A * B => bestimmte Form < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Es sei K ein Körper, [mm]\lambda \in K[/mm]. Es sei [mm]n \ge 2[/mm] und [mm]j \not= k[/mm] seien natürliche Zahlen mit [mm]1 \le j, k \le n[/mm]. Gebe eine Matrix [mm]A \in M(n x n; K)[/mm] an, so dass folgendes gilt: ist [mm]B \in M(m x n; K)[/mm] so ist [mm]B*A[/mm] eine Matrix, deren s-te Spalte für [mm]s\not=j[/mm] mit der s-ten Spalte von B übereinstimmt und deren j-te Spalte die Summe der j-ten und dem [mm]\lambda[/mm]-fachen der k-ten Spalte von B ist. |
Hallo,
hier macht mir schon alleine die Fragestellung Probleme, deswegen habe ich mir ein kleines Beispiel gemacht.
[mm]A = \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }; B = \pmat{ 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ 9 & 10 }[/mm]
Wäre das eine Lösung (was sie natürlich nicht ist), dann müsste so etwas heraus kommen:
[mm] \pmat{ b_{11}+\lambda*b_{12} & b_{12}\\ b_{21}+\lambda*b_{22} & b_{22} \\ b_{31}+\lambda*b_{32} & b_{32} } [/mm] = [mm] \pmat{5+\lambda*6 & 6 \\ 7+\lambda*8 & 8 \\ 9+\lambda*10 & 10 } [/mm]
Stimmt das so weit?
Mit freundlichen Grüßen,
Christoph
|
|
| |
|
> Es sei K ein Körper, [mm]\lambda \in K[/mm]. Es sei [mm]n \ge 2[/mm] und [mm]j \not= k[/mm]
> seien natürliche Zahlen mit [mm]1 \le j, k \le n[/mm]. Gebe eine
> Matrix [mm]A \in M(n x n; K)[/mm] an, so dass folgendes gilt: ist [mm]B \in M(m x n; K)[/mm]
> so ist [mm]B*A[/mm] eine Matrix, deren s-te Spalte für [mm]s\not=j[/mm] mit
> der s-ten Spalte von B übereinstimmt und deren j-te Spalte
> die Summe der j-ten und dem [mm]\lambda[/mm]-fachen der k-ten Spalte
> von B ist.
> Hallo,
> hier macht mir schon alleine die Fragestellung Probleme,
> deswegen habe ich mir ein kleines Beispiel gemacht.
>
> [mm]A = \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }; B = \pmat{ 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ 9 & 10 }[/mm]
>
> Wäre das eine Lösung (was sie natürlich nicht ist), dann
> müsste so etwas heraus kommen:
>
> [mm]\pmat{ b_{11}+\lambda*b_{12} & b_{12}\\ b_{21}+\lambda*b_{22} & b_{22} \\ b_{31}+\lambda*b_{32} & b_{32} }[/mm]
> = [mm]\pmat{5+\lambda*6 & 6 \\ 7+\lambda*8 & 8 \\ 9+\lambda*10 & 10 }[/mm]
>
> Stimmt das so weit?
Hallo,
mal nachschauen:
hier ist n=2, m=3, j=1. k=2
Die 2-te Spalte der neuen Matrix stimmt mit der 2. Spalte von B überein,
die 1. Spalte der neune matrix ist die Summe aus der ersten und dem [mm] \lambda-fachen [/mm] der zweiten der Matrix B.
Also: ja. Sowas ist gemeint.
Tipp: schau Dich mal bei den Elementarmatrizen um.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hi,
naja... dann ist es ja etwas sehr einfach? Dann kann ich ja annehmen, [mm]\lambda = 0[/mm] und nehme als A einfach die Einheitsmatrix? Weil wenn [mm]\lambda = 0[/mm] ist, soll ja danach dastehen [mm]A * B = B[/mm] und das trifft ja per Definition auf die Einheitsmatrix zu?
Oder sollte man etwas mehr dazu schreiben?
Mfg
Christoph
|
|
|
| |
|
Das wäre dann doch etwas verkürzt und würde übrigens die geforderte Bedingung für die s-te Spalte im Gegensatz zur j-ten Spalte [mm] (j\not=s) [/mm] nicht erfüllen.
Lies Angelas Tipp nochmal genauer. Da stand nicht Einheitsmatrix, sondern ![[]](/images/popup.gif) Elementarmatrix.
lg,
reverend
|
|
|
| |
|
Hi,
> Lies Angelas Tipp nochmal genauer. Da stand nicht
> Einheitsmatrix, sondern
> Elementarmatrix.
hab ich gemacht, sehr interessant. Offensichtlich ist dann Typ 1 von Wikipedia was ich dann brauche?
Für mein Beispiel habe ich gefunden: [mm]A:=\pmat{ 1 & 0 \\ \lambda & 1 }[/mm], B wie gehabt als [mm]\pmat{ 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ 9 & 10 }[/mm]. Dann ist [mm]B*A = \pmat{ 5+6*\lambda & 6 \\ 7+8*\lambda & 8 \\ 9+10*\lambda & 10 }[/mm].
So jetzt aber zum nächsten Problem: In meinem Beispiel waren ja auf Grund, dass die Matrix so klein ist, die Werte fest. Für größere Matrizen weiß ich aber nicht was j ist?
Laut wikipedia muss ja das [mm]\lambda[/mm] bei A in der k-ten Zeile bei mir und in der j-ten Spalte. Aber ich weiß ja in den meisten Fällen gar nicht, was j und was k ist?
Definiere ich mir dann einfach eine Funktion, in dem ich das [mm]\lambda[/mm] für das A einfach an die gewünschte Stelle mache? oder wie ist das gemeint?
Mfg,
Christoph
|
|
|
| |
|
> Definiere ich mir dann einfach eine Funktion, in dem ich
> das [mm]\lambda[/mm] für das A einfach an die gewünschte Stelle
> mache?
Hallo,
ja, so macht man das.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Dann sieht doch das schon mal gar nicht so schlecht aus....
Also dann sage ich zuerst:
[mm]J := \{1,...,n\}[/mm]
[mm]j \in J[/mm] und [mm]k \in J[/mm] und [mm]j \not= k[/mm] und [mm]1 \le j, k \le n[/mm].
Dann definiere ich:
[mm]
c_{xy} :=
\begin{cases}
1, & \mbox{für } x=y \\
\lambda, & \mbox{für } x=k \mbox{ und } y=j \\
0, & \mbox{sonst}
\end{cases}[/mm], für [mm]x \in J[/mm], [mm]y \in J[/mm].
[mm]
A:=(c_{xy})_{x \in J, y \in J}
[/mm]
Damit müsste A für jedes m,n,j,k die richtige Matrix sein?
So... nun will ich zeigen, dass wenn ich die s-te ([mm]s \not= j[/mm]) Spalte von B hernehme, diese gleich ist mit der s-ten von [mm]B*A[mm]. Nun, das muss stimmen, weil ich geh ja an der j-ten Zeile von B entlang und habe dann nur in der j-ten Spalte von A eine 1 stehen, sonst 0.
Für die j-te Spalte von B habe ich das gleiche Problem.
Wie kann man das "mathematischer" aufschreiben?
Vielen dank schon mal und freundliche Grüße,
Christoph
|
|
|
| |
|
> Dann sieht doch das schon mal gar nicht so schlecht
> aus....
>
> Also dann sage ich zuerst:
> [mm]J := \{1,...,n\}[/mm]
> [mm]j \in J[/mm] und [mm]k \in J[/mm] und [mm]j \not= k[/mm] und [mm]1 \le j, k \le n[/mm].
>
> Dann definiere ich:
>
> [mm]
c_{xy} :=
\begin{cases}
1, & \mbox{für } x=y \\
\lambda, & \mbox{für } x=k \mbox{ und } y=j \\
0, & \mbox{sonst}
\end{cases}[/mm],
> für [mm]x \in J[/mm], [mm]y \in J[/mm].
>
> [mm]
A:=(c_{xy})_{x \in J, y \in J}
[/mm]
>
> Damit müsste A für jedes m,n,j,k die richtige Matrix sein?
>
> So... nun will ich zeigen, dass wenn ich die s-te ([mm]s \not= j[/mm])
> Spalte von B hernehme, diese gleich ist mit der s-ten von
> [mm]B*A[mm]. Nun, das muss stimmen, weil ich geh ja an der j-ten Zeile von B entlang und habe dann nur in der j-ten Spalte von A eine 1 stehen, sonst 0.[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Für die j-te Spalte von B habe ich das gleiche Problem.[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Wie kann man das "mathematischer" aufschreiben?[/mm][/mm]
Hallo,
rechne [mm] B*A=(b_i_j)*(c_i_j)= (d_i_j) [/mm] vor, [mm] d_i_j=\summe [/mm] ...,
und schau Dir die passenden Einträge an.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
