AWP lösen über Wronski-Matrix < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Sa 24.01.2009 | | Autor: | faiko |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem y'(t) = A y(t)+F(t) mit
[mm] A=\pmat{ -5 & -4 & 13 \\ 1 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & -2 }, F(t)=\pmat{(7-16t)e^{-2t} \\ (-2+8t)e^{-2t} \\ e^{-2t}} [/mm] und [mm] y(0)=\pmat{1\\1\\1} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich sitze an dieser Aufgabe nun schon mehr als ein paar Stunden und ich komme einfach nicht weiter.
In der Großübung haben wir solche Arten von DGLs nach folgendem Muster gelöst:
1. Eigenwerte bestimmen
2. Eigenvektoren bestimmen
3. ggfs. Hauptvektor
4. Wronski-Matrix
5. Lösen der homogenen DGL mit Anfangswert
6. Spezielle Lösung mit Hilfe Variation der konstanten
Ich habe Eigenwerte bestimmt und komme auf folgende Lösungen:
[mm] \lambda_{1}=-2
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=2+\wurzel{13}
[/mm]
[mm] \lambda_{3}=2-\wurzel{13}
[/mm]
Bei der Bestimmung der EV hatte ich leichte Probleme bin aber dann doch auf folgende Lösunen gekommen:
[mm] v_{1}=\pmat{-11\\16\\1}
[/mm]
[mm] v_{2}=\pmat{3+\wurzel{13}\\1\\0}
[/mm]
[mm] v_{3}=\pmat{-4\\3+\wurzel{13}\\0}
[/mm]
die daraus resultierende Wronski-Matrix lautet doch:
[mm] W(t)=(v_{1}e^{\lambda_1 t},v_{2}e^{\lambda_2 t},v_{3}e^{\lambda3 t})
[/mm]
Mit dem Anfangswert und der Wronski-Matrix komme ich dann auf folgende Gleichung:
[mm] \pmat{ -11 & 3+\wurzel{13} & -4 \\ 16 & 1 & 3+\wurzel{13} \\ 1 & 0 & 0 } [/mm] c = [mm] \pmat{1\\1\\1}
[/mm]
und wenn ich das versuche auszurechnen kommen da ellenlange Vektorelemente raus.
Ich hoffe mir kann irgendwer weiterhelfen und zeigen wo ich einen Fehler gemacht habe. Bei Nachfragen zu bestimmten Rechenvorgängen erläutere ich diese auch genauer.
Freu mich auf Feedback,
gruß
faiko
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo faiko,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Lösen Sie das Anfangswertproblem y'(t) = A y(t)+F(t) mit
> [mm]A=\pmat{ -5 & 4 & 13 \\ 1 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & -2 }, F(t)=\pmat{(7-16t)e^{-2t} \\ (-2+8t)e^{-2t} \\ e^{-2t}}[/mm]
> und [mm]y(0)=\pmat{1\\1\\1}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich sitze an dieser Aufgabe nun schon mehr als ein paar
> Stunden und ich komme einfach nicht weiter.
> In der Großübung haben wir solche Arten von DGLs nach
> folgendem Muster gelöst:
> 1. Eigenwerte bestimmen
> 2. Eigenvektoren bestimmen
> 3. ggfs. Hauptvektor
> 4. Wronski-Matrix
> 5. Lösen der homogenen DGL mit Anfangswert
> 6. Spezielle Lösung mit Hilfe Variation der konstanten
>
> Ich habe Eigenwerte bestimmt und komme auf folgende
> Lösungen:
> [mm]\lambda_{1}=-2[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=2+\wurzel{13}[/mm]
> [mm]\lambda_{3}=2-\wurzel{13}[/mm]
Hier hast Du entweder die Eigenwerte der Matrix
[mm]A=\pmat{ \red{+}5 & 4 & 13 \\ 1 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & -2 }[/mm]
oder der Matrix
[mm]A=\pmat{ \red{+}5 & \red{-}4 & 13 \\ \red{-}1 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & -2 }[/mm]
bestimmt.
>
> Bei der Bestimmung der EV hatte ich leichte Probleme bin
> aber dann doch auf folgende Lösunen gekommen:
> [mm]v_{1}=\pmat{-11\\16\\1}[/mm]
> [mm]v_{2}=\pmat{3+\wurzel{13}\\1\\0}[/mm]
> [mm]v_{3}=\pmat{-4\\3+\wurzel{13}\\0}[/mm]
>
> die daraus resultierende Wronski-Matrix lautet doch:
>
> [mm]W(t)=(v_{1}e^{\lambda_1 t},v_{2}e^{\lambda_2 t},v_{3}e^{\lambda3 t})[/mm]
>
> Mit dem Anfangswert und der Wronski-Matrix komme ich dann
> auf folgende Gleichung:
>
> [mm]\pmat{ -11 & 3+\wurzel{13} & -4 \\ 16 & 1 & 3+\wurzel{13} \\ 1 & 0 & 0 }[/mm]
> c = [mm]\pmat{1\\1\\1}[/mm]
>
> und wenn ich das versuche auszurechnen kommen da ellenlange
> Vektorelemente raus.
>
> Ich hoffe mir kann irgendwer weiterhelfen und zeigen wo ich
> einen Fehler gemacht habe. Bei Nachfragen zu bestimmten
> Rechenvorgängen erläutere ich diese auch genauer.
>
> Freu mich auf Feedback,
> gruß
> faiko
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Sa 24.01.2009 | | Autor: | faiko |
oh man... erstmal danke für das "Herzliche Willkommen" und für deine schnelle Hilfe...
peinlich, peinlich. Ich hatte mir beim Abschreiben auf dem Blatt wirklich zwei Fehler erlaubt. Naja, nun hoffe ich wenigstens, dass ich in den Stunden trotzdem vieles richtig verstanden habe.
Wenn ich jetzt mit der richtigen Matrix rechne komme ich auf
[mm] \lambda_1=-2 [/mm] (hat sich nichts geändert)
und
[mm] \lambda_2=\lambda_3=-3 [/mm] (mit algebraischen Vielfachheit 2)
ein zugehörige EV [mm] v_2 [/mm] zu [mm] \lambda_{2,3} [/mm] lautet doch nun
[mm] v_2=\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
da für [mm] \lambda_2=\lambda_3=-3 [/mm] die algebraische Vielfachheit 2 ist und die geometrischer allerdings 1 brauche ich doch jetzt einen zweiten EV der folgende Bedingung erfüllt:
[mm] (A+3I)v_3 [/mm] = [mm] v_2 [/mm] mit I = Einheitsmatrix
komme ich auf
[mm] v_3=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
soweit ist es doch richtig, oder? Der Eigenvektor zu [mm] \lambda_1 [/mm] hat sich ja nicht geändert und ich kann also mit
[mm] v_1=\vektor{-11\\16\\1}, v_2=\vektor{-2 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] v_3=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
weiterrechnen?
Frage nur vorsichtshalber nochmal nach. Nicht, dass ich jetzt wieder was übersehen habe...
vielen Dank nochmal für die schnelle Antwort und entschuldigt meinen "Abschreibe-Fehler".
Gruß, faiko
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Hallo faiko,
> oh man... erstmal danke für das "Herzliche Willkommen" und
> für deine schnelle Hilfe...
>
> peinlich, peinlich. Ich hatte mir beim Abschreiben auf dem
> Blatt wirklich zwei Fehler erlaubt. Naja, nun hoffe ich
> wenigstens, dass ich in den Stunden trotzdem vieles richtig
> verstanden habe.
>
> Wenn ich jetzt mit der richtigen Matrix rechne komme ich
> auf
> [mm]\lambda_1=-2[/mm] (hat sich nichts geändert)
> und
> [mm]\lambda_2=\lambda_3=-3[/mm] (mit algebraischen Vielfachheit 2)
Demnach muß die richtige Matrix entweder
[mm] A=\pmat{ -5 & \red{-}4 & 13 \\ 1 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & -2 } [/mm]
oder
[mm] A=\pmat{ -5 & 4 & 13 \\ \red{-}1 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & -2 } [/mm]
lauten.
Wie lautet denn die richtige Matrix?
>
> ein zugehörige EV [mm]v_2[/mm] zu [mm]\lambda_{2,3}[/mm] lautet doch nun
> [mm]v_2=\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> da für [mm]\lambda_2=\lambda_3=-3[/mm] die algebraische Vielfachheit
> 2 ist und die geometrischer allerdings 1 brauche ich doch
> jetzt einen zweiten EV der folgende Bedingung erfüllt:
>
> [mm](A+3I)v_3[/mm] = [mm]v_2[/mm] mit I = Einheitsmatrix
>
> komme ich auf
> [mm]v_3=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> soweit ist es doch richtig, oder? Der Eigenvektor zu
> [mm]\lambda_1[/mm] hat sich ja nicht geändert und ich kann also mit
>
> [mm]v_1=\vektor{-11\\16\\1}, v_2=\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}[/mm] und
> [mm]v_3=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> weiterrechnen?
Ohne Kenntnis der richtigen Matrix kann ich nichts sagen.
>
> Frage nur vorsichtshalber nochmal nach. Nicht, dass ich
> jetzt wieder was übersehen habe...
>
> vielen Dank nochmal für die schnelle Antwort und
> entschuldigt meinen "Abschreibe-Fehler".
>
> Gruß, faiko
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 So 25.01.2009 | | Autor: | faiko |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem y'(t) = A y(t)+F(t) mit
[mm] A=\pmat{ -5 & -4 & 13 \\ 1 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & -2 }, F(t)=\pmat{(7-16t)e^{-2t} \\ (-2+8t)e^{-2t} \\ e^{-2t}} [/mm] und [mm] y(0)=\pmat{1\\1\\1} [/mm] |
entschuldige, bin schon etwas durcheinander, weil ich seit heute Mittag an dieser und anderen Aufgaben für Numerik sitze.
die Matrix lautet richtig:
[mm] A=\pmat{ -5 & -4 & 13 \\ 1 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & -2 }
[/mm]
> > Wenn ich jetzt mit der richtigen Matrix rechne komme ich
> > auf
> > [mm]\lambda_1=-2[/mm] (hat sich nichts geändert)
> > und
> > [mm]\lambda_2=\lambda_3=-3[/mm] (mit algebraischen Vielfachheit
> 2)
> > ein zugehörige EV [mm]v_2[/mm] zu [mm]\lambda_{2,3}[/mm] lautet doch nun
> > [mm]v_2=\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> >
> > da für [mm]\lambda_2=\lambda_3=-3[/mm] die algebraische Vielfachheit
> > 2 ist und die geometrischer allerdings 1 brauche ich doch
> > jetzt einen zweiten EV der folgende Bedingung erfüllt:
> >
> > [mm](A+3I)v_3[/mm] = [mm]v_2[/mm] mit I = Einheitsmatrix
> >
> > komme ich auf
> > [mm]v_3=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> >
> > soweit ist es doch richtig, oder? Der Eigenvektor zu
> > [mm]\lambda_1[/mm] hat sich ja nicht geändert und ich kann also mit
> >
> > [mm]v_1=\vektor{-11\\16\\1}, v_2=\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}[/mm] und
> > [mm]v_3=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> >
> > weiterrechnen?
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Hallo faiko,
> Lösen Sie das Anfangswertproblem y'(t) = A y(t)+F(t) mit
> [mm]A=\pmat{ -5 & -4 & 13 \\ 1 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & -2 }, F(t)=\pmat{(7-16t)e^{-2t} \\ (-2+8t)e^{-2t} \\ e^{-2t}}[/mm]
> und [mm]y(0)=\pmat{1\\1\\1}[/mm]
> entschuldige, bin schon etwas durcheinander, weil ich seit
> heute Mittag an dieser und anderen Aufgaben für Numerik
> sitze.
>
> die Matrix lautet richtig:
> [mm]A=\pmat{ -5 & -4 & 13 \\ 1 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & -2 }[/mm]
>
>
> > > Wenn ich jetzt mit der richtigen Matrix rechne komme ich
> > > auf
> > > [mm]\lambda_1=-2[/mm] (hat sich nichts geändert)
> > > und
> > > [mm]\lambda_2=\lambda_3=-3[/mm] (mit algebraischen
> Vielfachheit
> > 2)
> > > ein zugehörige EV [mm]v_2[/mm] zu [mm]\lambda_{2,3}[/mm] lautet doch
> nun
> > > [mm]v_2=\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> > >
> > > da für [mm]\lambda_2=\lambda_3=-3[/mm] die algebraische Vielfachheit
> > > 2 ist und die geometrischer allerdings 1 brauche ich doch
> > > jetzt einen zweiten EV der folgende Bedingung erfüllt:
> > >
> > > [mm](A+3I)v_3[/mm] = [mm]v_2[/mm] mit I = Einheitsmatrix
> > >
> > > komme ich auf
> > > [mm]v_3=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> > >
> > > soweit ist es doch richtig, oder? Der Eigenvektor zu
> > > [mm]\lambda_1[/mm] hat sich ja nicht geändert und ich kann also mit
> > >
> > > [mm]v_1=\vektor{-11\\16\\1}, v_2=\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}[/mm] und
> > > [mm]v_3=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> > >
> > > weiterrechnen?
>
>
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Den Eigenvektor zum Eigenwert [mm]\lambda=-2[/mm] mußt Du nochmal nachrechnen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:23 So 25.01.2009 | | Autor: | faiko |
| Aufgabe 1 | | Aufgabe 2 | Lösen Sie das Anfangswertproblem y'(t) = A y(t)+F(t) mit
[mm] A=\pmat{ -5 & -4 & 13 \\ 1 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & -2 }, F(t)=\pmat{(7-16t)e^{-2t} \\ (-2+8t)e^{-2t} \\ e^{-2t}} [/mm] und [mm] y(0)=\pmat{1\\1\\1} [/mm] |
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So jetzt aber. Also noch einmal von Anfang an.
[mm] A=\pmat{ -5 & -4 & 13 \\ 1 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & -2 }, [/mm]
Eigenwerte:
[mm] \lambda_1=-2
[/mm]
[mm] \lambda_{2,3}=-3
[/mm]
Eigenvektoren:
[mm] v_1=\vektor{7\\-2\\1}
[/mm]
[mm] v_2=\vektor{-2\\1\\0}
[/mm]
[mm] v_3=\vektor{-1\\1\\0}
[/mm]
Wronski-Matrix:
[mm] W(t)=(v_{1}e^{\lambda_1 t},v_{2}e^{\lambda_2 t},(v_{3}+v_2t)e^{\lambda3 t})
[/mm]
[mm] W(t)=\pmat{ 7e^{-2t} & -2e^{-3t} & (-1-2t)e^{-3t} \\ -2e^{-2t} & e^{-3t} & (1+t)e^{-3t} \\ e^{-2t} & 0 & 0 } [/mm]
Lösen des AWPs:
[mm] W(0)=\pmat{ 7 & -2 & -1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 } c=\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
[mm] c=\vektor{1\\3\\0}
[/mm]
Homogene Lösung:
W(t) * c = [mm] \vektor{7e^{-2t}-6e^{-3t}\\-2e^{-2t}+3e^{-3t}\\e^{-2t}}
[/mm]
Soviel erstmal zu der Aufgabe. Ich hau mich jetzt ins Bett. Bei mir tanzen die Buchstaben schon auf dem Schirm. Ich danke Dir für deine Geduld und bitte noch einmal vielmals um Entschuldigung, aber irgendwie hat sich heute extrem der Fehlerwurm eingeschlichen.
Jetzt müsste soweit eigentlich alles stimmen. Morgen löse ich dann den Rest der Aufgabe.
Lieben Gruß und nocheinmal 1000 Dank für alles
gruß, faiko
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Hallo faiko,
> Lösen Sie das Anfangswertproblem y'(t) = A y(t)+F(t) mit
> [mm]A=\pmat{ -5 & -4 & 13 \\ 1 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & -2 }, F(t)=\pmat{(7-16t)e^{-2t} \\ (-2+8t)e^{-2t} \\ e^{-2t}}[/mm]
> und [mm]y(0)=\pmat{1\\1\\1}[/mm]
> So jetzt aber. Also noch einmal von Anfang an.
>
> [mm]A=\pmat{ -5 & -4 & 13 \\ 1 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & -2 },[/mm]
>
> Eigenwerte:
> [mm]\lambda_1=-2[/mm]
> [mm]\lambda_{2,3}=-3[/mm]
>
> Eigenvektoren:
> [mm]v_1=\vektor{7\\-2\\1}[/mm]
Hier bekomme ich
[mm]v_1=\vektor{-33\\28\\1}[/mm]
> [mm]v_2=\vektor{-2\\1\\0}[/mm]
> [mm]v_3=\vektor{-1\\1\\0}[/mm]
>
> Wronski-Matrix:
> [mm]W(t)=(v_{1}e^{\lambda_1 t},v_{2}e^{\lambda_2 t},(v_{3}+v_2t)e^{\lambda3 t})[/mm]
>
> [mm]W(t)=\pmat{ 7e^{-2t} & -2e^{-3t} & (-1-2t)e^{-3t} \\ -2e^{-2t} & e^{-3t} & (1+t)e^{-3t} \\ e^{-2t} & 0 & 0 }[/mm]
>
> Lösen des AWPs:
> [mm]W(0)=\pmat{ 7 & -2 & -1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 } c=\vektor{1\\1\\1}[/mm]
>
> [mm]c=\vektor{1\\3\\0}[/mm]
>
> Homogene Lösung:
> W(t) * c =
> [mm]\vektor{7e^{-2t}-6e^{-3t}\\-2e^{-2t}+3e^{-3t}\\e^{-2t}}[/mm]
>
>
> Soviel erstmal zu der Aufgabe. Ich hau mich jetzt ins Bett.
> Bei mir tanzen die Buchstaben schon auf dem Schirm. Ich
> danke Dir für deine Geduld und bitte noch einmal vielmals
> um Entschuldigung, aber irgendwie hat sich heute extrem der
> Fehlerwurm eingeschlichen.
> Jetzt müsste soweit eigentlich alles stimmen. Morgen löse
> ich dann den Rest der Aufgabe.
> Lieben Gruß und nocheinmal 1000 Dank für alles
>
> gruß, faiko
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 So 25.01.2009 | | Autor: | faiko |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem y'(t) = A y(t)+F(t) mit
[mm] A=\pmat{ -5 & -4 & 13 \\ 1 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & -2 }, F(t)=\pmat{(7-16t)e^{-2t} \\ (-2+8t)e^{-2t} \\ e^{-2t}} [/mm] und [mm] y(0)=\pmat{1\\1\\1} [/mm] |
> Hallo faiko,
>
> Hier bekomme ich
>
> [mm] v_1=\vektor{-33\\28\\1}
[/mm]
>
> Gruß
> MathePower
Guten Morgen,
so nach der ganzen Verwirrung der richtigen Matrix gestern Nacht steht ja mittlerweile die richtige in der Aufgabenstellung. Ich glaube bei dir fehlt noch ein Minuszeichen in der 2 Zeile in der 3. Spalte bei der 5. Da steht -5. Dein Vektor würde zumindest für diese Zeile mit +5 Sinn machen. Für die erste allerdings nicht.
So ich hab jetzt mal weiter gemacht:
[mm] A=\pmat{ -5 & -4 & 13 \\ 1 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & -2 }, [/mm]
Eigenwerte:
[mm] \lambda_1=-2
[/mm]
[mm] \lambda_{2,3}=-3
[/mm]
Eigenvektoren:
[mm] v_1=\vektor{7\\-2\\1}
[/mm]
[mm] v_2=\vektor{-2\\1\\0}
[/mm]
[mm] v_3=\vektor{-1\\1\\0}
[/mm]
Wronski-Matrix:
[mm] W(t)=(v_{1}e^{\lambda_1 t},v_{2}e^{\lambda_2 t},(v_{3}+v_2t)e^{\lambda3 t})
[/mm]
[mm] W(t)=\pmat{ 7e^{-2t} & -2e^{-3t} & (-1-2t)e^{-3t} \\ -2e^{-2t} & e^{-3t} & (1+t)e^{-3t} \\ e^{-2t} & 0 & 0 } [/mm]
Lösen des AWPs:
[mm] W(0)=\pmat{ 7 & -2 & -1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 } c=\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
[mm] c=\vektor{1\\3\\0}
[/mm]
Homogene Lösung:
W(t) * c = [mm] \vektor{7e^{-2t}-6e^{-3t}\\-2e^{-2t}+3e^{-3t}\\e^{-2t}}
[/mm]
Spezielle Lösung nach Variation der Konstanten:
W(t)* [mm] c_\sim'(t)=F(t)
[/mm]
[mm] \pmat{ 7e^{-2t} & -2e^{-3t} & (-1-2t)e^{-3t} \\ -2e^{-2t} & e^{-3t} & (1+t)e^{-3t} \\ e^{-2t} & 0 & 0 } c_\sim'(t)=\vektor{(7-16)e^{-2t}\\(2+8t)e^{-2t}\\e^{-2t}}
[/mm]
[mm] c_\sim'(t)=\vektor{1\\?\\?}
[/mm]
Meine Frage nun: Wie löse ich ein solches Gleichungssystem geschickt. klar ist das die x-Komponente 1 sein muss, aber wenn ich dann die y und z Komponente ausrechnen will, krieg ich da wieder ellenlange Gleichungen raus.
Wie ich dann weitermachen muss ist mir klar, nur kriege ich für c' keine vernünftige Lösung heraus.
EDIT:
so habe meine Gleichungen mal nem Kollegen gegeben, der diese mit Maple ausgerechnet hat. Dementsprechend wären die Lösungen:
[mm] \pmat{ 7e^{-2t} & -2e^{-3t} & (-1-2t)e^{-3t} \\ -2e^{-2t} & e^{-3t} & (1+t)e^{-3t} \\ e^{-2t} & 0 & 0 } c_\sim'(t)=\vektor{(7-16)e^{-2t}\\(2+8t)e^{-2t}\\e^{-2t}}
[/mm]
[mm] c_\sim'(t)=\vektor{1\\-4(-3+4t²)e^t\\-(8-16t)e^t}
[/mm]
Integration liefert:
[mm] \integral_{0}^{t}{c_\sim'(t) dt}=\vektor{t\\-20 -20e^t+32te^t-16t^2e^t\\24-24e^t+16te^t}
[/mm]
Allgemeine Lösung:
y(t)= W(t) * [mm] (c+c_\sim(t))
[/mm]
[mm] =\vektor{71e^{-2t}-25te^{-2t}-64e^{-3t}-48te^{-3t}\\-46e^{-2t}+22te^{-2t}+44e^{-3t}+24te^{-3t}\\e^{-2t}(1+t)}
[/mm]
Mein Gefühl sagt mir irgendwie, dass das alles viel zu kompliziert ist und irgendwo noch ein kleiner Rechenfehler drin hängt. Wer kann mir helfen?
gruß faiko
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 So 25.01.2009 | | Autor: | crashby |
Hey,
gerade für sache wie Eigenwerte und Eigenvektoren bietet sich immer eine Probe an :) entwerder per CAS oder von Hand
hier mal ein Link:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert.htm
da gibt es auch genügend andere sachen wo man sich selbst kontrollieren kann.
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 So 25.01.2009 | | Autor: | faiko |
danke für den Link. Hab ihn direkt mal in meine Bookmarks aufgenommen.
Nun ja, laut der Seite sind meine EW und EV richtig.
Leider gibt es mir ja nur v2 = v3 aus, aber mein v3 müsste nach Konstruktionsprinzip richtig sein.
Danke für den Link!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 So 25.01.2009 | | Autor: | Tazz |
> Lösen Sie das Anfangswertproblem y'(t) = A y(t)+F(t) mit
> [mm]A=\pmat{ -5 & -4 & 13 \\ 1 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & -2 }, F(t)=\pmat{(7-16t)e^{-2t} \\ (-2+8t)e^{-2t} \\ e^{-2t}}[/mm]
> und [mm]y(0)=\pmat{1\\1\\1}[/mm]
> Spezielle Lösung nach Variation der Konstanten:
> W(t)* [mm]c_\sim'(t)=F(t)[/mm]
>
[mm] \pmat{ 7e^{-2t} & -2e^{-3t} & (-1-2t)e^{-3t} \\ -2e^{-2t} & e^{-3t} & (1+t)e^{-3t} \\ e^{-2t} & 0 & 0 } c_\sim'(t)=\vektor{(7-16)e^{-2t} \\ ( \red{-} 2+8t)e^{-2t}\\e^{-2t}}
[/mm]
Du hast ein Vorzeichen vergessen. Kontrolliere [mm]F(t)[/mm] noch einmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 So 25.01.2009 | | Autor: | faiko |
> > Lösen Sie das Anfangswertproblem y'(t) = A y(t)+F(t) mit
> > [mm]A=\pmat{ -5 & -4 & 13 \\ 1 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & -2 }, F(t)=\pmat{(7-16t)e^{-2t} \\ (-2+8t)e^{-2t} \\ e^{-2t}}[/mm]
> > und [mm]y(0)=\pmat{1\\1\\1}[/mm]
>
> > Spezielle Lösung nach Variation der Konstanten:
> > W(t)* [mm]c_\sim'(t)=F(t)[/mm]
> >
> [mm]\pmat{ 7e^{-2t} & -2e^{-3t} & (-1-2t)e^{-3t} \\ -2e^{-2t} & e^{-3t} & (1+t)e^{-3t} \\ e^{-2t} & 0 & 0 } c_\sim'(t)=\vektor{(7-16)e^{-2t} \\ ( \red{-} 2+8t)e^{-2t}\\e^{-2t}}[/mm]
>
> Du hast ein Vorzeichen vergessen. Kontrolliere [mm]F(t)[/mm] noch
> einmal.
Ja, da hast du wohl recht. Vielen Dank Tazz!
Und oh Wunder nun kommen vernünftige Werte raus (zumindest für [mm] c_\sim'(t))!
[/mm]
[mm] \pmat{ 7e^{-2t} & -2e^{-3t} & (-1-2t)e^{-3t} \\ -2e^{-2t} & e^{-3t} & (1+t)e^{-3t} \\ e^{-2t} & 0 & 0 } c_\sim'(t)=\vektor{(7-16)e^{-2t} \\ (-2+8t)e^{-2t}\\e^{-2t}}
[/mm]
[mm] c_\sim'(t)=\vektor{1\\8te^t\\0}
[/mm]
Integration liefert:
[mm] c_\sim=\integral_{0}^{t}{c_\sim'(u) du}=\vektor{t\\8 + 8te^t-8e^t\\0}
[/mm]
Lösung des AWPs:
y(t)=W(t) * (c + [mm] c_\sim)
[/mm]
mit [mm] c=\vektor{1\\3\\0} [/mm] und [mm] c_\sim=\vektor{t\\8 + 8te^t-8e^t\\0} [/mm] folgt:
[mm] y(t)=\pmat{ 7e^{-2t} & -2e^{-3t} & (-1-2t)e^{-3t} \\ -2e^{-2t} & e^{-3t} & (1+t)e^{-3t} \\ e^{-2t} & 0 & 0 } \vektor{1+t\\11 + 8te^t-8e^t\\0}=\vektor{23e^{-2t}-9te^{-2t}-22e^{-3t}\\-10e^{-2t}+6te^{-2t}+11e^{-3t}\\e^{-2t}(1+t)}
[/mm]
Sieht zwar immer noch übel aus und ohne Maple wär ich da wahrscheinlich so schnell nicht drauf gekommen, aber immerhin müsste doch jetzt alles korrekt sein, oder?
Vielen Dank nochmal an alle Beteiligten!
gruß, faiko
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Hallo faiko,
> > > Lösen Sie das Anfangswertproblem y'(t) = A y(t)+F(t) mit
> > > [mm]A=\pmat{ -5 & -4 & 13 \\ 1 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & -2 }, F(t)=\pmat{(7-16t)e^{-2t} \\ (-2+8t)e^{-2t} \\ e^{-2t}}[/mm]
> > > und [mm]y(0)=\pmat{1\\1\\1}[/mm]
> >
> > > Spezielle Lösung nach Variation der Konstanten:
> > > W(t)* [mm]c_\sim'(t)=F(t)[/mm]
> > >
> > [mm]\pmat{ 7e^{-2t} & -2e^{-3t} & (-1-2t)e^{-3t} \\ -2e^{-2t} & e^{-3t} & (1+t)e^{-3t} \\ e^{-2t} & 0 & 0 } c_\sim'(t)=\vektor{(7-16)e^{-2t} \\ ( \red{-} 2+8t)e^{-2t}\\e^{-2t}}[/mm]
>
> >
> > Du hast ein Vorzeichen vergessen. Kontrolliere [mm]F(t)[/mm] noch
> > einmal.
>
> Ja, da hast du wohl recht. Vielen Dank Tazz!
> Und oh Wunder nun kommen vernünftige Werte raus (zumindest
> für [mm]c_\sim'(t))![/mm]
>
> [mm]\pmat{ 7e^{-2t} & -2e^{-3t} & (-1-2t)e^{-3t} \\ -2e^{-2t} & e^{-3t} & (1+t)e^{-3t} \\ e^{-2t} & 0 & 0 } c_\sim'(t)=\vektor{(7-16)e^{-2t} \\ (-2+8t)e^{-2t}\\e^{-2t}}[/mm]
>
> [mm]c_\sim'(t)=\vektor{1\\8te^t\\0}[/mm]
>
> Integration liefert:
>
> [mm]c_\sim=\integral_{0}^{t}{c_\sim'(u) du}=\vektor{t\\8 + 8te^t-8e^t\\0}[/mm]
>
> Lösung des AWPs:
> y(t)=W(t) * (c + [mm]c_\sim)[/mm]
>
> mit [mm]c=\vektor{1\\3\\0}[/mm] und [mm]c_\sim=\vektor{t\\8 + 8te^t-8e^t\\0}[/mm]
> folgt:
>
> [mm]y(t)=\pmat{ 7e^{-2t} & -2e^{-3t} & (-1-2t)e^{-3t} \\ -2e^{-2t} & e^{-3t} & (1+t)e^{-3t} \\ e^{-2t} & 0 & 0 } \vektor{1+t\\11 + 8te^t-8e^t\\0}=\vektor{23e^{-2t}-9te^{-2t}-22e^{-3t}\\-10e^{-2t}+6te^{-2t}+11e^{-3t}\\e^{-2t}(1+t)}[/mm]
>
> Sieht zwar immer noch übel aus und ohne Maple wär ich da
> wahrscheinlich so schnell nicht drauf gekommen, aber
> immerhin müsste doch jetzt alles korrekt sein, oder?
Die Lösung stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Vielen Dank nochmal an alle Beteiligten!
>
> gruß, faiko
Gruß
MathePower
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