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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Fr 09.01.2009 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Löse das AWP y' = [mm] \frac{y}{2x}+\frac{x}{2y} [/mm] , y(0.5)=1.5 und gebe das maximale Existenzintervall an.
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Hi!
Also, so wie ich das verstanden habe, ist das nun vom Typ y' = [mm] f(\bruch{y}{x}). [/mm] (Gibts dafür einen Namen?)
Dann substituiert man u(x) = [mm] \bruch{y}{x}
[/mm]
Dann gilt f(u) := y' = [mm] \bruch{1}{2}u+\bruch{1}{2u}
[/mm]
Dann lautet das AWP für u:
[mm] \bruch{du}{dx}=u' [/mm] = [mm] \bruch{f(u)-u}{x}=\bruch{1}{2x}[\bruch{1}{u}-u]
[/mm]
Trennung der Variablen:
[mm] \bruch{du}{\bruch{1}{u}-u}=\bruch{1}{2x} \cdot [/mm] dx
Integrieren und auflösen nach u:
[mm] \Rightarrow [/mm] u = +- [mm] \sqrt{1-e^{-2c} \cdot \bruch{1}{x}}
[/mm]
Wenn man jetzt aber den Startwert einsetzt, bekommt man nen negativen ln.
Habe ich mich verrechnet, oder etwas grundsätzlich falsch gemacht? (das ist mein erstes AWP dieser Art)
Dankeschön!
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Hallo Wimme!
Grundsätzlich sieht das ganz gut aus.
Allerdings scheinst Du mir bei der Integration ...
> Trennung der Variablen:
> [mm]\bruch{du}{\bruch{1}{u}-u}=\bruch{1}{2x} \cdot[/mm] dx
... der linken Seite einen Vorzeichenfehler einzubauen.
Wie lautet Deine Stammfunktion auf der linken Seite?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Fr 09.01.2009 | | Autor: | Wimme |
Hi!
Und danke für deine Antwort:
Also ich intergriere:
linke Seite:
[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{1}{\bruch{1}{s}-s}dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{s}{1-s^2}dx} [/mm] = -0.5 [mm] ln(1-u^2)
[/mm]
rechte Seite:
c+0.5ln(x)
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Hallo Wimme,
> Hi!
>
> Und danke für deine Antwort:
> Also ich intergriere:
>
> linke Seite:
> [mm] $\integral_{}^{}{ \bruch{1}{\bruch{1}{s}-s}dx}= \integral_{}^{}{\bruch{s}{1-s^2}dx}= -0.5ln(\red|1-u^2\red|)$ [/mm]
Bis auf das heillose Durcheinander der Variablen ist das ok
>
> rechte Seite:
> [mm] c+0.5ln(\red|x\red|) [/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Fr 09.01.2009 | | Autor: | Wimme |
ok, danke.
das heißt, bis hierhin stimmt es schon einmal:
- [mm] \frac{1}{2}ln(|1-u^2|) [/mm] = c + [mm] \frac{1}{2}ln(|x|)
[/mm]
?
Das kann ich umformen zu:
[mm] |1-u^2| [/mm] = [mm] e^{-2c} \cdot \frac{1}{|x|}
[/mm]
Muss ich an dieser Stelle nun 4 Fallunterscheidungen wegen der Beträge machen?
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Hallo Wimme!
Setze nunmehr den gegebenen Anfangswert ein. Damit sollten sich einige Betragsstriche bereits von alleine eliminieren.
Gruß vom
Roadrunner
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