AWP < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich wollte mich erstmal begrüßen und allen Hallo (da ich neu bin)  .
Auch ich habe ein paar Probleme in Ana1. Mein Problwem besteht zunächst darin:
Bestimmen Sie die Lösung des AWP x(y'(x)-2)=3y(x),Anfangsbedingung:y(1)=0
Indem Sie eine Taylorentwicklung der Lösung um den Entwicklungspunkt [mm] x_0=1 [/mm] durchführen. Verifizieren Sie die Lösung durch Einsetzen in das AWP.
Ansatz:
Ich würde diese DGL mehrmals ableiten und die Anfangsbedingung y(1)=0 einsetzen. Durch einsetzen der erhaltenen Werte, würde ich ja dann von allein das Taylorpolynom erhalten. Wenn das überhaupt gefragt ist.
Aber wie kann ich denn so eine DGL ableiten mir fehlt dafür irgdnwie der Ansatz, da die ziemelich schwer aussieht.
Ich habe diese Frage in keinen weiteren Foren eingestellt.
P.S. ich bin dankbar das es euch gibt.
|
|
| |
|
Hallo, und willkommen im Mathe-Raum!
Du bist nicht alleine, vor allem nicht bei dieser Aufgabe. Gestern wurde bereits zwei mal nach exakt dieser Aufgabe gefragt.
hier gehts weiter...
|
|
|
| |
|
Das ist ja mal geil
Okay das heißt ich leite meine Taylorreihe im Prinizp so lange ab, bis ich meine gesuchte Ableitung von y habe und die dann einsetze. Also erhalte ich in meiner Aufgabe:
Taylorreihe:
[mm] y(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...
[/mm]
abgeleitet:
[mm] y'(x)=a_1+2a_2x+...
[/mm]
eingesetzt in x(y'-2)=3y:
[mm] x(a_1+2a_2x+...)=3(a_0+a_1x+a_2x^2+...)
[/mm]
Das habe ich nicht so ganz verstanden. Müsste die abgeleitete Taylor Entwicklung nicht komplett für y'x eingesetzt werden? Und nicht nur [mm] a_1?
[/mm]
Das mit dem Koeffizientenvergleich versteh ich noch nicht ganz könnte mir das jmd. bitte an diesem Bsp. genauer zeigen?
Ich danke euch.
Mit freundlichen Grüßen Domenick
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich verstehe dein Problem mit dem [mm] a_1 [/mm] nicht so ganz. Kannst du das näher erläutern?
Und noch eine Sache:
[mm] y'=a_1+2a_2x+3a_3x^2+...
[/mm]
[mm] xy'=a_1x+2a_2x^2+3a_3x^3+...
[/mm]
Da steht aber x(y'-2) , also xy'-2x, also mußt du links schreiben:
[mm] a_1x+2a_2x^2+3a_3x^3+...-2x
[/mm]
[mm] =(a_1-2)x+2a_2x^2+3a_3x^3+...
[/mm]
Zum Koeffizientenvergleich:
[mm] \red{0}+\green{(a_1-2)x}+\blue{2a_2x^2}+3a_3x^3+...=\red{3a_0}+\green{3a_1x}+\blue{3a_2x^2}+3a_3x^3+...
[/mm]
Diese Gleichung soll FÜR ALLE x gelten. Das erreichst du, indem du die terme mit den Potenzen von x einzeln betrachtest. Die Gleichung gilt sicher dann, wenn der rote teil links und rechts übereinstimmt, der grüne, der blaue, der schwarze,...
Also
[mm] 0=3a_0
[/mm]
[mm] (a_1-2)x=3a_1x
[/mm]
...
Das x kürzt sich raus, sodaß da steht:
[mm] (a_1-2)=3a_1
[/mm]
Man vergleicht also die Koeffizienten der einzelnen x.
Insgesamt bekommt man so (oft rekursive) Formeln für die einzelnen Koeffizienten.
Mein Beispiel ist natürlich eine Taylorentwicklung um x=0 gewesen. Anscheinend gibt es dann nur eine einzige Lösung ohne freie Parameter. Du sollst nun eine Entwicklung um x=1 einsetzten, und da wird es sicher freie Parameter geben.
|
|
|
| |
|
Ja ist im Prinzip schon erläutert. Ich hatte halt auch im Prinzip zuerst nur
[mm] a_1x+2a_2x^2+3a_3x^3+...-2 [/mm] zu stehen und mir war schleierhaft warum das dann zu [mm] (a_1-2)x+2a_2x^2+3a_3x^3+... [/mm] wird.
Ja das mit den Koeffizienten ist interessant im Prinzip kann ich mir ja alles ab [mm] 3a_3 [/mm] sparen, da z.B. gilt:
[mm] 3a_3x^3=3a_3x^3.
[/mm]
Aber was genau kann ich jetzt daraus schließen? Und wie kann ich weiter machen? Ich werd daraus noch nicht so richtig schlau...
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Ja ist im Prinzip schon erläutert. Ich hatte halt auch im
> Prinzip zuerst nur
> [mm]a_1x+2a_2x^2+3a_3x^3+...-2[/mm] zu stehen und mir war
> schleierhaft warum das dann zu [mm](a_1-2)x+2a_2x^2+3a_3x^3+...[/mm]
> wird.
Das war nur schon die gesamte linke Seite zusammengefaßt...
> Ja das mit den Koeffizienten ist interessant im Prinzip
> kann ich mir ja alles ab [mm]3a_3[/mm] sparen, da z.B. gilt:
> [mm]3a_3x^3=3a_3x^3.[/mm]
>
> Aber was genau kann ich jetzt daraus schließen? Und wie
> kann ich weiter machen? Ich werd daraus noch nicht so
> richtig schlau...
Nun, ich habe ja zunächst einfach mal ne Taylorreihe um x=0 eingesetzt, und dabei kommt allem Anschein nach Müll raus. Du sollst aber um x=1 einsetzen, und dann am besten direkt mit Indizes rechnen. Schau mal in den anderen Thread, da habe ich das im Prinzip schon ziemlich weit vorgerechnet.
|
|
|
|
