A Selbstadjungiert < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Olek |
Tag zusammen.
Ich schreibe erstmal die Aufgabe:
Sei [mm] \IB={(1,2),(0,-1)} [/mm] eine Basis von [mm] \IR^{2} [/mm] und A: [mm] \IR^{2}\to\IR^{2} [/mm] die lineare Abbildung mit [mm] \left[ A \right]_{\IB}= \pmat{ 0 & -1 \\ -9 & 2 }
[/mm]
Zeigen sie, dass A bezüglich des Standardskalarproduktes auf [mm] \IR^{2} [/mm] selbstadjungiert ist.
Ich wollte nun zeigen, dass [mm] \left\langle Au|v \right\rangle=\left\langle u|A^{*}v \right\rangle [/mm] wobei u= (1,2) und v=(0,-1). Ich komme sowohl bei [mm] \left\langle Au|v \right\rangle [/mm] als auch bei [mm] \left\langle u|A^{*}v \right\rangle [/mm] auf das Ergebnis 5, so dass die Gleichheit gezeigt ist und bewiesen ist, dass A selbstadjungiert ist.
Ich habe jetzt allerdings jemanden getroffen, der von A die Orthonormalbasis gebildet hat, und dann mit der Übergangsmatrix und deren Inversen eine Matrix berechnet hat, die links unten und rechts oben die gleichen Einträge hatte, so dass es sich um eine Selbstadjungierte handelt.
Ich hoffe ihr habt den zweiten Weg nachvollziehen können und könnt mir vielleicht sagen, was ihr für richtig haltet.
Vielen Dank,
Olek
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 21:52 Mi 11.05.2005 | | Autor: | choosy |
ich halte deinen ansatz für einfacher, würds nur allgemeiner aufschreiben:
Sei [mm] $v=\vektor{x\\y},u=\vektor{a\\b}\in\R^2$ [/mm] bezüglich der gegebenen basis.
dann ist
$<Av,u> = [mm] [/mm]
= [mm]
[/mm]
= [mm] x [/mm] + [mm] y
[/mm]
= ... =<v,Au>$
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