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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - AWP Beschleunigung
AWP Beschleunigung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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AWP Beschleunigung: Lösungsverfahren
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 Mo 16.05.2011
Autor: likenobody

Aufgabe
Die horizontale Längsbewegung eines Fahrzeugs bei Vollgas lässt sich vereinfacht beschreiben durch das Anfangswertproblem:

[mm] m*\bruch{dv}{dt}=\alpha-\beta*v^{2} [/mm]

[mm] V(0)=v_{0} [/mm]

wobei m die Masse des Fahrzeuges und [mm] \alpha [/mm] > 0 , [mm] \beta [/mm] > 0 konstanten sind. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v(t) für alle t>= 0

Wie kann ich hier vorgehen, mit bernoulli funktioniert es leider nicht. Reccati geht leider auch nicht, da [mm] \alpha [/mm] ja keine funktion ist.

für Hilfe bin ich dankbar

        
Bezug
AWP Beschleunigung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:58 Mo 16.05.2011
Autor: kamaleonti

Hallo,
> Reccati geht leider auch nicht, da [mm]\alpha[/mm] ja
> keine funktion ist.

Wieso das?
Es ist eben ein konstante Funktion, wenn man so will.

>  
> für Hilfe bin ich dankbar

LG

Bezug
        
Bezug
AWP Beschleunigung: Umformen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:02 Mo 16.05.2011
Autor: Infinit

Hallo likenobody,
diese Riccati-DGL lässt sich in eine DGL 2. Ordnung umformen und aufgrund der konstanten Koeffizienten ist diese DGL sogar lösbar.
Viele Grüße,
Infinit


Bezug
        
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AWP Beschleunigung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 Mo 16.05.2011
Autor: likenobody

Hier nun meine Rechnung mit Riccati und Bernoulli.

v'= [mm] \bruch{\alpha}{m}-\bruch{\beta*v^2}{m} [/mm]

Spezielle Lösung durch erraten:

v = [mm] \phi [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}} [/mm]

hieraus folgt dann:

[mm] m(\phi+u)'=\alpha-\beta(\phi+u)^2 [/mm]
[mm] (\phi+u)'= \bruch{\alpha}{m}-\bruch{\beta(\phi+u)^2}{m} [/mm]
[mm] u´=-\phi+\bruch {\alpha}{m}-\bruch{\beta}{m}\phi^2-\bruch{\beta}{m}2\phi*u+\bruch{\beta}{m}u^2 [/mm]

hieraus folgt dann:
[mm] u'=-\bruch{\beta}{m}2\phi*u+\bruch{\beta}{m}u² [/mm]

nach bernoulli folgt hieraus:

v'(t) + [mm] \bruch{\beta}{m}*2\phi*v(t)=\bruch{\beta}{m} [/mm]

homogene LSG:
  

v'(t) + [mm] \bruch{\beta}{m}*2\phi*v(t)=0 [/mm]

....

u= [mm] \bruch{1}{e^-^\bruch{\beta}{m}^*^2^\phi^*^t^+^C} [/mm]

...

ist die lsg bis hierhin korrekt?

Bezug
                
Bezug
AWP Beschleunigung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 Mo 16.05.2011
Autor: MathePower

Hallo likenobody,

> Hier nun meine Rechnung mit Riccati und Bernoulli.
>  
> v'= [mm]\bruch{\alpha}{m}-\bruch{\beta*v^2}{m}[/mm]
>  
> Spezielle Lösung durch erraten:
>  
> v = [mm]\phi[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}[/mm]
>  
> hieraus folgt dann:
>  
> [mm]m(\phi+u)'=\alpha-\beta(\phi+u)^2[/mm]
>  [mm](\phi+u)'= \bruch{\alpha}{m}-\bruch{\beta(\phi+u)^2}{m}[/mm]
>  
> [mm]u´=-\phi+\bruch {\alpha}{m}-\bruch{\beta}{m}\phi^2-\bruch{\beta}{m}2\phi*u+\bruch{\beta}{m}u^2[/mm]


Hier muss es doch lauten:

[mm]u'=-\phi+\bruch {\alpha}{m}-\bruch{\beta}{m}\phi^2-\bruch{\beta}{m}2\phi*u\blue{-}\bruch{\beta}{m}u^2[/mm]


>  
> hieraus folgt dann:
>  [mm]u'=-\bruch{\beta}{m}2\phi*u+\bruch{\beta}{m}u²[/mm]


[mm]u'=-\bruch{\beta}{m}2\phi*u\blue{-}\bruch{\beta}{m}u^{2}[/mm]


>  
> nach bernoulli folgt hieraus:
>  
> v'(t) + [mm]\bruch{\beta}{m}*2\phi*v(t)=\bruch{\beta}{m}[/mm]


Dann folgt mit Bernoulli:

[mm]v'(t) \blue{-} \bruch{\beta}{m}*2\phi*v(t)=\bruch{\beta}{m}[/mm]


>  
> homogene LSG:
>    
>
> v'(t) + [mm]\bruch{\beta}{m}*2\phi*v(t)=0[/mm]
>  
> ....
>  
> u= [mm]\bruch{1}{e^-^\bruch{\beta}{m}^*^2^\phi^*^t^+^C}[/mm]
>  
> ...
>
> ist die lsg bis hierhin korrekt?


Leider nicht, siehe oben.


Gruss
MathePower

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AWP Beschleunigung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:18 Di 05.07.2011
Autor: likenobody

Ich habe nun unter brücksichtigung der tipps das ergebins neu berrechent
die allgemeine lösung der Bernoulli 'DGL ergibt sich nun nach Rücksubstitution zu [mm] u=\bruch{1}{e^{2*\bruch{\beta}{m}*\phi*t}*c+\bruch{\beta}{m}} [/mm]

hieraus folgt die Lösung der Riccati DGL zu:
[mm] v(t)=\bruch{1}{e^{2*\bruch{ß}{m}*\phi*t}*c+\bruch{\beta}{m}}+\bruch{\beta}{m} [/mm]

ist die lösung nun so korrekt?


Bezug
                                
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AWP Beschleunigung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:36 Di 05.07.2011
Autor: MathePower

Hallo likenobody,

> Ich habe nun unter brücksichtigung der tipps das ergebins
> neu berrechent
>  die allgemeine lösung der Bernoulli 'DGL ergibt sich nun
> nach Rücksubstitution zu
> [mm]u=\bruch{1}{e^{2*\bruch{\beta}{m}*\phi*t}*c+\bruch{\beta}{m}}[/mm]
>  
> hieraus folgt die Lösung der Riccati DGL zu:
>  
> [mm]v(t)=\bruch{1}{e^{2*\bruch{ß}{m}*\phi*t}*c+\bruch{\beta}{m}}+\bruch{\beta}{m}[/mm]
>  
> ist die lösung nun so korrekt?
>  


Die Lösung ist nicht korrekt. [notok]


Gruss
MathePower

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AWP Beschleunigung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:53 Mi 06.07.2011
Autor: likenobody

Die erneute Berechnung fürhte mich nun zu dem Ergebnis:

[mm] v(t)=e^{2\cdot{}\bruch{\beta}{m}\cdot{}\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}\cdot{}t}\cdot{}c+\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}-\bruch{1}{2}\bruch{\wurzel{\beta}}{\wurzel{\alpha}} [/mm]

ist denn die substitution bzw. die erratene lösung bei der riccati gleichung mit [mm] \bruch{\wurzel{\beta}}{\wurzel{\alpha}} [/mm] korrekt, muss diese nicht von t abhänig sein?

ich weiß bei der aufgabe einfach nicht mehr weiter.

vielen dank schonmal für hilfe.



Bezug
                                                
Bezug
AWP Beschleunigung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 Mi 06.07.2011
Autor: MathePower

Hallo likenobody,

> Die erneute Berechnung fürhte mich nun zu dem Ergebnis:
>  
> [mm]v(t)=e^{2\cdot{}\bruch{\beta}{m}\cdot{}\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}\cdot{}t}\cdot{}c+\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}-\bruch{1}{2}\bruch{\wurzel{\beta}}{\wurzel{\alpha}}[/mm]


Hier meinst Du wohl:

[mm]v(t)= \bruch{1}{e^{2\cdot{}\bruch{\beta}{m}\cdot{}\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}\cdot{}t}\cdot{}c-\bruch{1}{2}\bruch{\wurzel{\beta}}{\wurzel{\alpha}}}+\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}[/mm]


>  
> ist denn die substitution bzw. die erratene lösung bei der
> riccati gleichung mit
> [mm]\bruch{\wurzel{\beta}}{\wurzel{\alpha}}[/mm] korrekt, muss diese
> nicht von t abhänig sein?


Die erratene Lösung lautet doch [mm]\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}[/mm]
Diese erratene Lösung muß nicht von t abhängig sein.

>  
> ich weiß bei der aufgabe einfach nicht mehr weiter.
>  
> vielen dank schonmal für hilfe.
>  


Gruss
MathePower  

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AWP Beschleunigung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 08:02 Do 07.07.2011
Autor: likenobody

Ich gehe davon aus das die Lösung v(t)= [mm] \bruch{1}{e^{2\cdot{}\bruch{\beta}{m}\cdot{}\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}\cdot{}t}\cdot{}c-\bruch{1}{2}\bruch{\wurzel{\beta}}{\wurzel{\alpha}}}+\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}} [/mm]  korrekt ist?!

Vielen dank für die Geduld

Bezug
                                                                
Bezug
AWP Beschleunigung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:20 Sa 09.07.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                                        
Bezug
AWP Beschleunigung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:22 Sa 09.07.2011
Autor: likenobody



Ich gehe davon aus das die Lösung [mm] v(t)=\bruch{1}{e^{2\cdot{}\bruch{\beta}{m}\cdot{}\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}}\cdot{}t}\cdot{}c-\bruch{1}{2}\bruch{\wurzel{\beta}}{\wurzel{\alpha}}}+\bruch{\wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}} [/mm]   korrekt ist?!

Vielen dank für die Geduld

Bezug
                                                                
Bezug
AWP Beschleunigung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:23 Mo 11.07.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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