7 Lotto-Zahlen Reihenfolge < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Fr 04.09.2009 | | Autor: | steem |
| Aufgabe | | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass 7 aus 38 gezogenen Zahlen beim Lotto eine aufsteigende Folge (etwa 3,7,13,19,23,29,30) bilden? |
Irgendwie ist mir das noch nicht so ganz klar.
Es gibt ja P(38)=38! Möglichkeiten die 38 Zahlen anzuordnen.
Und für die Anzahl der Variationen mit zurücklegen unter berücksichtungen der Reihenfolge der Ziehung gibt es die Formel: [mm] V_w(n;k)=n^k [/mm] also [mm] V_w=(38;7)=38^7 [/mm]
Jetzt steht in der Lösung, dass die Wahrscheinlichkeit eine Aufsteigende Zahlenfolge zu ziehen [mm] \bruch{1}{7!} [/mm] beträgt.
Dabei wurde doch gar nicht die Reihenfolge berücksichtigt, weil 7! ja alle Anordnungsmöglichkeiten von 7 Zahlen beschreibt. Und die 1 würde doch aussagen, dass es genau eine Möglichkeit gibt 7 Zahlen in Reihenfolge anzuordnen...
Da die Zahlen ja nicht direkt aufeinander folgen müssen, müsste es doch viele Möglichkeiten geben eine aufsteigende Folge zu erzeugen, oder bin ich da jetzt ganz falsch?
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Hallo,
Also mal ganz von von vorne:
Wenn wir 7 Zahlen aus 38 ziehen ohne zurücklegen und bei der Ziehung die Reihenfolge in der die Zahlen gezogen werden berücksichtigen, haben wir 38*37*36*35*34*33*32 [mm] =\bruch{38!}{(38-7)!}= \bruch{38!}{31!} [/mm] mögliche Ziehungsergebnisse.
Wenn wir jedoch die Reihenfolge nicht berücksichtigen und die Zahlen somit egal in welcher Reihenfolge sie letztlich gezogen wurden, beliebig anordnen können (insbesondere also auch in aufsteigender Reihenfolge), dann haben wir [mm] \vektor{38 \\ 7} [/mm] = [mm] \bruch{38!}{31!*7!} [/mm] Möglichkeiten.
Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahlen eine aufsteigende Folge bilden: [mm] \bruch{\vektor{38 \\ 7}}{\bruch{38!}{31!}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{7!}= \bruch{1}{5040} \approx [/mm] 0,02%.
Ich hoffe das war einigermaßen verständlich.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Fr 04.09.2009 | | Autor: | steem |
Hallo!
Danke für die ausführliche Erklärung! Ich war mir 100% sicher das es eine Ziehung mit zurücklegen sein muss, weil man kann ja mehrfach die gleiche Zahl ziehen oder nicht?
[mm] V(n;k)=\bruch{38!}{(38-7)!}= \bruch{38!}{31!} [/mm] das ist mir klar, die Anzahl der Variationen ohne Zurücklegen.
[mm] C(n;k)=\vektor{38 \\ 7} [/mm] = [mm] \bruch{38!}{31!\cdot{}7!} [/mm] das ist dann die Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholung und ohne Zurücklegen.
Wobei ich dachte das die Formel so geht:
[mm] C(n;k)=\vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] also dann mit Zahlenwerten [mm] \bruch{38!}{7!(38-7)!}
[/mm]
Aber wie kommt man jetzt auf die Idee C(n;k) durch V(n;k) zu teilen? Und wie ist der genaue Rechenweg? Und wie kommt man am Ende auf 0,2% ?
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> Hallo!
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> Danke für die ausführliche Erklärung! Ich war mir 100%
> sicher das es eine Ziehung mit zurücklegen sein muss, weil
> man kann ja mehrfach die gleiche Zahl ziehen oder nicht?
....und ich bin fast ebenso sicher, dass es bei solchen
"x aus y - Lottos" um Ziehungen ohne Zurücklegen geht,
obwohl ich selber noch nie Lotto gespielt habe ...
(dieses elementare Vorwissen aus dem "wahren Leben"
wurde wohl in der Aufgabenstellung als selbstverständlich
vorausgesetzt ...  )
Nachdem die 7 Gewinnzahlen also aus der Kristallkugel
gerollt sind, liegen sie in einer beliebigen der insgesamt
7! möglichen Reihenfolge in den Gläsern. Nur genau
eine dieser Reihenfolgen ist die mit der streng monoton
ansteigenden Folge der Nummern. Alle Reihenfolgen
sind aber grundsätzlich gleich wahrscheinlich, deshalb
also
P(Nummernfolge aufsteigend) $\ =\ [mm] \frac{g}{m}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{7!}$
[/mm]
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