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Forum "Differentialgleichungen" - AWP / Picard-Lindelöf
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AWP / Picard-Lindelöf: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 Mi 23.10.2013
Autor: chesn

Aufgabe
Sei $ c>0 $ sowie $ [mm] y_0>0 [/mm] $ für das Anfangswertproblem $\ \ \ y' = [mm] cy^2, [/mm] \ \ \ [mm] y(0)=y_0 [/mm]  \ \ \ $ gegeben.

a) Zeigen Sie, dass für [mm] $n\in\IN$ [/mm] die Funktion $ [mm] f(x)=cx^n [/mm] $ Lipschitz-stetig auf jedem Intervall $ [-a,a], \ a>0 $ ist.

Hinweis: Zeigen Sie die Identität $ [mm] x^n-y^n=(x-y)\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k}. [/mm] $

b) Bestimmen Sie mittels Trennung der Variablen das maximale Existenzintervall für eine Lösung des AWPs.

c) Können Sie mit dem Satz von Picard-Lindelöf eine Eindeutigkeitsaussage über die in b) berechnete Lösung treffen? Begründen Sie. Wenn nicht, gibt es ein Intervall, auf dem eine eindeutige Lösung des AWPs gegeben ist?

Hey! Wäre nett wenn jemand ein paar Worte dazu verlieren könnte. :)

a) Hier gilt ja zu zeigen, dass $ |f(x)-f(y)| < L*|x-y| $, hier also:

$ [mm] |c*x^n-c*y^n| [/mm] = [mm] c*|x^n-y^n| [/mm]  $ %% mit obigem Hinweis folgt

$= [mm] c*|(x-y)*\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k}| [/mm] $

Bei Betrachtung des Intervalls $[-a,a]$ dachte ich mir, dass $ [mm] \sum\limits_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k} [/mm] < [mm] \sum\limits_{k=0}^{n-1}a^n [/mm] = [mm] n*a^n [/mm] $ gelten dürfte, also insgesamt:

[mm] $|f(x)-f(y)|=|c*x^n-c*y^n| [/mm] < [mm] c*n*a^n*|x-y| [/mm] $ mit der L-Konstante [mm] $L=c*n*a^n.$ [/mm] So in Ordnung?

b) Mittels Trennung der Variablen:

[mm] $y'=cy^2 \gdw \bruch{dy}{dx}=cy^2 \gdw \bruch{1}{cy^2}dy=1 [/mm] dx $

$ [mm] \integral \bruch{1}{cy^2}dy=\integral [/mm] 1 dx [mm] \gdw -\bruch{1}{cy}+k_1=x+k_2 [/mm] $ %% mit Integrationskonstanten [mm] k_1, k_2. [/mm]

Führt mich zu [mm] y=\bruch{1}{c(x+k_1-k_2)} [/mm]

Was ist jetzt mein "maximales Existenzintervall", wie in der Aufgabenstellung gefordert? Kenne den Anfangswert [mm] y(0)=y_0 [/mm] und weiß, dass die Lösung für [mm] x=k_2-k_1 [/mm] nicht definiert ist.. aber leider nicht, was ich da bezüglich des Existenzintervalls hineininterpretieren soll. Oder heisst das einfach, dass die Lösung eine globale ist?

Vielen Dank & lieben Gruß!
chesn

        
Bezug
AWP / Picard-Lindelöf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:07 Mi 23.10.2013
Autor: fred97


> Sei [mm]c>0[/mm] sowie [mm]y_0>0[/mm] für das Anfangswertproblem [mm]\ \ \ y' = cy^2, \ \ \ y(0)=y_0 \ \ \[/mm]
> gegeben.
>  
> a) Zeigen Sie, dass für [mm]n\in\IN[/mm] die Funktion [mm]f(x)=cx^n[/mm]
> Lipschitz-stetig auf jedem Intervall [mm][-a,a], \ a>0[/mm] ist.
>  
> Hinweis: Zeigen Sie die Identität
> [mm]x^n-y^n=(x-y)\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k}.[/mm]
>  
> b) Bestimmen Sie mittels Trennung der Variablen das
> maximale Existenzintervall für eine Lösung des AWPs.
>  
> c) Können Sie mit dem Satz von Picard-Lindelöf eine
> Eindeutigkeitsaussage über die in b) berechnete Lösung
> treffen? Begründen Sie. Wenn nicht, gibt es ein Intervall,
> auf dem eine eindeutige Lösung des AWPs gegeben ist?
>  Hey! Wäre nett wenn jemand ein paar Worte dazu verlieren
> könnte. :)
>  
> a) Hier gilt ja zu zeigen, dass [mm]|f(x)-f(y)| < L*|x-y| [/mm],
> hier also:
>  
> [mm]|c*x^n-c*y^n| = c*|x^n-y^n| [/mm] %% mit obigem Hinweis folgt
>  
> [mm]= c*|(x-y)*\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k}|[/mm]
>  
> Bei Betrachtung des Intervalls [mm][-a,a][/mm] dachte ich mir, dass
> [mm]\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k} < \sum\limits_{k=0}^{n-1}a^n = n*a^n[/mm]
> gelten dürfte,

Das stimmt so nicht. Wo sind die Beträge geblieben ??


[mm] |\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k}| \le \sum\limits_{k=0}^{n-1}|x|^k*|y|^{n-1-k} \le \sum\limits_{k=0}^{n-1}a^k*a^{n-1-k}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^{n-1}= n*a^{n-1} [/mm]





> also insgesamt:
>  
> [mm]|f(x)-f(y)|=|c*x^n-c*y^n| < c*n*a^n*|x-y|[/mm] mit der
> L-Konstante [mm]L=c*n*a^n.[/mm] So in Ordnung?

nein. Es ist

[mm]|f(x)-f(y)|=|c*x^n-c*y^n| < c*n*a^{n-1}*|x-y|[/mm] ,

also Lipschitzkonstante [mm] L=c*n*a^{n-1} [/mm]

>  
> b) Mittels Trennung der Variablen:
>  
> [mm]y'=cy^2 \gdw \bruch{dy}{dx}=cy^2 \gdw \bruch{1}{cy^2}dy=1 dx[/mm]
>  
> [mm]\integral \bruch{1}{cy^2}dy=\integral 1 dx \gdw -\bruch{1}{cy}+k_1=x+k_2[/mm]
> %% mit Integrationskonstanten [mm]k_1, k_2.[/mm]
>  
> Führt mich zu [mm]y=\bruch{1}{c(x+k_1-k_2)}[/mm]

Da ist ein Vorzeichenfehler drin, und die beiden Konstanten kannst Du zu einer Konstanten [mm] c_1 [/mm] zusammenfassen. Das liefert:

  [mm] y(x)=\bruch{-1}{cx+c_1} [/mm]

y soll das AWP lösen, also: [mm] y_0=y(0)=\bruch{-1}{c_1} [/mm]

D.h.:  [mm] c_1=-\bruch{1}{y_0} [/mm]


Das führt auf die Lösung

(*)  [mm] y(x)=\bruch{y_0}{1-y_0cx} [/mm]





>  
> Was ist jetzt mein "maximales Existenzintervall", wie in
> der Aufgabenstellung gefordert? Kenne den Anfangswert
> [mm]y(0)=y_0[/mm] und weiß, dass die Lösung für [mm]x=k_2-k_1[/mm] nicht
> definiert ist.. aber leider nicht, was ich da bezüglich
> des Existenzintervalls hineininterpretieren soll. Oder
> heisst das einfach, dass die Lösung eine globale ist?


Die Funktion in (*) ist def. auf [mm] \IR \setminus \{ \bruch{1}{y_0*c}\} [/mm]


Das max. Existenzintervall ist das größte Intervall I mit den folgenden Eigenschaften:

1. I ist Teilmenge von [mm] \IR \setminus \{ \bruch{1}{y_0*c}\} [/mm]

und

2. 0 [mm] \in [/mm] I

Damit ist I= ????


FRED

>  
> Vielen Dank & lieben Gruß!
>  chesn


Bezug
                
Bezug
AWP / Picard-Lindelöf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:34 Mi 23.10.2013
Autor: chesn

Hallo! Vielen Dank erstmal, hat mir sehr geholfen. Habe wohl übersehen, dass für die L-stetigkeit ein [mm] \le [/mm] genügt.
Und das Existenzintervall dürfte dann I=$ [mm] \IR \setminus \{ \bruch{1}{y_0\cdot{}c}\} [/mm] $ sein.

Tausend Dank!

Lieben Gruß,
chesn

Bezug
                        
Bezug
AWP / Picard-Lindelöf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:44 Mi 23.10.2013
Autor: fred97


> Hallo! Vielen Dank erstmal, hat mir sehr geholfen. Habe
> wohl übersehen, dass für die L-stetigkeit ein [mm]\le[/mm]
> genügt.
>  Und das Existenzintervall dürfte dann I=[mm] \IR \setminus \{ \bruch{1}{y_0\cdot{}c}\}[/mm]

Nein. Das ist kein Intervall !

Nächster Versuch .....


FRED

> sein.
>  
> Tausend Dank!
>
> Lieben Gruß,
>  chesn


Bezug
                                
Bezug
AWP / Picard-Lindelöf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:08 Mi 23.10.2013
Autor: chesn

Hey! Also als Intervall dann:

[mm] I=(-\infty, \bruch{1}{y_0*c})\cup(\bruch{1}{y_0*c},+\infty)\cup\{0\} [/mm] ? Oder steh ich grad auf dem Schlauch?

Vielen Dank!

Bezug
                                        
Bezug
AWP / Picard-Lindelöf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:28 Mi 23.10.2013
Autor: fred97


> Hey! Also als Intervall dann:
>  
> [mm]I=(-\infty, \bruch{1}{y_0*c})\cup(\bruch{1}{y_0*c},+\infty)\cup\{0\}[/mm]
> ? Oder steh ich grad auf dem Schlauch?

Ja, obige Menge ist nichts anderes als $ [mm] \IR \setminus \{ \bruch{1}{y_0\cdot{}c}\} [/mm] $


Wir malen, d.h. Du malst:  die Zahlengerade. Dann markierst Du die Null und die Zahl [mm] \bruch{1}{y_0\cdot{}c} [/mm] ( beachte dabei, dass c>0 und [mm] y_0>0 [/mm] ist).

Das gesuchte Intervall hat [mm] \bruch{1}{y_0\cdot{}c} [/mm] als Randpunkt und enhält die o.

Machts Klick ?

FRED

>  
> Vielen Dank!


Bezug
                                                
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AWP / Picard-Lindelöf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:08 Mi 23.10.2013
Autor: chesn

[mm] I=[0,\bruch{1}{y_0*c}) [/mm] ? Sorry für die vielen Verständnisprobleme..

Was passiert dann mit meiner Lösung auf den Intervallen [mm] (-\infty, [/mm] 0) bzw. [mm] (\bruch{1}{y_0*c}, \infty)? [/mm]

Vielen Dank & lieben Gruß,
chesn

Bezug
                                                        
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AWP / Picard-Lindelöf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:15 Mi 23.10.2013
Autor: fred97


> [mm]I=[0,\bruch{1}{y_0*c})[/mm] ?

Wieder daneben !


Was habe ich oben gesagt ? Das: .... "das größte Intervall mit ... "

Und das  wäre

   $I=( - [mm] \infty, \bruch{1}{y_0*c})$ [/mm]




> Sorry für die vielen
> Verständnisprobleme..
>  
> Was passiert dann mit meiner Lösung auf den Intervallen
> [mm](-\infty,[/mm] 0) bzw. [mm](\bruch{1}{y_0*c}, \infty)?[/mm]

Auf beiden Intervallen ist obiges y Lösung der Differentialgleichung, aber keine Lösung des AWPs, denn der Anfangswert 0 liegt in keinem der beiden Intervalle !!!

FRED

>  
> Vielen Dank & lieben Gruß,
>  chesn


Bezug
                                                                
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AWP / Picard-Lindelöf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Mi 23.10.2013
Autor: chesn


> Auf beiden Intervallen ist obiges y Lösung der Differentialgleichung, aber keine Lösung des AWPs, denn der Anfangswert 0 liegt in keinem der beiden Intervalle !!!

Der Satz brachte mir letztendlich doch noch ein ganzes Stück Erleuchtung. Tausend Dank nochmal!

Lieben Gruß!

Bezug
                                                                        
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AWP / Picard-Lindelöf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:34 Mi 23.10.2013
Autor: fred97

Merke:

Ist D eine Teilmenge des [mm] \IR^2, [/mm] ist f:D [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion und sind [mm] x_0,y_0 \in \IR, [/mm] so ist das Paar (y,I) eine Lösung des AWPs

    y'=f(x,y), [mm] y(x_0)=y_0, [/mm] wenn gilt:

1. I ist ein Intervall in [mm] \IR [/mm] mit [mm] x_0 \in [/mm] I


und


2. y:I [mm] \to \IR [/mm] ist eine differenzierbare Funktion mit den Eigenschaften:

    (a) (x,y(x)) [mm] \in [/mm] D für alle x [mm] \in [/mm] I

    (b) y'(x)=f(x,y(x))  für alle x [mm] \in [/mm] I

    (c) [mm] y(x_0)=y_0. [/mm]

FRED



Bezug
                                                                                
Bezug
AWP / Picard-Lindelöf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:41 Mi 23.10.2013
Autor: chesn

Super, Danke!

Leider wurde das in meiner Vorlesung nicht näher erläutert, bzw. als bekannt vorausgesetzt.



Bezug
                                                                                        
Bezug
AWP / Picard-Lindelöf: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:44 Mi 23.10.2013
Autor: fred97


> Super, Danke!
>
> Leider wurde das in meiner Vorlesung nicht näher
> erläutert, bzw. als bekannt vorausgesetzt.

Was ist denn das für eine Vorlesung ? In einer Vorlesung  über DGLen sollte doch der Begriff der "Lösung" sauber formuliert werden !

FRED

>  
>  


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