AWP und Eindeutigkeitssatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Durch u(x):=0 und [mm] v(x):=\bruch{x³}{27} [/mm] sind zwei Lösungen des AWP [mm] y'=\wurzel[3]{y²} [/mm] und y(0)=0 gegeben..
Warum ist dieses kein wiederspruch zum Eindeutigkeitssatz?
|
Also ich weiß bisher:
Eindeutigkeitssatz: ist erfüllt, wenn die Lipschitz-Stetigkeit erfüllt ist (y'=f(y))
hmmm...und mehr weiß ich leider nicht....
Könnt ihr mir bitte helfen?
MfG
Ich habe diese frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Mi 29.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Durch u(x):=0 und [mm]v(x):=\bruch{x³}{27}[/mm] sind zwei Lösungen
> des AWP [mm]y'=\wurzel[3]{y²}[/mm] und y(0)=0 gegeben..
>
> Warum ist dieses kein wiederspruch zum Eindeutigkeitssatz?
>
>
> Also ich weiß bisher:
>
> Eindeutigkeitssatz: ist erfüllt, wenn die
> Lipschitz-Stetigkeit erfüllt ist
Ist das denn erfüllt ?????? Es kann doch nur daran liegen !!!
FRED
>
> hmmm...und mehr weiß ich leider nicht....
>
> Könnt ihr mir bitte helfen?
>
> MfG
>
> Ich habe diese frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
|
|
|
| |
|
Das ist ja mein problem. ich weiß was ich machen muss (in diesem Fall das Lipschitz Kriterium nachweisen) aber die Ausführung macht mir probleme.
Es reicht ja sicher nicht, nur das Lipschitzkriterium nachzuweisen! da wären ja keine zwei Lösungen angegeben....
Und ich weiß auch nicht so genau, wie ich das Kriterium nachweisen muss.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Mi 29.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Nein !! Du mußt nachweisen , dass die Lipschitzbedingung nicht erfüllt ist !!
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Mi 29.10.2008 | | Autor: | strange_w |
Und wie mache ich das????
Ich kann es wirklich nicht..muss bis morgen die Aufgabe haben.... :(
|
|
|
| |
|
kann mir denn keiner dabei helfen????
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 So 02.11.2008 | | Autor: | Disap |
Hallo [mm] strange\_w, [/mm] laut deiner Mitteilung musstest du die Aufgabe doch bereits am Freitag abgeben.
> kann mir denn keiner dabei helfen????
Ich bin da nicht im Stoff drin, habe mal bei Wikipedia geguckt, hier der
![[]](/images/popup.gif) Direktlink
In dem Beispiel heißt es, es reicht zu zeigen, dass
[mm] \frac{|f(x)-f(0)|}{|x-0|} \to \infty [/mm] für x gegen 0
gilt, was dann bedeutet, dass f nicht Lipschitzstetig ist.
Nach deiner ersten Frage hier im Thread, ist f das y', dann würde ich einfach mal einsetzen
[mm] $\frac{|f(x)-f(0)|}{|x-0|} [/mm] = [mm] \frac{|\wurzel[3]{x}|}{|x|} [/mm] = [mm] \frac{|x^{1/3}|}{|x^{3/3}|} [/mm] = [mm] \frac{1}{|x^{2/3}|}$
[/mm]
für $x -> 0$ geht der Ausdruck gegen Unendlich, dementsprechend dürfte (nach Wikipedia) keine Lipschitzstetigkeit vorliegen
MfG
Disap
|
|
|
| |
|
Richtig, die Aufgabe musste ich bereits abgeben und habe es nicht wirklich hinbekommen. Es bringt mir ja aber nichts, wenn ich das ganze nicht verstehe. Muss es ja (wenn auch jetzt nicht mehr) irgendwann wieder beim Examen können.
Das mit dem Beispiel aus Wikipedia versteh ich ja. aber das ist alles mit x und nicht mit y in der Wurzel. Und was fange ich mit den angegebenen Lösungen an??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:18 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Disap |
> Richtig, die Aufgabe musste ich bereits abgeben und habe es nicht wirklich hinbekommen.
> Es bringt mir ja aber nichts, wenn ich das ganze nicht verstehe. Muss es ja (wenn auch jetzt nicht mehr) irgendwann wieder beim Examen können.
Bekommt ihr an eurer Hochschule denn keine Lösungen? Wenn ja, könntest du natürlich auch zu der konkrete Fragen stellen, wenn du dir die Arbeit machen möchtest
> Das mit dem Beispiel aus Wikipedia versteh ich ja. aber das ist alles mit x
Die Variable in meiner Mitteilung sollte wohl besser wirklich y heissen.
> und nicht mit y in der Wurzel.
Nenn es halt y, war ein Vertipper von mir
> Und was fange ich mit den angegebenen Lösungen an??
So wie du das geschrieben hast, lautet der Eindeutigkeitssatz, den ich nicht kenne:
ist erfüllt, wenn die Lipschitz-Stetigkeit erfüllt ist (y'=f(y))
Nach fred97 galt:
Nein !! Du mußt nachweisen , dass die Lipschitzbedingung nicht erfüllt ist !!
Und mittels Wikipedia (Siehe Direktlink meiner Mitteilung) haben wir das gemacht
Die Lösungen sind, so wie ich mir das jetzt zusammenreime, also nur zur Zierde
Alternativ könnte die Aufgabe auch
Für das AWP $ [mm] y'=\wurzel[3]{y²} [/mm] $ und y(0)=0 existieren zwei Lösungen, warum ist dieses kein Widerspruch zum Eindetigkeitssatz?
heißen
Da dieses AWP leicht zu lösen ist, kann man in dem Aufgabentext auch ruhig die beiden Lösungen erwähnen.
MfG
Disap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Mo 03.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Die rechte SEite Deiner DGL hängt nicht von x ab:
f(x,y) = [mm] \wurzel[3]{y^2}
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Mo 03.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Wir machen eine Widerspruchsbeweis:
Sei f(x,y) = [mm] \wurzel[3]{y^2}. [/mm] Annahme : f genüge einer Lipschitzbedingung bezügl. y, also ex. ein L>0 mit |f(x,y) - f(x,z)| [mm] \le [/mm] L|y-z|.
Ist nun y>0 und z= 0, so folgt: [mm] \wurzel[3]{y^2} \le [/mm] Ly, somit [mm] y^2 \le L^3y^3.
[/mm]
Also ist 1 [mm] \le L^3 [/mm] y für jedes y>0, das ist aber Quatsch.
FRED
|
|
|
| |
|
Woran sieht man denn, dass es Quatsch ist? Müsste man nicht erstmal einen Gegenbeweis dafür finden?
Für y>0 finde ich kein Gegenbeispiel, da man ja das L immer so wählen könnte, dass der Ausdruck auf der rechten Seite tatsächlich größer 1 ist, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Mo 03.11.2008 | | Autor: | strange_w |
genau das habe ich mich auch gerade gefragt!! Wieso ist das so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Zorba |
Aber das L ist doch zu dem Zeitpunkt schon festgelegt!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Woran sieht man denn, dass es Quatsch ist? Müsste man nicht
> erstmal einen Gegenbeweis dafür finden?
> Für y>0 finde ich kein Gegenbeispiel, da man ja das L
> immer so wählen könnte, dass der Ausdruck auf der rechten
> Seite tatsächlich größer 1 ist, oder?
na, jeder Student, der Analysis 1 auch nur ansatzweise verstanden hat, weiß, dass, wenn $|z| [mm] \le \varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt, dass dann schon $z=|z|=0$ gelten muss.
Hier ist $L > 0$ fest, und die Abbildung $g: [mm] (0,\;\infty) \to (0,\;\infty)$, $g(y):=L^3 [/mm] y$ dann surjektiv. Das wäre eine mögliche Argumentation, denn insgesamt folgte dann aus $1 [mm] \le L^3 [/mm] y$ insbesondere $1=0$, und das ist nun wirklich Quatsch.
Es gibt auch ein anderes Argument (aber eigentlich ist es doch wieder das gleiche):
Wenn $1 [mm] \le L^3*y$ [/mm] für alle $y > 0$, so folgt bei $y [mm] \to [/mm] 0^+$ dann $1 [mm] \le 0=\lim_{y \to 0^+} L^3*y\,,$ [/mm] also $1 [mm] \le [/mm] 0$. Das ist Quatsch.
Ein drittes Argument:
Die Aussage $1 [mm] \le L^3*y$ [/mm] für alle $y > 0$ kann nicht stimmen. Angenommen, sie stimmt doch. Dann definieren wir [mm] $\tilde{y}:=\frac{1}{2L^3}\,.$ [/mm] Dann ist wegen $L > 0$ auch [mm] $\tilde{y} [/mm] > 0$ und damit muss dann gelten:
$$1 [mm] \le L^3\tilde{y}\,.$$
[/mm]
Setzen wir [mm] $\tilde{y}=\frac{1}{2L^3}$ [/mm] ein, so folgt:
$$1 [mm] \le \frac{1}{2}\,.$$
[/mm]
Was ein Quatsch  (Also: Widerspruch.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Super, Marcel, danke! Das war wirklich schön!
|
|
|
| |
|
Aber zum 3. Argument habe ich folgenden Einwand:
Das y müsste so gewählt werden, dass es das AWP aus der Aufgabenstellung löst.
Beim 3.Argument ist [mm] \bruch{1}{2L^{3}} [/mm] an der Stelle x=0 nicht Null, sondern ebenfalls [mm] \bruch{1}{2L^{3}}, [/mm] also dieses y ungültig.
Ich habe einen Vorschlag als Kombination von 1. und 2. Argument:
Da man nach AWP weiß, dass y an der Stelle x=0 immer Null sein muss, könnte man doch y=0 setzen (Also man nutzt die lokale L-Stetigkeit nach Annahme und eine Umgebung um x=0) und es würde der Widerspruch 1=0 folgen.
Ist das so in Ordnung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aber zum 3. Argument habe ich folgenden Einwand:
> Das y müsste so gewählt werden, dass es das AWP aus der
> Aufgabenstellung löst.
> Beim 3.Argument ist [mm]\bruch{1}{2L^{3}}[/mm] an der Stelle x=0
> nicht Null, sondern ebenfalls [mm]\bruch{1}{2L^{3}},[/mm] also
> dieses y ungültig.
nein, da vermengst Du ein paar Dinge miteinander. Achte bitte darauf, was Fred geschrieben hat
> Sei f(x,y) = $ [mm] \wurzel[3]{y^2}. [/mm] $ Annahme : f genüge einer
> Lipschitzbedingung bezügl. y, also ex. ein L>0 mit |f(x,y) - f(x,z)| $ [mm] \le [/mm] $ L|y-z|.
> Ist nun y>0 und z= 0, so folgt: $ [mm] \wurzel[3]{y^2} \le [/mm] $ Ly, somit $ [mm] y^2 \le L^3y^3. [/mm] $
Hier geht es wirklich nur darum, zu zeigen, dass für die Funktion [mm] $f(x,y):=\sqrt[3]{y^2}$ [/mm] bzgl. [mm] $\black{y}$ [/mm] kein $L > 0$ so existiert, dass $|f(x,y)-f(x,z)| [mm] \le [/mm] L|y-z|$ für alle $y,z$ gilt.
Mir ist auch - ehrlich gesagt - unklar, wie Du auf die Idee kommst, da irgendwas mit den Anfangsproblemen reinzumischen. Fred will einfach nur darauf hinaus, dass die Voraussetzung der Lipschitzstetigkeit nicht erfüllt ist. Und nun nimmt er an, dass sie doch gegeben wäre, folgert dann alleine daraus, dass dann
> Also ist 1 $ [mm] \le L^3 [/mm] $ y für jedes y>0
Und da steht wirklich: Angenommen, die Funktion [mm] $f(x,y):=\sqrt[3]{y^2}$ [/mm] wäre Lipschitzstetig bzgl. [mm] $\black{y}\,.$ [/mm] Dann gilt..., also $1 [mm] \le L^3*y$ [/mm] für jedes $y > [mm] 0\,.$
[/mm]
Und wenn etwas für jedes $y > 0$ gilt, dann gilt das insbesondere auch für [mm] $\tilde{y}:=\frac{1}{2L^3} [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Das hat doch überhaupt nichts mehr mit dem AWP zu tun?! (Abgesehen davon, dass man nachprüft, dass hier die Voraussetzungen der Lipschitzstetigkeit nicht gegeben sind und man daher den Eindeutigkeitssatz nicht anwenden darf.)
> Ich habe einen Vorschlag als Kombination von 1. und 2.
> Argument:
> Da man nach AWP weiß, dass y an der Stelle x=0 immer Null
> sein muss, könnte man doch y=0 setzen (Also man nutzt die
> lokale L-Stetigkeit nach Annahme und eine Umgebung um x=0)
> und es würde der Widerspruch 1=0 folgen.
> Ist das so in Ordnung?
Ehrlich gesagt ist mir Dein Problem auch nicht ganz klar. Aber wie gesagt: Schau' Dir bitte mal alles genau an, was Fred geschrieben hat, ich habe das nur zu Ende verfolgt. Und ich sehe da wirklich nur:
... also folgt $1 [mm] \le L^3 [/mm] *y$ für alle $y > 0$.
Wenn Fred sich an der Stelle vertan haben sollte, dann ist Dein Einwand vll. berechtigt. Andernfalls kann ich in der Tat sagen:
Naja, das soll für alle $y > 0$ gelten, aber für speziell [mm] $y=\tilde{y}:=\frac{1}{2L^3}$ [/mm] kann's schon gar nicht gelten.
In Kurz: Ist $M > 0$, so kann
$1 [mm] \le M*\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ auch nicht gelten. Ich setze einfach [mm] $\tilde{\varepsilon}:=\frac{1}{2M} [/mm] > 0$ ein und es folgte der Widerspruch $1 [mm] \le \frac{1}{2}\,.$ [/mm] Prinzipiell habe ich oben nichts anderes getan.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:11 Di 04.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich habe mich nicht vertan
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 Di 04.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Ich habe mich nicht vertan
>
> FRED
das war auch weder ein Vorwurf noch eine Unterstellung meinerseits. Nur habe ich den Thread nicht komplett durchgelesen und so nur das rausgepickt, was ich für wichtig erachtet habe. Und da es ja schlussendlich nur darum ging, nachzuweisen, dass eine bestimmte Funktion die Lipschitzstetigkeit (bzgl. [mm] $\black{y}$) [/mm] nicht erfüllt, hab' ich da auch nicht durchgeblickt, warum da nun ein Einwand mit dem AWP kam. Ich hätte es mir nur erklären können, wenn Dir unterwegs irgendwas verlorengegangen wäre (nach kurzer Recherche habe ich da aber auch nichts gefunden und hatte auch keine Lust mehr, weiter zu suchen, wie man evtl. zu solch einen Einwand gelangen könnte). Ich finde auch nichts, was diesen Einwand rechtfertigen würde, ich denke mal, Du auch nicht.
In dem Sinne ist alles so durchführbar, wie Du es getan hast. Dann folgerst Du $1 [mm] \le L^3*y$ $\underline{\text{für alle}}$ [/mm] $y > 0$, und ich zeige dann gerade nochmal kurz, dass das Quatsch ist. Das darf man dann in der Tat alleine durch Wahl des [mm] $\tilde{y}:=\frac{1}{2L^3} [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Di 04.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Ich habe mich nicht vertan
> >
> > FRED
>
> das war auch weder ein Vorwurf noch eine Unterstellung
> meinerseits. Nur habe ich den Thread nicht komplett
> durchgelesen und so nur das rausgepickt, was ich für
> wichtig erachtet habe. Und da es ja schlussendlich nur
> darum ging, nachzuweisen, dass eine bestimmte Funktion die
> Lipschitzstetigkeit (bzgl. [mm]\black{y}[/mm]) nicht erfüllt, hab'
> ich da auch nicht durchgeblickt, warum da nun ein Einwand
> mit dem AWP kam. Ich hätte es mir nur erklären können, wenn
> Dir unterwegs irgendwas verlorengegangen wäre (nach kurzer
> Recherche habe ich da aber auch nichts gefunden und hatte
> auch keine Lust mehr, weiter zu suchen, wie man evtl. zu
> solch einen Einwand gelangen könnte). Ich finde auch
> nichts, was diesen Einwand rechtfertigen würde, ich denke
> mal, Du auch nicht.
>
> In dem Sinne ist alles so durchführbar, wie Du es getan
> hast. Dann folgerst Du [mm]1 \le L^3*y[/mm] [mm]\underline{\text{für alle}}[/mm]
> [mm]y > 0[/mm], und ich zeige dann gerade nochmal kurz, dass das
> Quatsch ist. Das darf man dann in der Tat alleine durch
> Wahl des [mm]\tilde{y}:=\frac{1}{2L^3} > 0\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
alles O.K.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:15 Di 06.11.2012 | | Autor: | Kyres |
Muss nicht gezeigt werden, dass f nicht lokal lipschitz ist? Was muss man dafür machen?
Es wurde doch nur gezeigt, dass f nicht global Lipschitz ist....oder ist das in diesem Beispiel gleichzusetzen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Do 08.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Kyres |
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Kyres |
vielleicht kann jemand trotzdem die Frage beantworten.
|
|
|
|
