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Hallo!
Ich habe zwei Intervalle A=[-3,2) und B=(-2,1] und möchte nun die Menge A+B bestimmmen. Ich habe dabei nun erstmal alle wirklich enthaltenen Elemente berücksichtigt und bekomme:
A+B={-4,-3,-1,0,1,2}=[-4,2]. Ist das richtig so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
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> Ich habe zwei Intervalle A=[-3,2) und B=(-2,1] und möchte
> nun die Menge A+B bestimmmen. Ich habe dabei nun erstmal
> alle wirklich enthaltenen Elemente berücksichtigt und
> bekomme:
>
> A+B={-4,-3,-1,0,1,2}=[-4,2]. Ist das richtig so?
die Gleichheit ${-4,-3,-1,0,1,2}=[-4,2]$ ist natürlich absolut falsch; Du interpretierst das irgendwie anders, aber dann solltest Du nicht die sonst üblichen Notationen verwenden. [mm] $[-4,\,2] =\{r \in \IR:\;-4 \le r \le 2\} \not=\{-4,\,-3,\,-1,\,0,\,1,\,2\}\,.$
[/mm]
Auch ansonsten:
Ich verstehe ich nicht, wie Du zu Deiner Behauptung gelangst. [mm] $A=\{a \in \IR:\;-3 \le a < 2\}$ [/mm] und [mm] $B=\{b \in \IR: -2 < b \le 1\}\,.$
[/mm]
Edit:
Weiter ist [mm] $S:=A+B=\{s \in \red{A}:\;\exists a \in A \text{ und }\exists b \in B:\;s=a+b\}\,.$
[/mm]
Korrektur:
Natürlich meinte ich:
Weiter ist [mm] $S:=A+B=\{s \in \blue{\IR}:\;\exists a \in A \text{ und }\exists b \in B:\;s=a+b\}\,.$
[/mm]
Damit wäre z.B. $-4,7 [mm] \in (A+B)\,,$ [/mm] z.B. weil [mm] $-4,7=\underbrace{-3}_{\in A}+\underbrace{(-1,7)}_{\in B}\,.$ [/mm]
Ebenso wäre auch $2,9 [mm] \in (A+B)\,,$ [/mm] z.B. weil [mm] $2,9=\underbrace{1,95}_{\in A}+\underbrace{0,95}_{\in B}\,.$
[/mm]
P.S.:
$A+B$ läßt sich nachher als ein Intervall [mm] $(v,\,w)$ [/mm] schreiben, wobei Du noch [mm] $\,v\,$ [/mm] und [mm] $\,w\,$ [/mm] konkretisieren solltest. Und vergesse dann auch nicht, Deine Behauptung zu beweisen.
Dass $A+B [mm] \not=[-4,\,2]$ [/mm] ist, solltest Du nun schon deshalb erkennen, weil ich oben begründet habe, dass $2,9 [mm] \in (A+B)\,,$ [/mm] aber offensichtlich ist $2,9 [mm] \notin [-4,\,2]\,.$
[/mm]
P.P.S.:
Du kannst Dir hier auch mal überlegen (ergänzt!):
[mm] $$A+B=\bigcup_{a \in A}\underbrace{(-2+a,\,1+a]}_{\blue{=\{a\}+\underbrace{(-2,\,1]}_{=B}}}\,.$$
[/mm]
Vielleicht kannst Du das geometrisch besser interpretieren.
Gruß,
Marcel
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$ [mm] S:=A+B=\{s \in A:\;\exists a \in A \text{ und }\exists b \in B:\;s=a+b\}\,. [/mm] $
kannst du hier vllt. noch mal näher definieren, wie du darauf kommst?, wir haben als Defintion von A+B nur bekommen:
[mm] A+B={a+b|a\in A, b\in B}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:34 Do 20.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> [mm]S:=A+B=\{s \in A:\;\exists a \in A \text{ und }\exists b \in B:\;s=a+b\}\,.[/mm]
Da hat sich Marcel wohl verschrieben : es muß s [mm] \in \IR [/mm] heißen.
Dann stimmts mit Deiner Def. von unten überein
FRED
>
> kannst du hier vllt. noch mal näher definieren, wie du
> darauf kommst?, wir haben als Defintion von A+B nur
> bekommen:
>
> A+B={ [mm] a+b|a\in [/mm] A, [mm] b\in [/mm] B }
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Do 20.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > [mm]S:=A+B=\{s \in A:\;\exists a \in A \text{ und }\exists b \in B:\;s=a+b\}\,.[/mm]
>
>
> Da hat sich Marcel wohl verschrieben : es muß s [mm]\in \IR[/mm]
> heißen.
Autsch, ja, böser Verschreiber. Ich korrigiere es. Danke!
Gruß,
Marcel
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ok 
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hmmm..die oberen Schranke von A+B ist dann nach sup(A+B)=sup(A)+sup(B), oder? das supremum von A ist dann ja zwei und das von b ist 1, gilt dann für das Supremum von (A+B) =3? eher nicht, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Do 20.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hmmm..die oberen Schranke von A+B ist dann nach
> sup(A+B)=sup(A)+sup(B), oder? das supremum von A ist dann
> ja zwei und das von b ist 1, gilt dann für das Supremum von
> (A+B) =3? eher nicht, oder?
warum wirfst Du hier einfach Behauptungen in den Raum?
[mm] $\text{(}$Oder [/mm] habt ihr das schon bewiesen? Dann darfst Du das natürlich benutzen.
Aber andernfalls kann man sich sicher auch überlegen, wie man [mm] $\text{sup}(A+B)$ [/mm] mithilfe von [mm] $\text{sup}(A)$ [/mm] und [mm] $\text{sup}(B)$ [/mm] bestimmen kann, und Deine Gleichheit oben stimmt auch für nach oben beschränkte Mengen [mm] $A,\,B$:
[/mm]
[mm] $$(\star)\;\;\;\text{sup}(A+B)=\text{sup}(A)+\text{sup}(B)\,.\text{)}$$
[/mm]
(Das findest Du z.B. im ![[]](/images/popup.gif) Heuser, 8.5 Satz.)
Aber eigentlich wollte ich Dich dazu bringen, dass Du erkennst, dass mit [mm] $A=[-3,\,2)$ [/mm] und [mm] $B=(-2,\,1]$ [/mm] gilt:
[mm] $$A+B=(-5,\,3)\,.$$
[/mm]
Da kann man das Supremum dann eh direkt ablesen und sich auch nochmal vergewissern, dass [mm] $(\star)$ [/mm] hier auch kein Unfug sagt 
Gruß,
Marcel
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den Satz hab ich vorher in der Aufgabe bewiesen, hätte ich vllt. dazu sagen sollen
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 07:55 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Fuchsschwanz |
ja, tipp ich nachher nochmal ab, hab es grade nicht hier, danke für deine Hilfe
nun will ich noch A*B bilden, dabei kann ich ja keine Formel wie sup(A*B)=sup(A)*sup(B) nutzen, dass die nur definiert ist, wenn A,B Elemente [mm] \IR [/mm] _>0. Von daher hab eich mir nun überlegt, dass A*B= [mm] \bigcup(-2*a, [/mm] 1*a), da ich nun negantive Grenzen habe, muss ich rechnen, -2*1=-2 und 1*1=1, dann wäre dass Intervall A*B= (-2,1) ist das erstmal so richtig? ich möchte ja nun rigendwie beweisen, dass das richtig ist, kann ich das über Mengeninklusion machen? also für die eine Richtung:
Sei [mm] x\in [/mm] (-2,1). Dann gilt -2<x<1. Dann gilt [mm] x\in [/mm] A und [mm] x\inB [/mm] ...kann ich den letzten Schritt so machen?
Lg und vielen Dank!
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> nun will ich noch A*B bilden,
Hallo,
was ist A, was ist B? Die Intervalle von oben, also [-3,2) und (-2,1] ?
Wie ist A*B definiert? Es ist immer hilfreich, sich selbst das erstmal klarzumachen.
>dabei kann ich ja keine
> Formel wie sup(A*B)=sup(A)*sup(B) nutzen, dass die nur
> definiert ist, wenn A,B Elemente [mm]\IR[/mm] _>0. Von daher hab
> eich mir nun überlegt, dass A*B= [mm]\bigcup(-2*a,[/mm] 1*a),
???
> da ich
> nun negantive Grenzen habe, muss ich rechnen, -2*1=-2 und
> 1*1=1, dann wäre dass Intervall A*B= (-2,1) ist das erstmal
> so richtig?
Biite schalte den mathematischen Quirl jetzt mal ab.
Sag, was A ist, was B ist, sag, wie A*B definiert ist und sag in Worten, welche Elemente da drin sind.
Bevor das nicht klar ist, kannst Du jeden Beweis lassen und Dich lieber mit 'ner Flasche Wein ins Bett legen - die Zeit ist besser genutzt.
Das gilt für jeglichen Beweis, den Du im Laufe Deines Studiums noch führen muß: immer erst klären, worum es eigentlich geht.
Zufällig irgendwas zu machen und zu hoffen, daß zufällig irgendwo irgendwas halbwegs Gescheites herauspurzelt, ist verlorene Zeit.
ich möchte ja nun rigendwie beweisen, dass das
> richtig ist, kann ich das über Mengeninklusion machen? also
> für die eine Richtung:
>
> Sei [mm]x\in[/mm] (-2,1). Dann gilt -2<x<1. Dann gilt [mm]x\in[/mm] A und x
> [mm]\inB[/mm] ...kann ich den letzten Schritt so machen?
Keine Ahnung, wir wissen ja nicht, was A und was B ist.
Und selbst wenn: was bezweckst Du damit?
Gruß v. Angela
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also A=[-3,2) und B=(-2,1), [mm] A*B={a*b|a\in A, b\in B}. [/mm]
zu zeigen: A*B=(-3,6).
Sei [mm] x\in [/mm] A*B. Dann gilt x=a*b und [mm] a\in [/mm] A und [mm] b\in [/mm] B. Dann gilt -3<a<2 und -2<b<1. Dann gilt: -3<x<6, da -3*1=-3 und -3*-2=6.
Sei [mm] a*b\in [/mm] (-3,6). Dann gilt -3<a*b<6. da gilt inf(a*b)=-3*1 und sup(a*b)=-3*-2=6.
Aber ich kann das ja eigentlich schlecht einfach mit Zahlen machen, oder? stimmt denn das Intervall von A*B wenigstens?
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:09 Fr 21.11.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> also A=[-3,2) und B=(-2,1), [mm]A*B = \{\ a*b|a\in A, b\in B\ \}.[/mm]
>
> zu zeigen: A*B=(-3,6).
Das wird nicht klappen, da z. B. 1,9 [mm] \* [/mm] -1,9 = -3,61 ist.
Gruß
Dieter
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> also A=[-3,2) und B=(-2,1), [mm]A*B={a*b|a\in A, b\in B}.[/mm]
>
> zu zeigen: A*B=(-3,6).
Hallo,
na also, geht doch edit: schon besser.!
Das Intervall stimmt stimmt leider nicht ganz.
>
> Sei [mm]x\in[/mm] A*B. Dann gilt x=a*b und [mm]a\in[/mm] A und [mm]b\in[/mm] B. Dann
> gilt -3<a<2 und -2<b<1. Dann gilt:
Dieser Schluß geht für meinen Geschmack entschieden zu schnell, ich kann nicht verfolgen, warum das richtig ist.
Ich würde die Intervalle jeweils in neg. und pos. Teilintervalle zerlegen, deren Produkte bilden und dann vereinigen.
Das Ergebnis wäre dann obiges nicht obiges Intervall.
> -3<x<6, da -3*1=-3 und
> -3*-2=6.
>
>
> Sei [mm]a*b\in[/mm] (-3,6). Dann gilt -3<a*b<6.
Also sind -3, 6 die obere bzw. untere Schranke
> da gilt
> inf(a*b)=-3*1 und sup(a*b)=-3*-2=6.
???
Ich denke, das sollst Du erst zeigen, oder?
Oder hattet Ihr schon irgendwo gezeigt, daß die Intervallgrenzen Suprema/Infima sind?
>
> Aber ich kann das ja eigentlich schlecht einfach mit Zahlen
> machen, oder?
Wieso? Das sind doch Zahlen? Oder mißverstehe ich Dich? An welcher Stelle siehst Du Probleme?
Gruß v. Angela
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Sei $ [mm] x\in [/mm] $ A*B. Dann gilt x=a*b und $ [mm] a\in [/mm] $ A und $ [mm] b\in [/mm] $ B. Dann
> gilt -3<a<2 und -2<b<1. Dann gilt für -2<a<2, a [mm] \in [/mm] B. Da gilt |a*b|<|a*a|, wenn [mm] a\in [/mm] B, muss gelten a*b>-4=-2*2. Für [mm] \IR>0 [/mm] gilt sup(A*B)=supA*supB, also ist a*b<2.
Also meine Idee war halt, dass das Quadrat von a immer größer ist als ein Produkt aus a*b...
andere Richtung:
> Sei $ [mm] a\cdot{}b\in [/mm] $ (-4,6). Dann gilt -4<a*b<6. Also sind -4 und 6 Schranken von A*B. Zu zeigen, es handelt sich um das Infimum und das Supremum.
Infimum:das heißt, c>=d [mm] \forall [/mm] d [mm] \in \IR.
[/mm]
Sei d=-5 eine untere Schranke von A, dann gilt c>=d, damit ist c=-4>=-5. Damit ist c das Infimum.
Ich würde das Analog für das Supremum machen...?!
Danke für eure Hilfe
Lg
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> Sei [mm]x\in[/mm] A*B. Dann gilt x=a*b und [mm]a\in[/mm] A und [mm]b\in[/mm] B.
Hallo,
ja, dem kann ich gut folgen.
> Dann
> > gilt -3<a<2 und -2<b<1.
Nahezu. Du beschäftigst Dich ja mit den Intervallen A:=[-3,2) und B=(-2,1].
Also gilt -3 [mm] \le [/mm] a<2 und [mm] -2
> Dann gilt für -2<a<2, a [mm]\in[/mm] B.
??? es ist doch a=1.5 nicht in B.
> Da gilt |a*b|<|a*a|, wenn [mm]a\in[/mm] B,
Wieso? es ist doch [mm] 0.5^2< [/mm] 0.5*0.75.
> muss gelten a*b>-4=-2*2.
Wenn a in B ist, dann kommen a und b beide aus B, also ist in diesem Fall a*b [mm] \in [/mm] B*B und dann ist -2<a*b<4,
woraus man in der Tat auch folgern könnte, daß -4 eine untere Schranke von B*B ist.
> Für [mm]\IR>0[/mm] gilt sup(A*B)=supA*supB, also ist a*b<2.
So, jetzt hast Du also aus irgendeinem Grund den Fall [mm] a\in [/mm] B untersucht.
Wo sind jetzt die Fälle [mm] a\in [/mm] [-3,-2] und [mm] a\in [/mm] [1,2) ?.
Bisher ist eigentlich wenig gezeigt. Wir wissen, daß B*B durch 4 nach oben und -2 und -4 nach unten beschränkt ist.
Da mußt Du Dir noch ein paar Gedanken machen.
Wenn Du die nicht gleich in Zeichen niederlegst, sondern erstmal Worte spendierst, macht das ja nichts, Hauptsache, der Gedankenlauf ist schlüssig, und die Betrachtung systematisch. In Zeichensprache übersetzt bekommt man das dann schon.
Wir wissen noch nicht, was A*B ist.
> Also meine Idee war halt, dass das Quadrat von a immer
> größer ist als ein Produkt aus a*b...
> andere Richtung:
>
> > Sei [mm]a\cdot{}b\in[/mm] (-4,6). Dann gilt -4<a*b<6.
Ja.
> Also sind -4
> und 6 Schranken von A*B.
Ja. das stimmt zwar, aber daß A*B=(-4, 6) ist , wissen wir noch nicht,
Im folgenden versuchst Du zu zeigen, daß -4 das Infimum des Intervalls ist.
> Zu zeigen, es handelt sich um das
> Infimum und das Supremum.
>
> Infimum:das heißt, c>=d [mm]\forall[/mm] d [mm]\in \IR.[/mm]
So'nen Unfug!
Was heißt Infimum?
1. untere Schranke
2. jede andere untere Schranke (!) d ist kleiner.
> Sei d=-5 eine untere Schranke von A, dann gilt c>=d, damit
> ist c=-4>=-5.
Daß -5<-4 ist, ist nichts Neues.
> Damit ist c das Infimum.
Nein. Du hast jetzt gezeigt, daß es eine Schranke gibt, die kleiner als -4 ist.
Daß es keine Schranke gibt, die größer als -4 ist, ist nicht gezeigt.
Du kannst die Definition Infimum nicht, und deshalb mußtest Du an dieser Stelle scheitern.
Es bedeutet doch (-4, 6) [mm] =\{x\in \IR| -4
Nun nimm an, daß es eine untere Schranke s gibt, die größer -4 ist und erzeuge einen Widerspruch.
Gruß v. Angela
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Hallo!
ICh versuche grade Angelas Idee aufzugreifen und positive und negative Teilintervalle zu betrachten. würde nun alle meine vier intervalle "multiplizieren" und die dann vereinigen, ist das dann so richtig? und kann ich dann einfach als Beweis die Teilintervalle und jeweils die nach der Multiplikation erhaltenen Intervalle aufschreiben, die vereinigen und dann sagen, dass ist mein Intervall?
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Hallo,
so klingt's ganz gut.
Versuch's mal.
Und schreib nichts, zu dem Du auf die Warum-Frage keine Auskunft geben kannst.
Gruß v. Angela
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ich soll nun noch beweisen, was das Infimum von A*B ist. Kann ich dann sagen dass nach der Defintion des Infimus: [mm] forall\_e>0 \exists_x\in [/mm] A*B c<=x<c+e und da A*B Teilmenge der reellen Zahlen ist das Infimum -4 sein muss?
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> ich soll nun noch beweisen, was das Infimum von A*B ist.
> Kann ich dann sagen dass nach der Defintion des Infimus:
> [mm]forall\_e>0 \exists_x\in[/mm] A*B c<=x<c+e und da A*B Teilmenge
> der reellen Zahlen ist das Infimum -4 sein muss?
Hallo,
nein, Teilmenge der reellen Zahlen zieht da nicht.
Die ganzen Zahlen sind auch eine Teilmenge der reellen Zahlen, aber sie haben kein infimum und erst recht keines bei -4.
Was zieht: es ist A*B das Intervall (-4, 6), also beschränkt, so daß man schonmal weiß, daß die menge ein Infimum hat.
Wenn Ihr bereits gezeigt habt, daß die untere grenze von irgendwelchen Intervallen das Infimum ist, bist Du fertig, wenn nicht, mußt Du's noch zeigen.
Daß -4 eine untere Schranke ist, ist klar.
Angenommen, es wäre [mm] -4+\varepsilon [/mm] auch eine untere Schranke. Kann das sein? Nein. kann es nicht, und Du zeigst das, indem Du ein Element vorweist, welches größer als [mm] -4+\varepsilon [/mm] ist.
Wie gesagt: wenn bzgl. Intervallen bei Euch bereits alles geklärt ist, brauchst Du nichts zu machen. Das kannst aber nur Du wissen, was bereits besprochen wurde.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> > eich mir nun überlegt, dass A*B= [mm]\bigcup(-2*a,[/mm] 1*a),
>
> ???
hier wollte er wohl etwas analog zu dem schreiben, was ich hier gemacht habe.
Gruß,
Marcel
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