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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - AWP mit Laplace-Trafo lösen
AWP mit Laplace-Trafo lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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AWP mit Laplace-Trafo lösen: inverse Laplace-Trafo
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 Mi 07.01.2009
Autor: crashby

Aufgabe
Lösen Sie das AWP,

$ [mm] y''+9y=\cos(2t),y(0)=1,y'(0)=\frac{12}{5} [/mm] $

mittels Laplacetransformation.

Hey Leute,

habe so angefangen:

=> (L anwenden) $ [mm] L[y''+9y]=L[\cos(2t) [/mm] $

=>(L linear) $ [mm] L[y'']+9L[y]=\frac{s}{s^2+4} [/mm] $ mittels Tabelle

nach anwenden des Ableitungssatzes und der Substitution z=L[y] komme ich auf:

$ [mm] z=\frac{12s^2+5s+48}{5(s^2+4)(s^2+9)} [/mm] $

stimmt das bis hier?

jetzt Partialbruchzerlegung ?

lg crash

        
Bezug
AWP mit Laplace-Trafo lösen: oder anders ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 Mi 07.01.2009
Autor: crashby

Hey,

oder kann ich das so weiter vereinfachen:

[mm] $z=\frac{12s^2+5s+48}{5(s^2+4)(s^2+9)}=\frac{12s^2}{5(s^2+4)(s^2+9)}+\frac{5s}{5(s^2+4)(s^2+9)}+\frac{48}{5(s^2+4)(s^2+9)} [/mm] $

[mm] $=\frac{12}{5}\cdot \frac{s^2}{(s^2+4)(s^2+9)}+\frac{s}{(s^2+4)(s^2+9)}+\frac{48}{5}\cdot \frac{1}{(s^2+4)(s^2+9)} [/mm] $

[mm] $=\frac{12}{5}\cdot \frac{s^2}{s^2+4}\cdot \frac{1}{s^2+9}+\frac{s}{s^2+4}\cdot \frac{1}{s^2+9}+\frac{48}{5}\cdot \frac{1}{s^2+4}\cdot \frac{1}{s^2+9} [/mm] $

Nun würde ich eine Tabelle nehmen und die Laplacetransformierten hinschreiben. Kann man das auch so machen ? :)

Danke lg crash

Bezug
                
Bezug
AWP mit Laplace-Trafo lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:33 Mi 07.01.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> Hey,
>  
> oder kann ich das so weiter vereinfachen:
>  
> [mm]z=\frac{12s^2+5s+48}{5(s^2+4)(s^2+9)}=\frac{12s^2}{5(s^2+4)(s^2+9)}+\frac{5s}{5(s^2+4)(s^2+9)}+\frac{48}{5(s^2+4)(s^2+9)}[/mm]
>
> [mm]=\frac{12}{5}\cdot \frac{s^2}{(s^2+4)(s^2+9)}+\frac{s}{(s^2+4)(s^2+9)}+\frac{48}{5}\cdot \frac{1}{(s^2+4)(s^2+9)}[/mm]
>  
> [mm]=\frac{12}{5}\cdot \frac{s^2}{s^2+4}\cdot \frac{1}{s^2+9}+\frac{s}{s^2+4}\cdot \frac{1}{s^2+9}+\frac{48}{5}\cdot \frac{1}{s^2+4}\cdot \frac{1}{s^2+9}[/mm]
>  
> Nun würde ich eine Tabelle nehmen und die
> Laplacetransformierten hinschreiben. Kann man das auch so
> machen ? :)

Klar, wenn du in deiner Tabelle die Laplacetransformationen findest. Partialbruchzerlegung ist viel einfacher.

Viele Grüße
   Rainer


Bezug
        
Bezug
AWP mit Laplace-Trafo lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Mi 07.01.2009
Autor: MathePower

Hallo crashby,

> Lösen Sie das AWP,
>  
> [mm]y''+9y=\cos(2t),y'(0)=1,y'(0)=\frac{12}{5}[/mm]


Das muss doch bestimmt so heißen:

[mm]y''+9y=\cos(2t),y(0)=1,y'(0)=\frac{12}{5}[/mm]

Oder so:

[mm]y''+9y=\cos(2t),y'(0)=1,y(0)=\frac{12}{5}[/mm]


>  
> mittels Laplacetransformation.
>  Hey Leute,
>  
> habe so angefangen:
>  
> => (L anwenden) [mm]L[y''+9y]=L[\cos(2t)[/mm]
>  
> =>(L linear) [mm]L[y'']+9L[y]=\frac{s}{s^2+4}[/mm] mittels Tabelle
>  
> nach anwenden des Ableitungssatzes und der Substitution
> z=L[y] komme ich auf:
>  
> [mm]z=\frac{12s^2+5s+48}{5(s^2+4)(s^2+9)}[/mm]
>  
> stimmt das bis hier?
>  
> jetzt Partialbruchzerlegung ?
>  
> lg crash


Gruß
MathePower

Bezug
        
Bezug
AWP mit Laplace-Trafo lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:37 Mi 07.01.2009
Autor: rainerS

Hallo!

> Lösen Sie das AWP,
>  
> [mm]y''+9y=\cos(2t),y'(0)=1,y'(0)=\frac{12}{5}[/mm]
>  
> mittels Laplacetransformation.
>  Hey Leute,
>  
> habe so angefangen:
>  
> => (L anwenden) [mm]L[y''+9y]=L[\cos(2t)[/mm]
>  
> =>(L linear) [mm]L[y'']+9L[y]=\frac{s}{s^2+4}[/mm] mittels Tabelle
>  
> nach anwenden des Ableitungssatzes und der Substitution
> z=L[y] komme ich auf:
>  
> [mm]z=\frac{12s^2+5s+48}{5(s^2+4)(s^2+9)}[/mm]
>  
> stimmt das bis hier?

Nein, der Zähler stimmt nicht (in beiden Interpretationen der Anfagnsbedingungen).

>  
> jetzt Partialbruchzerlegung ?

Ja.

Zur Kontrolle: Mit der klassischen Lösungsmethode des Anstarrens sieht man, dass die DGL die homogene Lösung [mm] $A\sin(3t)+B\cos(3t)$ [/mm] hat und die inhomogene proportional zu [mm] $\cos(2t)$ [/mm] ist ;-)

Viele Grüße
   Rainer


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Bezug
AWP mit Laplace-Trafo lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:42 Mi 07.01.2009
Autor: crashby

Hallo,

> Zur Kontrolle: Mit der klassischen Lösungsmethode des
> Anstarrens sieht man, dass die DGL die homogene Lösung
> [mm]A\sin(3t)+B\cos(3t)[/mm] hat und die inhomogene proportional zu
> [mm]\cos(2t)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

ist ;-)

>  
> Viele Grüße
>     Rainer

ne leider net da ich das lösen soll einmal auf direktem Weg mit Laplace-Trafo und indem ich zunäcsht das AWP in ein System 1.ord umwandle und dann auch wieder LT anwende ;)

Danke für die Hilfe aber bei PBZ scheiter ich irgendwie ,weil ich glaube ich den falschen Ansatz mache.

$z=\frac{12s^2+5s+48}{5(s^2+4)(s^2+9)}=\frac{1}{5}\cdot \frac{12s^2+5s+48}{(s^2+4)(s^2+9) $

Nun PBZ $\frac{As+B}{s^2+4}+\frac{D}{s-3i}+\frac{E}{s+3i} $

ist das so ok ?

schön abend noch




Bezug
                        
Bezug
AWP mit Laplace-Trafo lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:54 Mi 07.01.2009
Autor: MathePower

Hallo crashby,

> Hallo,
>  
> > Zur Kontrolle: Mit der klassischen Lösungsmethode des
> > Anstarrens sieht man, dass die DGL die homogene Lösung
> > [mm]A\sin(3t)+B\cos(3t)[/mm] hat und die inhomogene proportional zu
> > [mm]\cos(2t)[/mm] ist ;-)
>  >  
> > Viele Grüße
>  >     Rainer
>  
> ne leider net da ich das lösen soll einmal auf direktem Weg
> mit Laplace-Trafo und indem ich zunäcsht das AWP in ein
> System 1.ord umwandle und dann auch wieder LT anwende ;)
>  
> Danke für die Hilfe aber bei PBZ scheiter ich irgendwie
> ,weil ich glaube ich den falschen Ansatz mache.
>  
> [mm]z=\frac{12s^2+5s+48}{5(s^2+4)(s^2+9)}=\frac{1}{5}\cdot \frac{12s^2+5s+48}{(s^2+4)(s^2+9)[/mm]


Rainer hat angemerkt, daß Dein z nicht stimmt.

Außerdem, müssen da noch die Anfangsbedingungen geklärt werden.

Ist [mm]y\left(0) \not= 0[/mm] so ist der Zähler von z auf jeden Fall
ein Polynom dritten Grades.


>  
> Nun PBZ [mm]\frac{As+B}{s^2+4}+\frac{D}{s-3i}+\frac{E}{s+3i}[/mm]
>  
> ist das so ok ?


Wenn Dein z stimmt, dann kannst Du so ansetzen:

[mm]z=\bruch{As+B}{s^{2}+4}+\bruch{Cs+D}{s^{2}+9}[/mm]


>
> schön abend noch
>  
>
>  


Gruß
MathePower

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Bezug
AWP mit Laplace-Trafo lösen: sorry
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:19 Mi 07.01.2009
Autor: crashby

Hey, hatte mich bei Anfangsbedingungen vertan
richtig ist:

$ [mm] y''+9y=\cos(2t),y(0)=1,y'(0)=\frac{12}{5} [/mm] $

Nun gut bevor mein z was ja L[y] ist nicht stimmt brauch ich ja nicht weiter machen oder ist es jetzt mit der korrigierten Fassung ok ? :)

Vielen Dank

Bezug
                                        
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AWP mit Laplace-Trafo lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:02 Do 08.01.2009
Autor: MathePower

Hallo crashby,

> Hey, hatte mich bei Anfangsbedingungen vertan
>  richtig ist:
>  
> [mm]y''+9y=\cos(2t),y(0)=1,y'(0)=\frac{12}{5}[/mm]
>  
> Nun gut bevor mein z was ja L[y] ist nicht stimmt brauch
> ich ja nicht weiter machen oder ist es jetzt mit der
> korrigierten Fassung ok ? :)


Nein, das z mußt Du neu ausrechnen.


>  
> Vielen Dank


Gruß
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
AWP mit Laplace-Trafo lösen: neuer Versuch
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:15 Do 08.01.2009
Autor: crashby

Guten Abend,

ich glaube mir ist ein [lichtaufgegangen].



> > [mm]y''+9y=\cos(2t),y(0)=1,y'(0)=\frac{12}{5}[/mm]

Dann fangen wir mal an:

[mm] $L[y''+9y](s)=L[\cos(2t)](s) [/mm] $

=> (L linear) $ L[y''](s)+9L[y](s)= [mm] \frac{2}{s^2+4} [/mm] $ (aus Tabelle)
=> (Ableitungssatz):

$ [mm] L[y''](s)=s^2\cdot Y(s)-s\cdot y(0)-y'(0)=s^2\cdot Y(s)-s-\frac{12}{5} [/mm] $

=> $ [mm] s^2\cdot Y(s)-s-\frac{12}{5}+9Y(s)=\frac{s}{s^2+4} [/mm] $
<=> $ [mm] s^2\cdot Y(s)+9Y(s)-\frac{12}{5}=\frac{s}{s^2+4} [/mm] $

dann addiere ich $ s $ und [mm] $-\frac{12}{5} [/mm] $ auf die andere Seite. Nach ein bissel rumrechnen komme ich auf:

$ [mm] Y(s)=\frac{s^3+5s+12}{s^2+9} [/mm] $

stimmt es jetzt ;) ?

greetz

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Bezug
AWP mit Laplace-Trafo lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:35 Do 08.01.2009
Autor: MathePower

Hallo crashby,


> Guten Abend,
>  
> ich glaube mir ist ein [lichtaufgegangen].
>  
>
>
> > > [mm]y''+9y=\cos(2t),y(0)=1,y'(0)=\frac{12}{5}[/mm]
>  
> Dann fangen wir mal an:
>  
> [mm]L[y''+9y](s)=L[\cos(2t)](s)[/mm]
>  
> => (L linear) [mm]L[y''](s)+9L[y](s)= \frac{2}{s^2+4}[/mm] (aus
> Tabelle)
>  => (Ableitungssatz):

>  
> [mm]L[y''](s)=s^2\cdot Y(s)-s\cdot y(0)-y'(0)=s^2\cdot Y(s)-s-\frac{12}{5}[/mm]
>  
> => [mm]s^2\cdot Y(s)-s-\frac{12}{5}+9Y(s)=\frac{s}{s^2+4}[/mm]
>  <=>

> [mm]s^2\cdot Y(s)+9Y(s)-\frac{12}{5}=\frac{s}{s^2+4}[/mm]


[mm]s^2\cdot Y(s)+9Y(s)\red{-s}-\frac{12}{5}=\frac{s}{s^2+4}[/mm]


>  
> dann addiere ich [mm]s[/mm] und [mm]-\frac{12}{5}[/mm] auf die andere Seite.


Hier mußt Du [mm]\bruch{12}{5}[/mm] addieren.


> Nach ein bissel rumrechnen komme ich auf:
>  
> [mm]Y(s)=\frac{s^3+5s+12}{s^2+9}[/mm]
>  
> stimmt es jetzt ;) ?


Das stimmt nicht ganz:

[mm]Y(s)=\frac{s^3+\red{\mu s^{2}}+5s+\red{12}}{\left(s^2+9\right)\red{\left(s^{2}+4\right)}}[/mm]

Es fehlt ein quadratischer Anteil [mm]\mu \not= 0[/mm],
und der konstante Anteil stimmt auch nicht.


>  
> greetz


Gruß
MathePower

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Bezug
AWP mit Laplace-Trafo lösen: hmm
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:48 Do 08.01.2009
Autor: crashby

Hi MathePower :)

ich schreib mal alles auf vielleicht hab ich mich bei ner umformung vertan.

$ [mm] (s^2+9)Y(s)-s-\frac{12}{5}=\frac{2s}{s^2+4} [/mm] $

nun erstmal +s

=> $ [mm] (s^2+9)Y(s)-\frac{12}{5}=\frac{s^3+5s}{s^2+4} [/mm] $

nun +12/5

=> $ [mm] (s^2+9)Y(s)=\frac{5(s^3+5s)+12(s^2+4)}{5(s^2+4)} [/mm] $

=>$ [mm] Y(s)=\frac{5(s^3+5s)+12(s^2+4)}{5(s^2+4)(s^2+ 9)} [/mm] $

oh ich glaub ich hab aus einer summer gekürzt ;)

$ [mm] Y(s)=\frac{s^3+5s}{(s^2+4)(s^2+9)}+\frac{12}{5}\frac{1}{s^2+9} [/mm] $

nun sollte es stimmen.

lg

Bezug
                                                                        
Bezug
AWP mit Laplace-Trafo lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:54 Do 08.01.2009
Autor: MathePower

Hallo crashby,

> Hi MathePower :)
>  
> ich schreib mal alles auf vielleicht hab ich mich bei ner
> umformung vertan.
>  
> [mm](s^2+9)Y(s)-s-\frac{12}{5}=\frac{2s}{s^2+4}[/mm]
>  
> nun erstmal +s
>  
> => [mm](s^2+9)Y(s)-\frac{12}{5}=\frac{s^3+5s}{s^2+4}[/mm]
>  
> nun +12/5
>  
> => [mm](s^2+9)Y(s)=\frac{5(s^3+5s)+12(s^2+4)}{5(s^2+4)}[/mm]
>  
> =>$ [mm]Y(s)=\frac{5(s^3+5s)+12(s^2+4)}{5(s^2+4)(s^2+ 9)}[/mm] $
>  
> oh ich glaub ich hab aus einer summer gekürzt ;)
>  
> [mm]Y(s)=\frac{s^3+5s}{(s^2+4)(s^2+9)}+\frac{12}{5}\frac{1}{s^2+9}[/mm]
>  
> nun sollte es stimmen.


So stimmt's. [ok]


>  
> lg


Gruß
MathePower

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Bezug
AWP mit Laplace-Trafo lösen: PBZ
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:26 So 11.01.2009
Autor: crashby

Hi, mache grad weiter

PBZ:

$ [mm] \frac{s^3+5s}{(s^2+4)(s^2+9)}=\frac{As+B}{s^2+4}+\frac{D}{s-3i}+\frac{E}{s+3i} [/mm] $ oder?

der KV ist ja nicht schön...gibs noch nen anderen WEG ?

thx cya

Bezug
                                                                                        
Bezug
AWP mit Laplace-Trafo lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 So 11.01.2009
Autor: MathePower

Hallo crashby,

> Hi, mache grad weiter
>  
> PBZ:
>
> [mm]\frac{s^3+5s}{(s^2+4)(s^2+9)}=\frac{As+B}{s^2+4}+\frac{D}{s-3i}+\frac{E}{s+3i}[/mm]
> oder?
>  
> der KV ist ja nicht schön...gibs noch nen anderen WEG ?


Dieser Weg ist der übliche:

[mm]\frac{s^3+5s}{(s^2+4)(s^2+9)}=\frac{As+B}{s^2+4}+\frac{Fs+G}{s^{2}+9}[/mm]


>  
> thx cya


Gruß
MathePower

Bezug
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