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AWP - Anzahl der Lösungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:41 So 18.09.2011
Autor: Enton

Aufgabe
Gegeben sei das Anfangswertproblem y' = |x+y|,   y(2)=5

Antwortmöglichkeiten:
A: Das Anfangswertproblem hat keine Lösung.
B: Das Anfangswertproblem hat mehrere Lösungen.
C: Die Tangente an den Graphen der Lösung im Punkt x=2 ist z(x)=7x-9
D: Die Funktion f(x,y)=|x+y| ist bezüglich y nicht lipschitzstetig.

Hinweis: Genau eine der vier Antworten ist richtig.

Hallo,
ich habe bisher keine Antwort auf diese Fragestellung finden können.

Das einzige was ich zu dem Thema bisher kenne ist, wie man überprüfen kann, ob die Lipschitz-Bedingung
[mm] |f(x,y_{2})-f(x,y_{1})| \le L*|y_{2}-y_{1}| [/mm]
erfüllt ist.
Indem ein konstantes L gesucht wird, für das die Bedingung erfüllt ist.

f(x,y) = |x+y|
[mm] |f(x,y_{2})-f(x,y_{1})| \le L*|y_{2}-y_{1}| [/mm]
[mm] ||x+y_{2}|-|x+y_{1}|| \le L*|y_{2}-y_{1}| [/mm]
[mm] ||x+y_{2}|-|x+y_{1}|| [/mm] / [mm] |y_{2}-y_{1}| \le [/mm] L

Leider bin ich nicht sicher, ob hier ein bestimmtes L gewählt werden kann.
Außerdem weiß ich auch nicht, ob ich auf diese Weise die Frage beantworten kann.
Ich weiß auch nicht, wie man mit einem Betrag umzugehen hat, wenn es um unbestimmtes Integrieren und Differenzieren geht.

Würde es keinen Betrag geben, dann wäre die Funktion
y' = x + y
Zu lösen durch y(x) = [mm] e^x*(5*e^-^x+\integral_{2}^{x}{t*e^-^t dt}) [/mm]
y(x) = 5 + [mm] ((-x-1)*e^{-x} [/mm] - [mm] (-2-1)*e^{-2}) [/mm]
y(x) = 5 + [mm] 3*e^{-2} -(x+1)*e^{-x} [/mm]

In dem Fall hätte ich eine Lösung, allerdings ist das nur die Lösung für den Fall x + y [mm] \ge [/mm] 0

Für den Fall x + y [mm] \le [/mm] 0 vermute ich, dass es der Gleichung y'=-x -y entspricht.
Zu lösen durch y(x) = [mm] e^{-x}*(5*e^{x}+\integral_{2}^{x}{t*e^t dt}) [/mm]
y(x) = 5 + [mm] ((x-1)*e^{x} [/mm] - [mm] (2-1)*e^{2}) [/mm]
y(x) = 5 - [mm] e^{2} [/mm] + [mm] (x-1)*e^{x} [/mm]

Ich habe also zwei Lösungen gefunden, demnach könnte ich sagen, dass die Antwort B richtig ist.

Nun weiß ich aber erstens nicht, ob ich hier wirklich richtig gerechnet habe und zweitens ist es bei dieser Multiple Choice Aufgabe nicht vorgesehen, dass man viel rechnet.

Meine Fragen sind also:
1) Welche der vier Antworten ist richtig?
2) Wie kann ich schnell auf die Antwort kommen?

Eine Idee von mir ist, dass eine DGL mit Betrag zwei Lösungen hat, wenn sie ohne Betrag eine Lösung hat.
Allerding bin ich noch nicht einmal sicher, wann genau eine DGL ohne Betrag genau eine Lösung hat.
Meine Vermutung war ja, dass ein Anfangswert + DGL 1. Ordnung immer eine Lösung bedeutet.
Es wäre mir schon eine Hilfe, wenn man mir bestätigen könnte, dass das bei linearen DGL immer so ist.

        
Bezug
AWP - Anzahl der Lösungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:03 Mo 19.09.2011
Autor: fred97

Mit der umgekehrten Dreiecksungl. hat man:

           [mm] $|~|x+y_1|-|x+y_2|~| \le |(x+y_1)-(x+y_2)|=|y_1-y_2|$ [/mm]

Damit ist f(x,y)=|x+y|  bezüglich y  lipschitzstetig.

Fazit: D ist falsch. Was ist dann mit A und B ?  Und wie siehts mit C aus ?

FRED

Bezug
                
Bezug
AWP - Anzahl der Lösungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:44 Mo 19.09.2011
Autor: Enton

Danke, ich wusste nicht, dass es dafür eine Ungleichung gibt.

Ich weiß jetzt leider nicht genau, welche Schlussfolgerung man daraus für die übrigen Antwortmöglichkeiten ziehen kann.

Ich hoffe ihr könnt mir dabei weiterhelfen.

Da größte Problem ist, dass ich nicht ganz verstehe, wie diese Gleichung funktioniert, mit der man ermittelt auf welchem Bereich die Lösungen sind.

Ich habe nur einen Satz der eine Aussage darüber macht, dass es mindestens eine Lösung auf einem bestimmten Intervall gibt, wenn f(x,y) auf einem bestimmten Rechteck Lipschitzstetig ist.
Dafür bekommt man dann ein Alpha heraus, das den Radius um den Anfangswert beschreibt in dem die Funktion eine Lösung hat.

Ist die Funktion denn stetig, wenn sie ein einen Betrag hat?
Also wenn man z.B. x=0 hat, dann beschreibt die Funktion y < 0 die Steigung -1 und für y > 0 die Steigung 1.
Also im Punkt 0 ist die Funktion dann nicht stetig oder?

Ich hoffe jetzt wirklich auf eine erklärende Antwort, denn mit ein paar Tipps ist es nicht getan, ich habe jetzt schon viel Zeit mit der Frage verbracht und komme nicht selbst drauf.

Welche Auswirkung hat es, wenn f(x,y) für jeden Punkt lipschitzstetig ist?

Bezug
                        
Bezug
AWP - Anzahl der Lösungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:01 Mo 19.09.2011
Autor: fred97


> Danke, ich wusste nicht, dass es dafür eine Ungleichung
> gibt.
>  
> Ich weiß jetzt leider nicht genau, welche Schlussfolgerung
> man daraus für die übrigen Antwortmöglichkeiten ziehen
> kann.


f ist auf [mm] \IR^2 [/mm] stetig und lipschitzstetig bezüglich y. Der Satz von Picard - Lindelöf besagt nun: das AWP hat auf [mm] \IR [/mm] genau eine Lösung.

Damit sind die Aussagen A und B falsch. Dass D falsch ist, haben wir oben schon gesehen.

Sei [mm] y_0 [/mm] die Lösung des AWPs auf [mm] \IR. [/mm] Die Tangente an den Graphen von [mm] y_0 [/mm] im Punkt x=2 geht durch den Punkt [mm] (2|y_0(2)) [/mm] und hat die Steigung [mm] y_0'(2) [/mm]

Kann dann die Tangente durch die Gl. z(x)=7x-9  beschrieben werden ?

>  
> Ich hoffe ihr könnt mir dabei weiterhelfen.
>  
> Da größte Problem ist, dass ich nicht ganz verstehe, wie
> diese Gleichung funktioniert,

Was meinst Du damit ?


> mit der man ermittelt auf
> welchem Bereich die Lösungen sind.

Das AWP hat, wie gesagt, auf [mm] \IR [/mm] genau eine Lösung.


>  
> Ich habe nur einen Satz der eine Aussage darüber macht,
> dass es mindestens eine Lösung auf einem bestimmten
> Intervall gibt, wenn f(x,y) auf einem bestimmten Rechteck
> Lipschitzstetig ist.

f ist auf jedem (!) Streifen $[a,b] [mm] \times \IR$ [/mm] (mit a [mm] \le [/mm] 2 [mm] \le [/mm] b) lip.-stetig bezüglich y !



>  Dafür bekommt man dann ein Alpha heraus, das den Radius
> um den Anfangswert beschreibt in dem die Funktion eine
> Lösung hat.

??????

>  
> Ist die Funktion denn stetig, wenn sie ein einen Betrag
> hat?

f(x,y)=|x+y| ist stetig auf [mm] \IR^2 [/mm]


>  Also wenn man z.B. x=0 hat, dann beschreibt die Funktion y
> < 0 die Steigung -1 und für y > 0 die Steigung 1.
>  Also im Punkt 0 ist die Funktion dann nicht stetig oder?

Quatsch


>  
> Ich hoffe jetzt wirklich auf eine erklärende Antwort, denn
> mit ein paar Tipps ist es nicht getan, ich habe jetzt schon
> viel Zeit mit der Frage verbracht und komme nicht selbst
> drauf.
>  
> Welche Auswirkung hat es, wenn f(x,y) für jeden Punkt
> lipschitzstetig ist?

Schau Dir den Satz von Picard - Lindelöf nochmal an.

FRED


Bezug
                                
Bezug
AWP - Anzahl der Lösungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:11 Mo 19.09.2011
Autor: Enton

Der Satz von Picard - Lindelöf ist genau der Satz den ich meinte, den schaue ich mir schon die ganze Zeit an, aber ich habe keine Ahnung welche Schlussfolgerungen man für Alpha machen kann.
(ja in diesem Satz kommt sowohl in meinem Buch als auch auf Wikipedia ein Alpha vor)
Ist nämlich das Rechteck unendlich groß dann hab ich im Alpha unendlich/unendlich stehen... und das wäre ja dann vermutlich ein endlicher Wert.
Aber gut zu wissen, dass es genau eine Lösung gibt.

Um nochmal genauer zu sagen, was ich meine:

In meinem Buch steht:
Wenn auf einem Rechteck 2a x 2b mit Mittelpunkt [mm] (x_{0}, y_{0}) [/mm]
eine Funktion lipschitzstetig bzgl y ist.
Und ist die Funktion stetig auf dem Rechteckt.
Dann hat das AWP genau eine Lösung auf dem Intervall [mm] [x_{0} [/mm] - Alpha,  [mm] x_{0} [/mm] + Alpha]
Alpha = min{a, b/M},
M=max|f(x,y)| auf dem Rechteck

Wenn mein Rechteck jetzt die Reelen Zahlen sind R x R
dann hab ich a = unendlich, b = unendlich, M = unendlich
b/M = endlich => Alpha = endlich?

Bezug
                                        
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AWP - Anzahl der Lösungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Mo 19.09.2011
Autor: leduart

Hallo
zur schnellen Antwort sieht man nach der tangente, und sieht t(2)=5. t'(2)=y'(2)=7 und mit dem tip nur eine antwort richtig ist man fertig. deine richtige Lösung muss ja da im Anfangspunkt x+y>0 nur in dem Bereich bleiben, dann hast du ne eindeutige Lösung auf ganz R.
bei dem gegebenen Anfangspunkt hast du ja nicht x+y<0 warum das also betrachten?
was liposchitzstetig bedeutet sollte man allerdings wissen, dann sieht man sofort, dass das erfüllt ist!



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