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A^T * A symm. & pos. semidefin: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:10 Fr 01.11.2019
Autor: NathanR

Aufgabe
Für die Matrix $A [mm] \in \mathbb{R}^{n \times n}$ [/mm] mit $m [mm] \ge [/mm] n$ ist die Matrix [mm] $A^{T} \cdot [/mm] A [mm] \in \mathbb{R}^{n \times n}$ [/mm] stets symmetrisch und positiv semi-definit.

Im Fall $Rang(A) = n$ ist [mm] $A^{T} \cdot [/mm] A$ sogar positiv definit.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.




Hallo, liebe Matheraum - Community!


Ich habe Probleme, die obige Aufgabe zu lösen. Seit gestern sitze ich vor dieser Aufgabe und suche nach einen klügeren Weg, die Aufgabe zu lösen.



Mein Ansatz war folgender (ist nicht viel):
__________________________________________



Behauptung 1:

Matrix [mm] $A^{T} \cdot [/mm] A [mm] \in \mathbb{R}^{n \times n}$ [/mm] stets symmetrisch und positiv semi-definit.


Beweis:


Es gilt [mm] $(A^{T} \cdot A)^{T} [/mm] = [mm] A^{T} \cdot \left ( A^{T} \right )^{T} [/mm] = [mm] A^{T} \cdot [/mm] A$.


Damit ist die Matrix [mm] $A^{T} \cdot [/mm] A$ stets symmetrisch.



Nun zur positiven Semidefinitheit.

Dafür muss ja gelten: [mm] $\langle [/mm] x, [mm] (A^{T} \cdot [/mm] A) x [mm] \rangle \ge [/mm] 0 $.



Da $A [mm] \in \mathbb{R}^{m \times n}$ [/mm] und [mm] $A^{T} \in \mathbb{R}^{n \times m}$ [/mm] ist [mm] $A^{T} \dot [/mm] A [mm] \in \mathbb{R}^{n \times n}$ [/mm]


Wenn ich das Skalarprodukt nun konkret aufschreibe, erhalte ich:


[mm] \langle [/mm] x, [mm] (A^{T} \cdot [/mm] A) x [mm] \rangle [/mm] = [mm] \left \langle \left(\begin{array}{c}x_{1}\\\ldots \\ x_{n}\end{array}\right), \left( \begin{array}{rrrr} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots\\ a_{m1} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}x_{1}\\\ldots \\ x_{n}\end{array}\right) \right \rangle [/mm] = [mm] \left \langle \left(\begin{array}{c}x_{1}\\\ldots \\ x_{n}\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}\sum\limits_{j = 1}^{n} a_{1j} x_{j}\\\ldots \\ \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{nj} x_{j}\end{array}\right) \right \rangle [/mm] = [mm] \sum\limits_{i = 1}^{n} x_{j} \sum\limits_{j = 1}^{n} a_{ij} x_{j}$ [/mm]


Aber ich komme nicht darauf, zu zeigen, dass die ganze Summe größer gleich 0 ist...

Kann mir da jemand helfen? Würde mich freuen.



mfg,

NathanR

        
Bezug
A^T * A symm. & pos. semidefin: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:15 Fr 01.11.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

es gilt: $<x,Ay> = x^TAy = (A^Tx)^Ty = <A^Tx,y>$

Daraus folgt sofort: $<x,A^TAx> = <Ax,Ax> [mm] \ge [/mm] 0$

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
A^T * A symm. & pos. semidefin: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Fr 01.11.2019
Autor: NathanR

Hi!



> Hiho,
>  
> es gilt: [mm] = x^TAy = (A^Tx)^Ty = [/mm]
>  
> Daraus folgt sofort: [mm] = \ge 0[/mm]
>  
> Gruß,
>  Gono

Okay, die Folgerung verstehe ich. Wenn man $y = Ax$ setzt, dann hat man:



[mm] $
und wegen der Definitheit des Skalarprodukts ist $<Ax,Ax> [mm] \ge [/mm] 0$.


Ich habe nur zwei kurze Fragen dazu:


Es gilt $<x,Ay> = x^TAy$. Aber kann ich auch $<x,Ay> = [mm] $ [/mm] schreiben? Ist ja das gleiche.


Und warum gilt [mm] $x^{T} \cdot [/mm] Ay = [mm] (x^{T} [/mm] A) [mm] \cdot [/mm] y$?


Um den Fall $Rang(A) = n$ kümmere ich mich noch mal jetzt. Ich melde mich noch mal, wenn ich nicht weiter komme.

Danke für deine Hilfe!

Bezug
                        
Bezug
A^T * A symm. & pos. semidefin: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Fr 01.11.2019
Autor: fred97


> Hi!
>  
>
>
> > Hiho,
>  >  
> > es gilt: [mm] = x^TAy = (A^Tx)^Ty = [/mm]
>  >  
> > Daraus folgt sofort: [mm] = \ge 0[/mm]
>  >  
> > Gruß,
>  >  Gono
>
> Okay, die Folgerung verstehe ich. Wenn man [mm]y = Ax[/mm] setzt,
> dann hat man:
>  
>
>
> [mm] = x^T A^{T} y = (Ax)^Ty = = [/mm]
>  
> und wegen der Definitheit des Skalarprodukts ist [mm] \ge 0[/mm].
>  
>
> Ich habe nur zwei kurze Fragen dazu:
>  
>
> Es gilt [mm] = x^TAy[/mm]. Aber kann ich auch [mm] = [/mm]
> schreiben? Ist ja das gleiche.

Nein, das rechte Skalarprodukt macht keinen  Sinn , es steht ein Spaltenvektor  und ein Zeilenvektor drin.

>
>
> Und warum gilt [mm]x^{T} \cdot Ay = (x^{T} A) \cdot y[/mm]?

Das kannst  Du doch locker nachrechnen.

>
>
> Um den Fall [mm]Rang(A) = n[/mm] kümmere ich mich noch mal jetzt.
> Ich melde mich noch mal, wenn ich nicht weiter komme.
>  
> Danke für deine Hilfe!


Bezug
                                
Bezug
A^T * A symm. & pos. semidefin: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 Fr 01.11.2019
Autor: NathanR


> > Es gilt [mm] = x^TAy[/mm]. Aber kann ich auch [mm] = [/mm]
> > schreiben? Ist ja das gleiche.
>
> Nein, das rechte Skalarprodukt macht keinen  Sinn , es
> steht ein Spaltenvektor  und ein Zeilenvektor drin.
>  >

> >
> > Und warum gilt [mm]x^{T} \cdot Ay = (x^{T} A) \cdot y[/mm]?
>
> Das kannst  Du doch locker nachrechnen.
> >
> >
> > Um den Fall [mm]Rang(A) = n[/mm] kümmere ich mich noch mal jetzt.
> > Ich melde mich noch mal, wenn ich nicht weiter komme.
>  >  
> > Danke für deine Hilfe!



Okay, das ist mir jetzt klar. Vielen Dank für den Hinweis!



Nun zum zweiten Fall.

Dazu habe ich eine hoffentlich richtige Lösung dazu.



Behauptung
__________

Sei $A [mm] \in \mathbb{R}^{m \times n}$. [/mm]

Wenn $Rang(A) = n$, dann ist [mm] $A^{T} \cdot [/mm] A$ sogar positiv definit-




Beweis
______

Sei $A [mm] \in \mathbb{R}^{m \times n}$ [/mm] . Dann ist [mm] $A^{T} \in \mathbb{R}^{n \times m}$ [/mm] und damit [mm] $A^{T} \cdot [/mm] A [mm] \in \mathbb{R}^{m \times m}$ [/mm]

Sei $x [mm] \in \mathbb{R}^{m \times 1} [/mm] = [mm] \mathbb{R}^{m}$. [/mm]




Da $Rang(A) = n$ gilt, dann hat $A$ vollen Spaltenrang. Die zugehörige lineare Abbildung [mm] $\delta: \mathbb{K}^{n} \rightarrow \mathbb{K}^{m}, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] Ax$ ist damit injektiv.


Das heißt, dass [mm] $Ker(\delta) [/mm] = [mm] \{ 0 \}$. [/mm] Also existiert kein Vektor $x [mm] \neq [/mm] 0$ mit $Ax = 0$.




Vorhin haben wir herausbekommen, dass [mm] $\langle [/mm] x, [mm] A^{T} \cdot [/mm] A [mm] \cdot [/mm] x [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] Ax, A x [mm] \rangle \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in \mathbb{R}^{m} \setminus \{ 0 \}$. [/mm]  


Da aber kein Vektor $x [mm] \neq [/mm] 0$ existiert mit $Ax = 0$, gilt [mm] $\langle [/mm] x, [mm] A^{T} \cdot [/mm] A [mm] \cdot [/mm] x [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] Ax, A x [mm] \rangle [/mm] > 0$ für alle $x [mm] \in \mathbb{R}^{m} \setminus \{ 0 \}$. [/mm]


Also ist [mm] $A^{T} \cdot [/mm] A$ positiv definit. Passt das so?



mfg, NathanR

Bezug
                                        
Bezug
A^T * A symm. & pos. semidefin: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:02 Fr 01.11.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vorweg: Deine Beweisidee ist ok, dein Aufschrieb hat Fehler.

> Sei [mm]A \in \mathbb{R}^{m \times n}[/mm] . Dann ist [mm]A^{T} \in \mathbb{R}^{n \times m}[/mm]

[ok]

> und damit [mm]A^{T} \cdot A \in \mathbb{R}^{m \times m}[/mm]

[notok]
Es gilt [mm]A^{T} \cdot A \in \mathbb{R}^{n \times n}[/mm]

> Sei [mm]x \in \mathbb{R}^{m \times 1} = \mathbb{R}^{m}[/mm].

Ein Spaltenvektor aus [mm] $x\in \mathbb{R}^{m}$ [/mm] hat m Zeilen. Wie willst du den mit einer Matrix multiplizieren, die n Spalten hat?

Später schreibst du selbst:

> Die zugehörige lineare Abbildung [mm]\delta: \mathbb{K}^{n} \rightarrow \mathbb{K}^{m}, x \mapsto Ax[/mm]

d.h. die Abbildung bildet doch aus dem [mm] $\IR^n$ [/mm] ab, d.h. deine Definitionsmenge sind Spaltenvektoren mit n Zeilen!
Im Übrigen: Was soll nun plötzlich [mm] $\mathbb{K}$ [/mm] sein?
Zu einem sauberen Aufschrieb gehört auch, dort die richtigen Symbole einzusetzen.

Der Rest von deinem Beweis stimmt.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                
Bezug
A^T * A symm. & pos. semidefin: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:57 Sa 02.11.2019
Autor: NathanR

Okay, super. Habe jetzt die Aufgabe verstanden.

Ich bedanke mich bei dir und bei Fred. Habt mir beide sehr geholfen!


Wünsche euch einen schönen Tag noch!

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