dieses dann mit dem Gauß-Algorithmus löst. Am Ende erhält man die Form $(I|x)$ (sofern $Ax=b$ genau eine Lösung hat), und rechts steht dann das gesuchte [mm] $x=A^{-1}*b\,$). [/mm]

Beste Grüße,
Marcel

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