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9999 Stäbe: Frage (für Interessierte)
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 21:51 Di 12.01.2010
Autor: safary

Gegeben sind 9999 Stäbe mit Längen 1,2,...,9998,9999. Die Spieler Anja und Bernd entfernen abwechelnd je einen der Stäbe, wobei Anja beginnt.Das Spiel endet, wenn nur noch drei stäbe übrig bleiben.Lässt sich aus diesen ein nicht entartetes Dreieck bilden, so hat Anja gewonnen, andersfalls Bernd.
Wer kann den Gewinn erzwingen?

        
Bezug
9999 Stäbe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:03 Di 12.01.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

Diese Aufgabe ist eine Aufgabe des diesjährigen Bundeswettbewerbs Mathematik (2010) --> Verstoß gegen die Forumsregeln.

Grüße,
Stefan

Bezug
                
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9999 Stäbe: Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:38 So 07.03.2010
Autor: Mycroft

Jetzt, wo der Wettbewerb eingeschickt ist, könnten wir doch die Lösungen diskutieren:

Also, zu der Stäbchenfrage hab ich, dass Anja ihren Sieg erzwingen kann. Ich müsste meines Erachtens alle Möglichkeiten abgedeckt haben. In anderen Foren hab ich gelesen, dass andere als Lösung haben, dass Bernd gewinnt. Die haben allerdings ein eintartetes Dreieck als a+b<=c definiert. Aber ein entartetes Dreieck ist doch a+b=c, oder?

Bei der 3.Aufgabe habe ich das Problem über die Mittelsenkrechten von dem Dreieck XYZ gelöst. den Schnittpunkt derer hab ich als Koordinatenursprung gewählt und nachgewiesen, dass die Dreiecke gespiegelt vom Dreieck XYZ sind. Somit kann man die Verlängerung der Mittelsenkrechten zu den Punkten KZM bestimmen und die Seitenlängen berechnen und nachweisen, dass diese zu dem Dreieck XYZZ identisch sind.

1. hab ich auch, aber die dürfte kein Problem gewesen sein...

Nur 4. konnte ich nicht lösen, weil dann auch die Zeit zu knapp war (bin noch 2 Wochen vor Einsendeschluss davon ausgegangen er wäre Ende März, nicht Anfang März).
Freue mich auf eure Antworten!

lg
Mycroft

Bezug
                        
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9999 Stäbe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:38 So 07.03.2010
Autor: abakus


> Jetzt, wo der Wettbewerb eingeschickt ist, könnten wir
> doch die Lösungen diskutieren:
>  
> Also, zu der Stäbchenfrage hab ich, dass Anja ihren Sieg
> erzwingen kann. Ich müsste meines Erachtens alle
> Möglichkeiten abgedeckt haben. In anderen Foren hab ich
> gelesen, dass andere als Lösung haben, dass Bernd gewinnt.
> Die haben allerdings ein eintartetes Dreieck als a+b<=c
> definiert. Aber ein entartetes Dreieck ist doch a+b=c,
> oder?

Hallo,
meine Lösung hier: Wir teilen die Längen in zwei Teilmengen auf: die kleinen Längen von 1 bis 5000 und die großen Längen von 5001 bis 9999.
Bernd kann verhindern, dass ein Dreieck entsteht, und zwar auf folgende Weise:
1) Zieht Anja eine Holz aus der Menge der "Kleinen", so zieht Bernd ein Holz aus der Menge der "Großen" - und umgekehrt. Somit sind nach dem Entfernen von 9996 (=2*4998) Hölzern zwei kleine und ein großes übrig. Das kann Anja nicht verhindern.
2) Wenn Bernd kleine Hölzchen ziehen muss, entfernt er immer das größte der noch vorhandenen kleinen Hölzchen (5000, 4999, ...). Wenn er ein großes Stäbchen ziehen muss, nimmt er das jeweils kleinste der noch vorhandenen großen Stäbchen (5001, 5002,...).
Somit kann er - unabhängig von Anjas konkreten Zügen - auf alle Fälle eine Lücke von 4998 Stäbchen (so viele zieht er) zwischen den zwei kleinen und dem einen großen Reststäbchen schaffen.
Für die 3 Längen c>b>a gilt dann [mm] c\ge [/mm] b+4999, und da b höchstens 5000 sein kann, ist [mm] 4999\ge [/mm] a.
Aus   [mm] c\ge [/mm] b+4999 und [mm] 4999\ge [/mm] a folgt [mm] c\ge [/mm] b+a.

Gruß Abakus

>  
> Bei der 3.Aufgabe habe ich das Problem über die
> Mittelsenkrechten von dem Dreieck XYZ gelöst. den
> Schnittpunkt derer hab ich als Koordinatenursprung gewählt
> und nachgewiesen, dass die Dreiecke gespiegelt vom Dreieck
> XYZ sind. Somit kann man die Verlängerung der
> Mittelsenkrechten zu den Punkten KZM bestimmen und die
> Seitenlängen berechnen und nachweisen, dass diese zu dem
> Dreieck XYZZ identisch sind.
>  
> 1. hab ich auch, aber die dürfte kein Problem gewesen
> sein...
>  
> Nur 4. konnte ich nicht lösen, weil dann auch die Zeit zu
> knapp war (bin noch 2 Wochen vor Einsendeschluss davon
> ausgegangen er wäre Ende März, nicht Anfang März).
>  Freue mich auf eure Antworten!
>  
> lg
>  Mycroft


Bezug
                                
Bezug
9999 Stäbe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:41 So 07.03.2010
Autor: Mycroft


>  Hallo,
>  meine Lösung hier: Wir teilen die Längen in zwei
> Teilmengen auf: die kleinen Längen von 1 bis 5000 und die
> großen Längen von 5001 bis 9999.
>  Bernd kann verhindern, dass ein Dreieck entsteht, und zwar
> auf folgende Weise:
>  1) Zieht Anja eine Holz aus der Menge der "Kleinen", so
> zieht Bernd ein Holz aus der Menge der "Großen" - und
> umgekehrt. Somit sind nach dem Entfernen von 9996 (=2*4998)
> Hölzern zwei kleine und ein großes übrig. Das kann Anja
> nicht verhindern.
>  2) Wenn Bernd kleine Hölzchen ziehen muss, entfernt er
> immer das größte der noch vorhandenen kleinen Hölzchen
> (5000, 4999, ...). Wenn er ein großes Stäbchen ziehen
> muss, nimmt er das jeweils kleinste der noch vorhandenen
> großen Stäbchen (5001, 5002,...).
> Somit kann er - unabhängig von Anjas konkreten Zügen -
> auf alle Fälle eine Lücke von 4998 Stäbchen (so viele
> zieht er) zwischen den zwei kleinen und dem einen großen
> Reststäbchen schaffen.
>  Für die 3 Längen c>b>a gilt dann [mm]c\ge[/mm] b+4999, und da b
> höchstens 5000 sein kann, ist [mm]4999\ge[/mm] a.
>  Aus   [mm]c\ge[/mm] b+4999 und [mm]4999\ge[/mm] a folgt [mm]c\ge[/mm] b+a.

Aber so wie du beschrieben hast, ist für dich ein entartetes Dreieck a+b<=c, so wie ich es aber gelesen habe ist ein Dreieck nur dann entartet, wenn a+b=c. Ein entartetes Dreieck sieht, laut den Definitionen, die ich gelesen habe, wie eine Gerade aus, da [mm] \alpha=\beta=0° [/mm] und [mm] \gamma=180°, [/mm] die Seiten a und b liegen somit auf der Seite c auf. In meiner Lösung kann Anja eben verhindern, dass a+b=c eintritt, ich hab gleich 4 Fallunterscheidungen, wobei sich die 4. nochmal in 3 aufteilt...aber meine Lösung funktioniert natürlich nur, wenn die Definition, wie ich ein entartetes Dreieck gefunden habe, zutifft.
Und wie will man mit Stäbchen a+b<c legen? Man kann doch die Seiten bei dieser Aufgabe auch vertauschen, sie sind doch nicht festgelegt. Nach der Definition, kann man mit allen Stäbchen, egal welche übrig sind ein entartetes Dreieck legen z.B. 2+70<=80, das kann man dann aber auch vertauschen: 80+2>70...das wäre ja dann ein nichtentartetes Dreieck (oder muss c zwangsläufig größer als a bzw. b sein?).

lg
Mycroft

Bezug
                                        
Bezug
9999 Stäbe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 So 07.03.2010
Autor: Mycroft


....gerade gemerkt, Denkfehler von mir...ich hab die Möglichkeit gar nicht bedacht, dass es ja auch sein kann, dass kein Dreeieck entstehen kann (im Falle a+b<c) und dann hat ja auch laut Aufgabenformulierung Bernd gewonnen...naja, schade...wäre somit auch leichter gewesen.

lg
Mycroft

Bezug
                                        
Bezug
9999 Stäbe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:05 So 07.03.2010
Autor: abakus


> >  Hallo,

>  >  meine Lösung hier: Wir teilen die Längen in zwei
> > Teilmengen auf: die kleinen Längen von 1 bis 5000 und die
> > großen Längen von 5001 bis 9999.
>  >  Bernd kann verhindern, dass ein Dreieck entsteht, und
> zwar
> > auf folgende Weise:
>  >  1) Zieht Anja eine Holz aus der Menge der "Kleinen", so
> > zieht Bernd ein Holz aus der Menge der "Großen" - und
> > umgekehrt. Somit sind nach dem Entfernen von 9996 (=2*4998)
> > Hölzern zwei kleine und ein großes übrig. Das kann Anja
> > nicht verhindern.
>  >  2) Wenn Bernd kleine Hölzchen ziehen muss, entfernt er
> > immer das größte der noch vorhandenen kleinen Hölzchen
> > (5000, 4999, ...). Wenn er ein großes Stäbchen ziehen
> > muss, nimmt er das jeweils kleinste der noch vorhandenen
> > großen Stäbchen (5001, 5002,...).
> > Somit kann er - unabhängig von Anjas konkreten Zügen -
> > auf alle Fälle eine Lücke von 4998 Stäbchen (so viele
> > zieht er) zwischen den zwei kleinen und dem einen großen
> > Reststäbchen schaffen.
>  >  Für die 3 Längen c>b>a gilt dann [mm]c\ge[/mm] b+4999, und da
> b
> > höchstens 5000 sein kann, ist [mm]4999\ge[/mm] a.
>  >  Aus   [mm]c\ge[/mm] b+4999 und [mm]4999\ge[/mm] a folgt [mm]c\ge[/mm] b+a.
>  
> Aber so wie du beschrieben hast, ist für dich ein
> entartetes Dreieck a+b<=c, so wie ich es aber gelesen habe
> ist ein Dreieck nur dann entartet, wenn a+b=c. Ein
> entartetes Dreieck sieht, laut den Definitionen, die ich
> gelesen habe, wie eine Gerade aus, da [mm]\alpha=\beta=0°[/mm] und
> [mm]\gamma=180°,[/mm] die Seiten a und b liegen somit auf der Seite
> c auf. In meiner Lösung kann Anja eben verhindern, dass
> a+b=c eintritt, ich hab gleich 4 Fallunterscheidungen,
> wobei sich die 4. nochmal in 3 aufteilt...aber meine
> Lösung funktioniert natürlich nur, wenn die Definition,
> wie ich ein entartetes Dreieck gefunden habe, zutifft.
> Und wie will man mit Stäbchen a+b<c legen? Man kann doch
> die Seiten bei dieser Aufgabe auch vertauschen, sie sind
> doch nicht festgelegt. Nach der Definition, kann man mit
> allen Stäbchen, egal welche übrig sind ein entartetes
> Dreieck legen z.B. 2+70<=80, das kann man dann aber auch
> vertauschen: 80+2>70...das wäre ja dann ein
> nichtentartetes Dreieck (oder muss c zwangsläufig größer
> als a bzw. b sein?).
>  
> lg
>  Mycroft

Hallo,
ein Dreieck mit c=a+b ist zu einer doppelt durchlaufenen Strecke entartet.
Ein Dreieck mit c>a+b EXISTIERT schlicht und ergreifend NICHT.
Du kannst ja mal versuchen, ein Dreieck mit c=6 cm, a=2 cm und b=3 cm zu zeichnen...
Beginne am besten mit c und trage von den Endpunkten aus die beiden anderen Längen mit dem Zirkel an.
;-)


Bezug
                                                
Bezug
9999 Stäbe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:12 So 07.03.2010
Autor: Mycroft

ja, hatte ich gerade schon beim Essen nochmal darüber nachgedacht und gemerkt. Danke :-)
Schade...ansonsten wäre meine Lösung schlüssig gewesen...nur von der falschen Seite aufgerollt....

lg
Mycroft

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