6-te Einheitswurzel < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Mi 30.06.2010 | | Autor: | n0rdi |
| Aufgabe | | Ermitteln Sie alle Lösungen z [mm] \in \IC [/mm] der Gleichung [mm] (z-3j)^{6} [/mm] +64 = 0. |
Hallo,
ich habe bei dieser Aufgabe eigentlich nur ein kleines Verständnisproblem.
Zuerst substituiere ich den Term z-3j mit x (x = z-3j) sodass ich folgendes habe:
[mm] x^{6} [/mm] = -64
daraus folgen folgende Einheitswurzeln:
[mm] x_{k} [/mm] = [mm] 2*e^{(0+2*\pi*k)/6} [/mm] für k=0,1,2,3,4,5.
[mm] x_{k} [/mm] = z-3j
=> z = 3j + [mm] 2*e^{(0+2*\pi*k)/6} [/mm] für k=0,1,2,3,4,5.
Eine andere Lösungen jedoch besagt das die Lösung so aussieht:
z = 3j + [mm] 2*e^{(\pi+2*\pi*k)/6} [/mm] für k=0,1,2,3,4,5.
Welche ist nun richtig? Bzw.warum addiert man Pi darauf?
Ich bin mir nicht sicher, aber hat es was mit dem Einheitskreis zu tun, sprich in welchem Quadranten ich mich befinde?
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Mi 30.06.2010 | | Autor: | statler |
> Ermitteln Sie alle Lösungen z [mm]\in \IC[/mm] der Gleichung
> [mm](z-3j)^{6}[/mm] +64 = 0.
Hi!
> Zuerst substituiere ich den Term z-3j mit x (x = z-3j)
> sodass ich folgendes habe:
> [mm]x^{6}[/mm] = -64
> daraus folgen folgende Einheitswurzeln:
> [mm]x_{k}[/mm] = [mm]2*e^{(0+2*\pi*k)/6}[/mm] für k=0,1,2,3,4,5.
So wäre das eine reelle Zahl, da fehlt ein i (oder j) im Exponenten. Und auch dann stimmt es nicht, mach doch mal die Probe, also hoch 6 das Ding.
Da steht -64 auf der rechten Seite!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Mi 30.06.2010 | | Autor: | n0rdi |
> So wäre das eine reelle Zahl, da fehlt ein i (oder j) im
> Exponenten.
oh stimmt, tut mir Leid. Das habe ich vergessen
=> [mm]x_{k}[/mm] = [mm]2*e^{j*(0+2*\pi*k)/6}[/mm] für k=0,1,2,3,4,5.
> Und auch dann stimmt es nicht, mach doch mal
> die Probe, also hoch 6 das Ding.
>
Sprich:
=> [mm]x_{k}[/mm] = [mm]2*e^{j*(0+2*\pi*k)/6}[/mm] für k=0,1,2,3,4,5.
> Da steht -64 auf der rechten Seite!
>
Stimmt, ich muss da ja wieder ein Minus vor die 64 bekommen.
Ich müsste das so machen, dass durch das Potenzieren von e eine -1 entsteht, aber ich weiß nicht so recht wie :/
Und was ist nun mit dem Pi? muss da eins hin oder doch nicht?
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Hallo Thomas,
> > So wäre das eine reelle Zahl, da fehlt ein i (oder j) im
> > Exponenten.
> oh stimmt, tut mir Leid. Das habe ich vergessen
> => [mm]x_{k}[/mm] = [mm]2*e^{j*(\red{0}+2*\pi*k)/6}[/mm] für k=0,1,2,3,4,5. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da muss doch [mm] $\operatorname{arg}(-64)$ [/mm] stehen, und das kannst du doch am Koordinatensystem ablesen: [mm] $\operatorname{arg}(-64)=\pi$
[/mm]
>
>
> > Und auch dann stimmt es nicht, mach doch mal
> > die Probe, also hoch 6 das Ding.
> >
>
> Sprich:
> => [mm]x_{k}[/mm] = [mm]2*e^{j*(\red{0}+2*\pi*k)/6}[/mm] für k=0,1,2,3,4,5.
Wieder nicht richtig!
>
> > Da steht -64 auf der rechten Seite!
> >
> Stimmt, ich muss da ja wieder ein Minus vor die 64
> bekommen.
> Ich müsste das so machen, dass durch das Potenzieren von
> e eine -1 entsteht, aber ich weiß nicht so recht wie :/
> Und was ist nun mit dem Pi? muss da eins hin oder doch
> nicht?
Ja sicher, du brauchst den Betrag [mm] $\sqrt[6]{|-64|}=2$ [/mm] und das Argument (s.o.)
[mm] $x_k=2e^{i\cdot{}\frac{\pi+2k\pi}{6}}, [/mm] \ \ \ k=0,1,2,3,4,5$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mi 30.06.2010 | | Autor: | n0rdi |
>
> Da muss doch [mm]\operatorname{arg}(-64)[/mm] stehen, und das kannst
> du doch am Koordinatensystem ablesen:
> [mm]\operatorname{arg}(-64)=\pi[/mm]
>
Mh, und wie kann ich das?^^ Weil der Wert (-64) negativ ist und sich somit im 3.Quadranten befindet, sprich man addiert [mm] \pi [/mm] bzw. 180° darauf, damit es passt?
Ok, die richtige Lösung ist dann wohl:
=> [mm]x_{k}[/mm] = [mm]2*e^{j*(\pi+2*\pi*k)/6}[/mm] für k=0,1,2,3,4,5.
> Ja sicher, du brauchst den Betrag [mm]\sqrt[6]{|-64|}=2[/mm] und das
> Argument (s.o.)
Wofür brauche ich das bzw. wo benutze ich das?
Verstehe aber noch nicht so ganz, wie das gemeint ist :/
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mi 30.06.2010 | | Autor: | n0rdi |
aaah, nun hat es beim Argument Klick gemacht ;) - hoffe ich ;)
man kann ja auch schreiben:
[mm] z^{6} [/mm] = [mm] -64*(cos(\alpha)+i*sin(\alpha)
[/mm]
Damit die Gleichung erfüllt ist, muss Cosinus = -1 und Sinus 0 sein, da es ja kein Imaginärteil gibt.
Alpha müsste dann Pi sein.
somit ist das Hauptargument Pi??
und das ist das alpha in:
[mm] x^{6}= 64*e^{ i*(\alpha + 2*\pi*k)/6}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Mi 30.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt ists richtig, nur statt deinem [mm] \alpha [/mm] ein [mm] \pi
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mi 30.06.2010 | | Autor: | n0rdi |
Ok gut, Danke euch allen :)
aber eine kleine Frage hätte ich und zwar:
[mm] \alpha [/mm] = [mm] arctan(\bruch{Im}{Re})
[/mm]
Warum addiert man dann nochmal ein PI dazu? Bei meinem Ergbenissen ist immer eine Abweichung von PI, außer bei dieser nun, aber da bin ich auch nicht direkt über den arctan gegangen....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Mi 30.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
arctan hat 2 Lösungen, auch wenn die dein TR nicht ausgibt. tan hat ja die periode pi
d.h. a+ib und -a-ib geben denselben arctan.
deshalb musst du eben eigentlich entweder cos und sin ansehen, oder deine Zahl in der Gausschen Zahlenebene ansehen und den richtigen der 2 Winkel aussuchen. (und dass -1 nicht den Winkel 0 zur pos. x-Achse hat ist ja wohl klar.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mi 30.06.2010 | | Autor: | n0rdi |
ok stimmt, die Periode spielt auch noch eine Rolle...
ok, mit der Gaußschen Zahlenebene ist gemeint, in welchem Quadranten sich die Zahl befindet? Sodass bei den unteren beiden immer ein PI dazu addiert werden muss?
[mm] z^{6}=-64 [/mm] ist der Realteil negativ und der Imaginärteil 0 also, genau auf der negativen Realteilachse? und deswegen dann PI?
Aufgegfallen ist es mir bei folgender Gleichung:
[mm] z^{4}=(j*\wurzel{3}-1)/2
[/mm]
Bei der muss ich auch den zweiten Winkel nehmen, aber woran sehe ich das hier explizit?
Realteil ist ja negativ und Imagiärteil ist positiv => 2. Quadranten (oben links) oder habe ich da einen Denkfehler?
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Hallo nOrdi,
> ok stimmt, die Periode spielt auch noch eine Rolle...
> ok, mit der Gaußschen Zahlenebene ist gemeint, in welchem
> Quadranten sich die Zahl befindet? Sodass bei den unteren
> beiden immer ein PI dazu addiert werden muss?
> [mm]z^{6}=-64[/mm] ist der Realteil negativ und der Imaginärteil 0
> also, genau auf der negativen Realteilachse? und deswegen
> dann PI?
So ist es.
>
> Aufgegfallen ist es mir bei folgender Gleichung:
> [mm]z^{4}=(j*\wurzel{3}-1)/2[/mm]
> Bei der muss ich auch den zweiten Winkel nehmen, aber
> woran sehe ich das hier explizit?
> Realteil ist ja negativ und Imagiärteil ist positiv => 2.
> Quadranten (oben links) oder habe ich da einen Denkfehler?
Nein, da hast Du keinen Denkfehler.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mi 30.06.2010 | | Autor: | n0rdi |
> > Aufgegfallen ist es mir bei folgender Gleichung:
> > [mm]z^{4}=(j*\wurzel{3}-1)/2[/mm]
> > Bei der muss ich auch den zweiten Winkel nehmen, aber
> > woran sehe ich das hier explizit?
> > Realteil ist ja negativ und Imagiärteil ist positiv =>
> 2.
> > Quadranten (oben links) oder habe ich da einen Denkfehler?
>
>
> Nein, da hast Du keinen Denkfehler.
Aber wenn sich der Wert im 2. Quadranten befindet, muss ich doch nicht plus PI beim Winkel rechnen oder?
Ich habe bei:
[mm]z^{4}=(j*\wurzel{3}-1)/2[/mm]
folgendes herausbekommen:
[mm] z^{4}=e^{\pi/3+2*\pi*k}
[/mm]
Eine Lösung sagt aber:
[mm] z^{4}=e^{2*\pi/3+2*\pi*k} [/mm] wegen:
[mm] -arctan(\wurzel{3}) +\pi
[/mm]
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Hallo nOrdi,
> > > Aufgegfallen ist es mir bei folgender Gleichung:
> > > [mm]z^{4}=(j*\wurzel{3}-1)/2[/mm]
> > > Bei der muss ich auch den zweiten Winkel nehmen,
> aber
> > > woran sehe ich das hier explizit?
> > > Realteil ist ja negativ und Imagiärteil ist positiv
> =>
> > 2.
> > > Quadranten (oben links) oder habe ich da einen Denkfehler?
> >
> >
> > Nein, da hast Du keinen Denkfehler.
>
> Aber wenn sich der Wert im 2. Quadranten befindet, muss ich
> doch nicht plus PI beim Winkel rechnen oder?
Das ist richtig.
Hier weisst Du nur, dass der Winkel zwischen [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] und [mm]\pi[/mm] liegt.
> Ich habe bei:
> [mm]z^{4}=(j*\wurzel{3}-1)/2[/mm]
> folgendes herausbekommen:
> [mm]z^{4}=e^{\pi/3+2*\pi*k}[/mm]
Sowohl Sinus als auch der Cosinus
sind für den Winkelwert [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm] positiv.
Außerdem liegt dieser Winkelwert im 1. Quadranten.
>
> Eine Lösung sagt aber:
> [mm]z^{4}=e^{2*\pi/3+2*\pi*k}[/mm] wegen:
> [mm]-arctan(\wurzel{3}) +\pi[/mm]
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Mi 30.06.2010 | | Autor: | n0rdi |
ah und weil der Winkel zwischen [mm] \pi/2 [/mm] und [mm] \pi [/mm] liegen muss, aber das nicht tut, muss ich + [mm] \pi [/mm] rechnen? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Mi 30.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
im Beispiel ist doch [mm] arctan(-\wurzel{3})=-\pi/3 [/mm] also im 4 tem Q.
die Zahl aber im 2 ten, also pi weiter.
im Zweifelsfall eben immer sin und cos ausrechnen. ich seh das lieber in der zahlenebene, da sieht man ja auch schon ungefähr den Winkel, vermeidet also auch eintipfehler im TR.
Gruss leduart
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