A^8 = Einheitsmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Di 29.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass jede lineare Abbildung [mm] $f:\IC^8 \to \IC^8$ [/mm] mit [mm] $f^8=id_{\IC^8}$ [/mm] diagonalisierbar ist. |
Hallo,
mir fehlt noch ein richtiger Ansatzpunkt. Bis jetzt habe ich die darstellende Matrix von f bzgl. einer Basis mit A bezeichnet und erhalt [mm] $A^8=1_n$. [/mm] Dann wollte ich über das Minimalpolynom argumentieren, dass A diagonalisierbar ist, da alle Nullstellen im Minimalpolynom paarweise verschieden sind.
Mögliche Minimalpolynome
[mm] $x^8-1$, $x^4-1$, $x^2-1$, [/mm] $x-1$
z.B. geht [mm] $x^6 [/mm] -1$ nicht, da [mm] $1=x^6 \cdot x^2=1\cdot x^2=x^2\Rightarrow x^2=1$ [/mm] schon [mm] $x^2-1$ [/mm] das Minimalpolynom ist.
Desweiteren hat in [mm] \IC $x^n=1$ [/mm] genau n verschiedene Nullstellen. (Satz aus Analysis)
Doch irgendwie kann ich als Minimalpolynom etwas wie [mm] $x^4+3x^2-6x-1$ [/mm] nicht ausschließen.
|
|
| |
|
Hallo wieschoo,
> Zeigen Sie, dass jede lineare Abbildung [mm]f:\IC^8 \to \IC^8[/mm]
> mit [mm]f^8=id_{\IC^8}[/mm] diagonalisierbar ist.
> mir fehlt noch ein richtiger Ansatzpunkt. Bis jetzt habe
> ich die darstellende Matrix von f bzgl. einer Basis mit A
> bezeichnet und erhalt [mm]A^8=1_n[/mm]. Dann wollte ich über das
> Minimalpolynom argumentieren, dass A diagonalisierbar ist,
> da alle Nullstellen im Minimalpolynom paarweise verschieden
> sind.
> Mögliche Minimalpolynome
> [mm]x^8-1[/mm], [mm]x^4-1[/mm], [mm]x^2-1[/mm], [mm]x-1[/mm]
> z.B. geht [mm]x^6 -1[/mm] nicht, da [mm]1=x^6 \cdot x^2=1\cdot x^2=x^2\Rightarrow x^2=1[/mm]
> schon [mm]x^2-1[/mm] das Minimalpolynom ist.
> Desweiteren hat in [mm]\IC[/mm] [mm]x^n=1[/mm] genau n verschiedene
> Nullstellen. (Satz aus Analysis)
>
> Doch irgendwie kann ich als Minimalpolynom etwas wie
> [mm]x^4+3x^2-6x-1[/mm] nicht ausschließen.
Wie bist du denn auf dieses Polynom gekommen?
Wenn wir wissen, dass $p(X) = [mm] X^{8}-1$ [/mm] ein Polynom ist, für dass gilt $p(f) = 0$, dann wissen wir, dass das Minimalpolynom q erfüllen muss: q|p, d.h. es muss ein Polynom s existieren mit p = q*s.
Das Minimalpolynom kann also nur aus den Linearfaktoren von p bestehen!
Jetzt musst du noch ausschließen, warum diese nicht klappen...
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Mi 30.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
Arg. Da habe ich nicht daran gedacht. Also möchte ich es gleich allgemein versuchen, dass jede komplexe Matrix A mit [mm] $A^k=1_n$ [/mm] für jedes k und n diagonalisierbar ist. (Dimension Vektorraum ist n)
Denn das charakteristische Polynom [mm] $\chi=x^k-1$ [/mm] hat laut einem Satz genau k paarweise verschiedene Nullstellen [mm] $x_a=e^{\frac{i\pi a}{k}}$ [/mm] für a=0,...,k-1. Damit zerfällt es in Linearfaktoren
[mm] $\chi [/mm] = [mm] \produkt_{a=1}^{k}{x-x_a}$
[/mm]
Das Minimalpolynom [mm] $\mu$ [/mm] teilt [mm] $\chi$ [/mm] Damit ist es [mm] $\mu= \produkt{x-x_{a_p}}$ [/mm] aus [mm] $p\leq [/mm] k$ Faktoren mit paarweise verschiedenen Nullstellen [mm] $x_{a_p}$ [/mm] und zerfällt damit in vollständig in Linearfaktoren.
Damit ist A diagonalisierbar.
Funktioniert das so?
[edit] Natürlich gibt es max nur n Eigenwerte
|
|
|
| |
|
> Also möchte ich es
> gleich allgemein versuchen, dass jede komplexe Matrix A mit
> [mm]A^k=1_n[/mm] für jedes k und n diagonalisierbar ist. (Dimension
> Vektorraum ist n)
> Denn das charakteristische Polynom [mm]\chi=x^k-1[/mm]
Hallo,
das charakteristische Polynom von A ist doch vom Grad n.
Gruß v. Angela
> hat laut
> einem Satz genau k paarweise verschiedene Nullstellen
> [mm]x_a=e^{\frac{i\pi a}{k}}[/mm] für a=0,...,k-1. Damit zerfällt
> es in Linearfaktoren
> [mm]\chi = \produkt_{a=1}^{k}{x-x_a}[/mm]
> Das Minimalpolynom [mm]\mu[/mm]
> teilt [mm]\chi[/mm] Damit ist es [mm]\mu= \produkt{x-x_{a_p}}[/mm] aus [mm]p\leq k[/mm]
> Faktoren mit paarweise verschiedenen Nullstellen [mm]x_{a_p}[/mm]
> und zerfällt damit in vollständig in Linearfaktoren.
>
> Damit ist A diagonalisierbar.
> Funktioniert das so?
>
> [edit] Natürlich gibt es max nur n Eigenwerte
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 So 04.07.2010 | | Autor: | wieschoo |
> > Also möchte ich es
> > gleich allgemein versuchen, dass jede komplexe Matrix A mit
> > [mm]A^k=1_n[/mm] für jedes k und n diagonalisierbar ist. (Dimension
> > Vektorraum ist n)
> > Denn das charakteristische Polynom [mm]\chi=x^k-1[/mm]
>
> Hallo,
>
> das charakteristische Polynom von A ist doch vom Grad n.
Ich weiß. Ich bin mir nur nicht sicher, ob es auch für kleinere Potenzen [mm] $k\leq [/mm] n$ gilt. Oder ob es überhaupt so funktioniert.
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
>
>
>
> > hat laut
> > einem Satz genau k paarweise verschiedene Nullstellen
> > [mm]x_a=e^{\frac{i\pi a}{k}}[/mm] für a=0,...,k-1. Damit zerfällt
> > es in Linearfaktoren
> > [mm]\chi = \produkt_{a=1}^{k}{x-x_a}[/mm]
> > Das Minimalpolynom
> [mm]\mu[/mm]
> > teilt [mm]\chi[/mm] Damit ist es [mm]\mu= \produkt{x-x_{a_p}}[/mm] aus [mm]p\leq k[/mm]
> > Faktoren mit paarweise verschiedenen Nullstellen [mm]x_{a_p}[/mm]
> > und zerfällt damit in vollständig in Linearfaktoren.
> >
> > Damit ist A diagonalisierbar.
> > Funktioniert das so?
> >
> > [edit] Natürlich gibt es max nur n Eigenwerte
> >
>
|
|
|
| |
|
> > > Also möchte ich es
> > > gleich allgemein versuchen, dass jede komplexe Matrix A mit
> > > [mm]A^k=1_n[/mm] für jedes k und n diagonalisierbar ist. (Dimension
> > > Vektorraum ist n)
> > > Denn das charakteristische Polynom [mm]\chi=x^k-1[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > das charakteristische Polynom von A ist doch vom Grad n.
> Ich weiß. Ich bin mir nur nicht sicher, ob es auch für
> kleinere Potenzen [mm]k\leq n[/mm] gilt. Oder ob es überhaupt so
> funktioniert.
Hallo,
kannst Du sagen, was Du mit "es" meinst?
Welche Aussage willst Du jetzt zeigen?
Gruß v. Angela
> >
> >
> >
> >
> > > hat laut
> > > einem Satz genau k paarweise verschiedene Nullstellen
> > > [mm]x_a=e^{\frac{i\pi a}{k}}[/mm] für a=0,...,k-1. Damit zerfällt
> > > es in Linearfaktoren
> > > [mm]\chi = \produkt_{a=1}^{k}{x-x_a}[/mm]
> > > Das
> Minimalpolynom
> > [mm]\mu[/mm]
> > > teilt [mm]\chi[/mm] Damit ist es [mm]\mu= \produkt{x-x_{a_p}}[/mm] aus [mm]p\leq k[/mm]
> > > Faktoren mit paarweise verschiedenen Nullstellen [mm]x_{a_p}[/mm]
> > > und zerfällt damit in vollständig in Linearfaktoren.
> > >
> > > Damit ist A diagonalisierbar.
> > > Funktioniert das so?
> > >
> > > [edit] Natürlich gibt es max nur n Eigenwerte
> > >
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Mo 05.07.2010 | | Autor: | wieschoo |
"es" ist der Beweis der allgemeinen Aussage:
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass jede lineare Abbildung [mm] $f:\IC^n \to \IC^n$ [/mm] mit [mm] $f^k=id_{\IC^n}$ [/mm] diagonalisierbar ist. $1 [mm] \leq k\leq [/mm] n$ |
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Mo 05.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Seien [mm] z_1, [/mm] ..., [mm] z_k [/mm] die k-ten Einheitswurzeln, also
[mm] $z^k-1= (z-z_1)* [/mm] ...* [mm] (z-z_k)$
[/mm]
Dann:
[mm] $0=f^k [/mm] -id= [mm] (f-z_1*id)* [/mm] ...* [mm] (f-z_k*id)$
[/mm]
Somit:
[mm] $\IC^n= kern(f-z_1*id) \oplus [/mm] ... [mm] \oplus [/mm] kern [mm] (f-z_k*id)$
[/mm]
Daraus folgt die Behauptung
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Mo 05.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > Also möchte ich es
> > > gleich allgemein versuchen, dass jede komplexe Matrix A mit
> > > [mm]A^k=1_n[/mm] für jedes k und n diagonalisierbar ist. (Dimension
> > > Vektorraum ist n)
> > > Denn das charakteristische Polynom [mm]\chi=x^k-1[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > das charakteristische Polynom von A ist doch vom Grad n.
> Ich weiß. Ich bin mir nur nicht sicher, ob es auch für
> kleinere Potenzen [mm]k\leq n[/mm] gilt.
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?i=698683
FRED
> Oder ob es überhaupt so
> funktioniert.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> > > hat laut
> > > einem Satz genau k paarweise verschiedene Nullstellen
> > > [mm]x_a=e^{\frac{i\pi a}{k}}[/mm] für a=0,...,k-1. Damit zerfällt
> > > es in Linearfaktoren
> > > [mm]\chi = \produkt_{a=1}^{k}{x-x_a}[/mm]
> > > Das
> Minimalpolynom
> > [mm]\mu[/mm]
> > > teilt [mm]\chi[/mm] Damit ist es [mm]\mu= \produkt{x-x_{a_p}}[/mm] aus [mm]p\leq k[/mm]
> > > Faktoren mit paarweise verschiedenen Nullstellen [mm]x_{a_p}[/mm]
> > > und zerfällt damit in vollständig in Linearfaktoren.
> > >
> > > Damit ist A diagonalisierbar.
> > > Funktioniert das so?
> > >
> > > [edit] Natürlich gibt es max nur n Eigenwerte
> > >
> >
>
|
|
|
|
