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Forum "Differentialgleichungen" - A-Stabilität
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A-Stabilität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:41 Do 22.01.2015
Autor: Trikolon

Aufgabe
Betrachte das Verfahren
[mm] y_{n+1}-y_n=h(3/4f_{n+1}+1/4f_n). [/mm]
Ist das Verfahren A-stabil?

Hallo,
Für die Modellgleichung ergibt sich
[mm] y_n(1-3/4 \mu)-y_{n-1}(1+1/4 \mu)=0 [/mm]

Also [mm] q(\mu)=\bruch{1+1/4\mu}{1-3/4\mu} [/mm]

Damit [mm] |q(\mu)| \le [/mm] 1 --> (1+1/4 [mm] \alpha)^2+(1/4\beta)^2 \le (1-3/4\alpha)^2+(3/4\beta)^2 [/mm] --> [mm] (\alpha -1)^2+\beta^2 \ge [/mm] 1. Da ist ja ein Kreis um (1,0) mit Radius 1. Also ist das Verfahren nicht A-stabil, da [mm] \alpha [/mm] nicht kleiner als 0 ist.

Ist das so ok?

        
Bezug
A-Stabilität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:00 Fr 23.01.2015
Autor: Trikolon

Wäre echt froh, wenn mal jemand drüber schauen könnte. Vor allem, ob es richtig ist, dass aus der Rechnung folgt, dass das Verfahren nicht A-stabil ist. Da bin ich mir nicht ganz sicher...

Bezug
                
Bezug
A-Stabilität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Fr 23.01.2015
Autor: fred97


> Wäre echt froh, wenn mal jemand drüber schauen könnte.
> Vor allem, ob es richtig ist, dass aus der Rechnung folgt,
> dass das Verfahren nicht A-stabil ist. Da bin ich mir nicht
> ganz sicher...

Ich verstehe nichts von A_Stabilität. Du schreibst:

"$ [mm] (\alpha -1)^2+\beta^2 \ge [/mm] $ 1. Da ist ja ein Kreis um (1,0) mit Radius 1. Also ist das Verfahren nicht A-stabil, da $ [mm] \alpha [/mm] $ nicht kleiner als 0 ist. "

Welches [mm] \alpha [/mm] meinst Du denn ??


Die Ungleichung

$ [mm] (\alpha -1)^2+\beta^2 \ge [/mm] $ 1

beschreibt das Äußere eines Kreises um (1,0) mit Radius 1.

Wenn ein Paar [mm] (\alpha, \beta) [/mm] obige Ungleichung erfüllt, so kann [mm] \alpha [/mm] durch aus < 0 sein.

Beispiel : [mm] \alpha [/mm] =-1

Jedes Paar (-1, [mm] \beta) [/mm] erfüllt die Ungleichung

FRED

Bezug
                        
Bezug
A-Stabilität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:33 Fr 23.01.2015
Autor: Trikolon

Ja, aber ich habe das so verstanden,  dass [mm] \alpha [/mm] stets kleiner 0 sein muss..

Bezug
                                
Bezug
A-Stabilität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:47 Sa 24.01.2015
Autor: DieAcht

Hallo!


> Ja, aber ich habe das so verstanden,  dass [mm]\alpha[/mm] stets kleiner 0 sein muss..

Ja, du sollst ein [mm] \alpha<0 [/mm] finden, so dass deine Bedingung nicht gilt.


Gruß
DieAcht

Bezug
                                        
Bezug
A-Stabilität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:11 Sa 24.01.2015
Autor: Trikolon

Das verstehe ich jetzt nicht ganze.  [mm] \alpha [/mm] < 0 ist doch meine Bedingung. Was mir noch aufgefallen ist.  Dieses Verfahren hat dasselbe Stabilitätsgebiet wie das implizite euler Verfahren.  Da steht bei uns im Skript es sei a stabil...

Bezug
                                                
Bezug
A-Stabilität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:01 Sa 24.01.2015
Autor: DieAcht

Ja, das war nicht ganz richtig formuliert von mir. Wenn du zeigen sollst, dass
das Verfahren nicht A-stabil ist, dann hättest du das machen müssen. Hier
Ist das Verfahren aber A-stabil, so dass du die Bedingung zeigen sollst.

Bezug
        
Bezug
A-Stabilität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:44 Sa 24.01.2015
Autor: meili

Hallo,

> Betrachte das Verfahren
>  [mm]y_{n+1}-y_n=h(3/4f_{n+1}+1/4f_n).[/mm]
>  Ist das Verfahren A-stabil?
>  Hallo,
>  Für die Modellgleichung ergibt sich
>  [mm]y_n(1-3/4 \mu)-y_{n-1}(1+1/4 \mu)=0[/mm]
>  
> Also [mm]q(\mu)=\bruch{1+1/4\mu}{1-3/4\mu}[/mm]
>  
> Damit [mm]|q(\mu)| \le[/mm] 1 --> (1+1/4 [mm]\alpha)^2+(1/4\beta)^2 \le (1-3/4\alpha)^2+(3/4\beta)^2[/mm]

Bis hier [ok]
Vielleicht hättest du [mm] $\mu [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] i\beta$ [/mm] dazu schreiben sollen.

> --> [mm](\alpha -1)^2+\beta^2 \ge[/mm] 1. Da ist ja ein Kreis um

Wie du zu diesem Schuß kommst, verstehe ich nicht.

Mit [mm] $\left(1 +\bruch{1}{4}\alpha\right)^2 [/mm] + [mm] \left( \bruch{1}{4}\beta\right) [/mm] ^2 [mm] \le \left(1-\bruch{3}{4}\alpha\right)^2 [/mm] + [mm] \left(\bruch{3}{4}\beta\right)^2$ [/mm] ausmultiplizert,

auf eine Seite gebracht, zusammengefasst und mit 2 multipliziert,
komme ich auf:
[mm] $4\alpha-\alpha^2-\beta^2 \le [/mm] 0$

Diese Ungleichung ist für alle [mm] $\alpha [/mm] < 0 $  und beliebige [mm] $\beta$ [/mm] erfüllt.
(In Abhängigkeit von [mm] $\beta$ [/mm] auch für manche [mm] $\alpha \ge [/mm] 0$.)

Daraus folgt Verfahren ist A-stabil.

> (1,0) mit Radius 1. Also ist das Verfahren nicht A-stabil,
> da [mm]\alpha[/mm] nicht kleiner als 0 ist.
>  
> Ist das so ok?

Gruß
meili

Bezug
                
Bezug
A-Stabilität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:47 Sa 24.01.2015
Autor: Trikolon

Danke, meili, jetzt hab ichs kapiert ;-)

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