A=B*B^T mit B unt. Dreiecksm. < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] $A\in \IR^{n\times n}$ [/mm] symmetrisch und positiv definit. Zeige, dass es genau eine untere Dreiecksmatrix [mm] B\in\IR^{n\times n} [/mm] gibt, so dass $A = [mm] B*B^{T}$ [/mm] und positiven Diagonaleinträgen. |
Hallo!
Ich weiß, dass es zu dieser Aufgabe auch einen sehr "indexlastigen" Ansatz gibt, indem man einfach Koeffizientenvergleich macht. Das ist aber glaube ich nicht Sinn der Aufgabe; sie entstammt einer LA-Vorlesung.
Was wir schon bewiesen haben: Eine positiv definite symmetrische Matrix lässt sich schreiben als: $A = [mm] B*B^{T}$ [/mm] mit B invertierbar. Dafür musste man einfach eine Orthonormalbasis C mit dem von A induzierten Skalarprodukt konstruieren, und erhielt durch die Transformationsmatrix $B = [mm] T^{(e_{1},...,e_{n})}_{C}$ [/mm] (Transformation von Basis [mm] $(e_{1},...,e_{n})$ [/mm] nach $C$) die gewünschte Matrix B.
Ich habe mir nun überlegt, wie man das B entsprechend auf die gewünschte Form bringen könnte:
Wenn ich mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine Orthonormalbasis [mm] C=(c_{1},...,c_{n}) [/mm] aus [mm] (e_{1},...,e_{n}) [/mm] mit dem von A induzierten Skalarprodukt bilde, dann wird ja [mm] c_{i} [/mm] dargestellt als Linearkombination von [mm] e_{1},...,e_{i}.
[/mm]
Die Transformationsmatrix [mm] $T^{C}_{(e_{1},...,e_{n}}$ [/mm] hätte also die Form einer unteren Dreiecksmatrix. Entsprechend hat dann auch [mm] $T^{(e_{1},...,e_{n}}_{C} [/mm] = [mm] \Big[ T^{C}_{(e_{1},...,e_{n}}\Big]^{-1}$ [/mm] die Form einer unteren Dreiecksmatrix (das haben wir nicht bewiesen, aber ist ja eigentlich relativ klar).
Dann wäre schonmal die Existenz gezeigt. Stimmt das?
Was mir zu schaffen macht: Die Eindeutigkeit. Gibt es einen Weg, diese zu bekommen, ohne jetzt im großen Stil mit Indizes von Matrizen zu beginnen?
Bisher habe ich:
$A = [mm] B*B^{T} [/mm] = [mm] \pmat{b_{1_{1}} & 0 & ... \\ b_{2_{1}} & b_{2_{2}} & ... \\ ... & ... & ...}*\pmat{b_{1_{1}} & b_{2_{1}} & ... \\ 0 & b_{2_{2}} & ... \\ 0 & ... & ...}$,
[/mm]
also [mm] $a_{1_{1}}^{2} [/mm] = [mm] b_{1_{1}}^{2}$ [/mm] --> [mm] b_{1_{1}} [/mm] eindeutig bestimmt, da B positive Diagonaleinträge haben soll...
Aber wie gehts weiter?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 11.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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