AWP mit Variation der Variable < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie gemäß der Methode Variation der Konstanten die allgemeine Lösung zu
[mm] y^{\prime}(x)=-\frac{y(x)}{x}+1
[/mm]
und ermitteln Sie eine spezielle Lösung für den Anfangswert [mm] y(2)=\frac{3}{2}. [/mm] |
Mir ist dazu folgende Definition gegeben:
Es seien g, h: J [mm] \rightarrow \mathbb{R} [/mm] stetig sowie [mm] (\xi, \eta) \in [/mm] J [mm] \times \mathbb{R} [/mm] und J [mm] \subseteq \mathbb{R} [/mm] ein Intervall. Dann ist
[mm] y(x)=\exp \left(-\int \limits_{\xi}^{x} g(t) \mathrm{d} t\right)\left(\eta+\int \limits_{\xi}^{x} h(t) \cdot \exp \left(\int \limits_{\xi}^{t} g(s) \mathrm{d} s\right) \mathrm{d} t\right)
[/mm]
eindeutige Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung [mm] y^{\prime}=g(x) [/mm] y+h(x) mit Anfangswerten [mm] y(\xi)=\eta. [/mm] Diese existiert in ganz J.
Nun hätte ich die Aufgabe folgendermaßen versucht zu lösen:
Gegeben ist die Differentialgleichung in der Form [mm] y^{\prime}(x)=g(x) [/mm] y+h(x), wobei [mm] g(x)=-\frac{1}{x} [/mm] und [mm] \( [/mm] h(x)=1.
Die allgemeine Lösung gemäß der Methode der Variation der Konstanten ist:
[mm] y(x)=\exp \left(-\int \limits_{\xi}^{x} g(t) d t\right)\left(\eta+\int \limits_{\xi}^{x} h(t) \cdot \exp \left(\int \limits_{\xi}^{t} g(s) d s\right) d t\right)
[/mm]
Nun setzte ich g(x) und h(x) ein:
[mm] y(x)=\exp \left(-\int \limits_{\xi}^{x}\left(-\frac{1}{t}\right) d t\right)\left(\eta+\int \limits_{\xi}^{x} 1 \cdot \exp \left(\int \limits_{\xi}^{t}-\frac{1}{s} d s\right) d t\right)
[/mm]
Für das Integral [mm] \int \limits_{\xi}^{x}\left(-\frac{1}{t}\right) [/mm] d t erhalten ich dann:
[mm] -\int \limits_{\xi}^{x}\left(-\frac{1}{t}\right) [/mm] d [mm] t=-\ln |x|+\ln |\xi|
[/mm]
Diese Ausdrücke in die allgemeine Lösung einsetzten:
[mm] y(x)=\exp (\ln |x|-\ln |\xi|)\left(\eta+\int \limits_{\xi}^{x} \exp (-\ln |t|+\ln |\xi|) d t\right) [/mm]
y(x)=|x| [mm] \cdot\left(\eta+\int \limits_{\xi}^{x} \frac{\xi}{t} d t\right)
[/mm]
y(x)=|x| [mm] \cdot(\eta+\xi \cdot(\ln |x|-\ln |\xi|))
[/mm]
y(x)=|x| [mm] \cdot\left(\eta+\xi \cdot \ln \left|\frac{x}{\xi}\right|\right)
[/mm]
Nun kann ich doch den Anfangswert [mm] y(2)=\frac{3}{2} [/mm] verwenden, um die Konstanten [mm] \eta \) [/mm] und [mm] \xi [/mm] zu bestimmen:
y(2)=|2| [mm] \cdot\left(\eta+\xi \cdot \ln \left|\frac{2}{\bar{\xi}}\right|\right)=\frac{3}{2}
[/mm]
Setzen [mm] \xi=2 [/mm] ein:
2 [mm] \cdot\left(\eta+2 \cdot \ln \left|\frac{2}{2}\right|\right)=\frac{3}{2} [/mm]
2 [mm] \cdot(\eta+2 \cdot \ln 1)=\frac{3}{2} [/mm]
2 [mm] \cdot(\eta+2 \cdot 0)=\frac{3}{2} [/mm]
2 [mm] \cdot \eta=\frac{3}{2} [/mm]
[mm] \eta=\frac{3}{4} [/mm]
Also erhalte ich [mm] \eta=\frac{3}{4}. [/mm] Nun [mm] \eta=\frac{3}{4} [/mm] in die allgemeine Lösung einsetzten:
y(x)=|x| [mm] \cdot\left(\frac{3}{4}+2 \cdot \ln \left|\frac{x}{2}\right|\right)
[/mm]
Damit lautet die spezielle Lösung der Differentialgleichung [mm] y^{\prime}(x)=-\frac{y(x)}{x}+1 [/mm] mit dem Anfangswert [mm] y(2)=\frac{3}{2}:
[/mm]
y(x)=|x| [mm] \cdot\left(\frac{3}{4}+2 \cdot \ln \left|\frac{x}{2}\right|\right)
[/mm]
Habe ich das so richtig gelöst?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Di 21.11.2023 | | Autor: | fred97 |
Hallo Euler,
1. Die Lösung des Amfangswertproblems existiert auf einem (offenen) Intervall J, welches den Punkt 2 enthält, somit ist $J=(0, [mm] \infty)$. [/mm] Du kannst dir also die Beträge sparen.
2. Ob die von Dir gefundene Funktion die DGL löst, kannst Du doch durch Differenzieren leicht selbst überprüfen.
Gruß
Fred
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Di 21.11.2023 | | Autor: | Euler123 |
Hallo Fred,
Danke für deine Antwort und deinen ersten Hinweis. Zweitens ist mir schon klar und das passt auch - vielmehr wollte ich eigentlich wissen, ob ich das Prinzip der Variation der Konstanten so korrekt angewendet habe - aber dass scheint nun ja so zu passen??
LG Euler
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Hallo Euler123,
mit dem Hinweis von Fred, die Beträge wegzulassen, lautet Deine Lösung:
[mm] $y=x*\left(\frac{3}{4}+2*ln \left( \frac{x}{2} \right) \right)$ [/mm] zu Deiner DGL: [mm] $y'=-\frac{y}{x}+1$
[/mm]
Die linke Seite ist: [mm] $y'=2*ln\left( \frac{x}{2} \right)+\frac{11}{4}$ [/mm] und die rechte Seite ist: [mm] $-\frac{y}{x}+1=-2*ln \left( \frac{x}{2} \right) +\frac{1}{4}$
[/mm]
Damit wäre Deine Lösung nicht richtig - so ich mich nicht verrechnet habe.
Wenn ich, als Nicht-Mathematiker, die DGL "zu Fuß" löse, o erhalte ich:
[mm] $y=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$
[/mm]
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 Do 23.11.2023 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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