A,B,C seien Mengen. < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Di 13.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
| Aufgabe | | [mm] A\backslash(B \backslash C)=(A\backslash B)\backslash [/mm] C [mm] \gdw A\cap [/mm] C [mm] =\emptyset [/mm] |
Leider fehlt mir hier jeglicher Lösungsansatz.
Ich habe versucht, mir das ganze durch das Aufmalen von Kreisen zur Darstellung der Mengen zu verdeutlichen, was mich jedoch nicht wirklich weitergebracht hat. Hat mir hier zufällig irgendjemand einen kleinen Tipp :P.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Neongelb,
mit "Kreisen" meinst Du ein Venn-Diagramm, oder?
> [mm]A\backslash(B \backslash C)=(A\backslash B)\backslash[/mm] C [mm]\gdw A\cap[/mm] C [mm]=\emptyset[/mm]
> Leider fehlt mir hier jeglicher Lösungsansatz.
> Ich habe versucht, mir das ganze durch das Aufmalen von
> Kreisen zur Darstellung der Mengen zu verdeutlichen, was
> mich jedoch nicht wirklich weitergebracht hat. Hat mir hier
> zufällig irgendjemand einen kleinen Tipp :P.
Wie liegen denn Deine Kreise? Du musst hier beide Richtungen zeigen. Mit einem Venn-Diagramm geht die Rückrichtung [mm] ($\Rightleftarrow$) [/mm] sehr gut.
Die Hinrichtung [mm] ($\Leftrightarrow$) [/mm] dagegen ist aus so einem Diagramm nicht so leicht abzulesen. Hier hilft Dir wohl eher eine Wahrheitswerttabelle. Was gilt z.B. für ein Element, das in allen drei Mengen liegt (und damit auch in ihrer Schnittmenge)?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Di 13.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
Okay, ja ich meine so ein Venn-Diagramm. Ich bin da auf gar keine eindeutige Lösung gestoßen. Zum Beispiel könnte ja A [mm] \cap [/mm] C = [mm] \emptyset [/mm] heißen, dass C oder A leere Mengen sind, oder dass keines ihrer Elemente übereinstimmt.
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Hallo nochmal,
> Okay, ja ich meine so ein Venn-Diagramm. Ich bin da auf gar
> keine eindeutige Lösung gestoßen. Zum Beispiel könnte ja
> A [mm]\cap[/mm] C = [mm]\emptyset[/mm] heißen, dass C oder A leere Mengen
> sind, oder dass keines ihrer Elemente übereinstimmt.
Das stimmt.
Zeichne also nicht das allgemeine Venn-Diagramm für drei Mengen, sondern fang mit zwei Kreisen für A und C an, so dass die Kreise sich möglichst noch nicht einmal berühren, geschweige denn schneiden.
Der dritte Kreis soll den allgemeinen Fall erfassen, muss also die beiden ersten schneiden, aber nicht vollständig beinhalten.
Im übrigen bist Du in der Diskussion mit Fred doch schon weiter.
Deswegen diese Antwort nur der Vollständigkeit halber.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Di 13.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Ich gehe davon aus, dass A,B,C Teilmengen einer Grundmenge X sind.
Ich bezeichne das Komplement einer Teilmenge Y von X mit [mm] Y^c.
[/mm]
Wenn Du nun beachtest, dass
(*) A [mm] \setminus [/mm] B = A [mm] \cap B^c [/mm]
ist, so kannst Du die Implikation [mm] \Rightarrow [/mm] ziemlich schnell beweisen, indem Du die Vor.
$ [mm] A\backslash(B \backslash C)=(A\backslash B)\backslash [/mm] $ C
mit Hilfe von (*) ausdrückst.
Um die umgekehrte Implikation kümmern wir uns später.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Di 13.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
Wenn ich das richtig verstanden habe könnte man die linke seite einfach umschreiben würde die linke seite dann so aussehen:
[mm] A\cap(B\cap C^{c})^{c} [/mm] = [mm] (A\cap B^{c})\cap C^{c}
[/mm]
Nun verstehe ich aber nicht, wie ich daraus die rechte Seite implizieren kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Di 13.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich das richtig verstanden habe könnte man die linke
> seite einfach umschreiben würde die linke seite dann so
> aussehen:
> [mm]A\cap(B\cap C^{c})^{c}[/mm] = [mm](A\cap B^{c})\cap C^{c}[/mm]
Ja, aber geh noch einen Schritt weiter:
[mm] $(B\cap C^{c})^{c}=B^c \cup [/mm] C$
Dann haben wir:
(*) [mm]A\cap (B^c \cup C)[/mm] = [mm](A\cap B^{c})\cap C^{c}[/mm]
>
> Nun verstehe ich aber nicht, wie ich daraus die rechte
> Seite implizieren kann.
Nimm mal an, es wäre $A [mm] \cap [/mm] C [mm] \ne \emptyset$
[/mm]
Dann gibt es also ein x [mm] \in [/mm] A , welches auch in C enthalten ist.
Jetzt gehen wir zu Günther Jauch.
Frage für 1 €:
Ist x Element von $ [mm] A\cap (B^c \cup [/mm] C) $ ?
a) nein
b) ja
c) nur wenn heute Sonntag ist
d) vielleicht
Frage für 2 €:
Ist x Element von $ [mm] (A\cap B^{c})\cap C^{c} [/mm] $ ?
a) jawoll !
b) im Leben nicht !
c) möglicherweise
d) meine Frau sagt nein.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Di 13.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
:D:D In [mm] A\cap (B^c \cup [/mm] C) ist das x enthalten. Dann kann es aber nicht in [mm] (A\cap B^{c})\cap C^{c} [/mm] enthalten sein. Das zeigt mir dass die Mengen verschieden sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Di 13.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> :D:D In [mm]A\cap (B^c \cup[/mm] C) ist das x enthalten. Dann kann
> es aber nicht in [mm](A\cap B^{c})\cap C^{c}[/mm] enthalten sein.
> Das zeigt mir dass die Mengen verschieden sind.
Wir hatten vorausgesetzt, dass sie gleich sind und haben angenommen, dass $ A [mm] \cap [/mm] C [mm] \ne \emptyset [/mm] $.
Somit haben wir einen Widerspruch.
Damit ist [mm] "\Rightarrow" [/mm] gezeigt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Di 13.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
Ganz genau. Vielen Dank für die perfekte Erklärung :)
Funktioniert der Beweis in die andere Richtung so ähnlich? Dann würde ich es einfach nochmal komplett selbstständig probieren
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Di 13.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ganz genau. Vielen Dank für die perfekte Erklärung :)
> Funktioniert der Beweis in die andere Richtung so ähnlich?
> Dann würde ich es einfach nochmal komplett selbstständig
> probieren
So ähnlich eigentlich nicht. Überlege Dir, dass Du zeigen mußt
(**) [mm] A\cap B^c=A\cap B^c \cap C^c,
[/mm]
wenn du jetzt als Voraussetzung hast, dass A [mm] \cap [/mm] C = [mm] \emptyset [/mm] ist.
Dass die rechte Menge in (**) in der linken enthalten ist, ist trivial.
Zeige also: [mm] A\cap B^c \subseteq A\cap B^c \cap C^c, [/mm] wenn A [mm] \cap [/mm] C = [mm] \emptyset
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Di 13.11.2012 | | Autor: | Neongelb |
Tut mir leid aber ich komme wirklich nicht voran.
Es gibt doch 3 fälle dass A $ [mm] \cap [/mm] $ C = $ [mm] \emptyset [/mm] $ gilt:
1. A = [mm] \emptyset
[/mm]
2. C = [mm] \emptyset
[/mm]
3. A ist keine Teilmenge von C und C ist keine Teilmenge von A.
Muss ich diese Fälle irgendwie einzeln untersuchen?
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Hallo,
> Tut mir leid aber ich komme wirklich nicht voran.
> Es gibt doch 3 fälle dass A [mm]\cap[/mm] C = [mm]\emptyset[/mm] gilt:
> 1. A = [mm]\emptyset[/mm]
> 2. C = [mm]\emptyset[/mm]
> 3. A ist keine Teilmenge von C und C ist keine Teilmenge
> von A.
>
> Muss ich diese Fälle irgendwie einzeln untersuchen?
Den Fall 3 solltest Du Dir genauer anschauen. Wahrscheinlich lohnt es sich, den noch zu unterteilen. 
Grüße
reverend
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mir fällt ehrlich gesagt nicht ein wie ich den nochmal unterteilen könnte :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 15.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Di 13.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Tut mir leid aber ich komme wirklich nicht voran.
> Es gibt doch 3 fälle dass A [mm]\cap[/mm] C = [mm]\emptyset[/mm] gilt:
> 1. A = [mm]\emptyset[/mm]
> 2. C = [mm]\emptyset[/mm]
> 3. A ist keine Teilmenge von C und C ist keine Teilmenge
> von A.
>
> Muss ich diese Fälle irgendwie einzeln untersuchen?
Nein, das interessiert doch gar nicht !
Zeigen mußt Du noch zeigen, dass $ [mm] A\cap B^c \subseteq A\cap B^c \cap C^c, [/mm] $ gilt, wenn A [mm] \cap [/mm] C = [mm] \emptyset [/mm] ist.
Dann nimm doch ein x [mm] \in A\cap B^c. [/mm] Dann ist x [mm] \in [/mm] A. Wegen A [mm] \cap [/mm] C = [mm] \emptyset, [/mm] ist x [mm] \in C^c.
[/mm]
Fazit: x [mm] \in A\cap B^c \cap C^c
[/mm]
FRED
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