A diagonalisieren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Fr 24.01.2014 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Es sei
A:= [mm] \bruch{1}{4}\pmat{ 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -6 & -7 \\ 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 11 & 6 & 15 } \in Mat(4,\IR)
[/mm]
i) Berechnen Sie das charakteristische Polynom von A und zerlegen Sie es in Linearfaktoren.
ii) Zeigen Sie, dass A über [mm] \IR [/mm] diagonalisierbar ist.
iii) Geben Sie eine Matrix S an, sodass [mm] S*A*S^{-1} [/mm] eine Diagonalmatrix ist. |
Ich weiß nicht, wie ich iii berechnen soll.
Ich kenne nur die Formel
[mm] S^{-1}*A*S [/mm] = Diagonalmatrix. Wie verhält sich das, wenn aber gelten soll: [mm] S*A*S^{-1}?
[/mm]
Kann ich irgendwas aus Aufgabenteil i oder ii übernehmen?
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> Es sei
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> A:= [mm]\bruch{1}{4}\pmat{ 8 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -6 & -7 \\ 0 & 0 & 8 & 0 \\ 0 & 11 & 6 & 15 } \in Mat(4,\IR)[/mm]
>
> i) Berechnen Sie das charakteristische Polynom von A und
> zerlegen Sie es in Linearfaktoren.
>
> ii) Zeigen Sie, dass A über [mm]\IR[/mm] diagonalisierbar ist.
>
> iii) Geben Sie eine Matrix S an, sodass [mm]S*A*S^{-1}[/mm] eine
> Diagonalmatrix ist.
> Ich weiß nicht, wie ich iii berechnen soll.
>
> Ich kenne nur die Formel
>
> [mm]S^{-1}*A*S[/mm] = Diagonalmatrix. Wie verhält sich das, wenn
> aber gelten soll: [mm]S*A*S^{-1}?[/mm]
>
> Kann ich irgendwas aus Aufgabenteil i oder ii übernehmen?
Hallo,
kommt halt darauf an, was Du dort getan hast.
Vielleicht ja, vielleicht nein.
Auf jeden Fall brauchst Du für iii. eine Eigenbasis, also zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
Es gilt
Diagonalmatrix= [mm] ("Eigenvektoren")^{-1}*A*("Eigenvektoren").
[/mm]
Mit "Eigenvektoren" meine ich die Matrix, die die Eigenvektoren in den Spalten enthält.
[mm] ("Eigenvektoren")^{-1} [/mm] ist hier Deine Matrix S.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Fr 24.01.2014 | | Autor: | kRAITOS |
Hallo Angela,
also zuerst habe ich das charakteristische Polynom berechnet, in Linearfaktoren zerlegt und die Eigenwerte 2 (in dreifacher Vielfachheit) und 1 bekommen.
Danach habe ich Eigenvektoren gesucht und für EW 1 den Eigenvektor [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1} [/mm] bekommen und für den EW 2 bekam ich die Vektoren [mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, v_3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -6 \\ 11 \\ 0}, v_4 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -7 \\ 0 \\ 11}
[/mm]
Dann habe ich, um zu zeigen, dass A diagonalisierbar ist, aus den Eigenvektoren die Matrix B = [mm] (v_2 v_3 v_4 v_1) [/mm] gebildet, diese invertiert und [mm] B^{-1}*A*B [/mm] gerechnet und als Ergebnis
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm] erhalten.
Jetzt soll ich ja eine Matrix S finden, sodass [mm] S*A*S^{-1} [/mm] = Diagonalmatrix.
Vllt kann ich jetzt nochmal fragen, ob ich irgendwas verwenden kann von meinen vorherigen Schritten?
> Es gilt
>
> Diagonalmatrix=
> [mm]("Eigenvektoren")^{-1}*A*("Eigenvektoren").[/mm]
>
> Mit "Eigenvektoren" meine ich die Matrix, die die
> Eigenvektoren in den Spalten enthält.
>
> [mm]("Eigenvektoren")^{-1}[/mm] ist hier Deine Matrix S.
>
> LG Angela
Das habe ich verstanden, es geht darum, dass hier ja gefordert ist, [mm] S*A*S^{-1} [/mm] = Diagonalmatrix. Wie gesagt, ich kenne es nur so herum: [mm] S^{-1}*A*S [/mm] = Diagonalmatrix. Da liegt mein Problem...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Fr 24.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
das geht doch nur um Namen, nenn dein [mm] S=S_1^{-1} [/mm] und [mm] s^{-1}=S1 [/mm] dann hast du doch schon alles.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Sa 25.01.2014 | | Autor: | kRAITOS |
Okay.
Und wie würde ich nun S finden? Bzw welche Eigenschaften muss S haben, damit bei [mm] S*A*S^{-1} [/mm] eine Diagonalmatrix rauskommt?
Die Diagonalmatrix muss ja dann von der Form
[mm] \pmat{ 2 & & & \\ & 2 & & \\ & & 2 & \\ & & & 1 \\ } [/mm] sein, da die Diagonalmatrix ja die Eigenwerte von A repräsentiert.
Wäre es eine Option, wenn ich einfach die Eigenvektoren vervielfache? Oder ist nach einer gänzlich neuen Matrix S gesucht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Sa 25.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du scheinst meine Antwort nicht kapiert zu haben, dein B ist [mm] S^{-1} [/mm] und das Inverse von [mm] B^{-1}=(S^{-1})^{-1}=S [/mm]
du hast also alles.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Sa 25.01.2014 | | Autor: | kRAITOS |
Benötige ich B denn nicht für Aufgabenteil ii?
Oder berechne ich da nur die Eigenvektoren und sage dann: "Weil es 4 linear unabhängige Eigenvektoren gibt, ist A diagonalisierbar."?
Weil eigentlich heißt zeigen doch, dass letztlich auch ein Ergebnis dazustehen hat...
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Hallo,
da steht doch ein Ergebnis, schau mal in dein Skript da wird mit Sicherheit etwas
stehen wann eine Matrix diagonalisierbar ist. Wenn du dich darauf berufst bist
du mit den 4 Eigenvektoren fertig.
Gruß helicopter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Sa 25.01.2014 | | Autor: | kRAITOS |
Okay.
Vielen Dank. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Sa 25.01.2014 | | Autor: | kRAITOS |
> Hallo,
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> da steht doch ein Ergebnis, schau mal in dein Skript da
> wird mit Sicherheit etwas
> stehen wann eine Matrix diagonalisierbar ist. Wenn du dich
> darauf berufst bist
> du mit den 4 Eigenvektoren fertig.
>
>
> Gruß helicopter
Also im Skript habe ich diesbezüglich nichts und ich war auch letzte Woche nicht bei der Vorlesung.
Für [mm] \lambda [/mm] = 1 folgt:
[mm] \lambda [/mm] * E - A = 0
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7/4 & 6/4 & 7/4 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -11/4 & -6/4 & -15/4 } [/mm] mit IV+11/7(II) = [mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7/4 & 6/4 & 7/4 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 6/7 & 0 }
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] = 0 => [mm] x_2 [/mm] = - [mm] x_4 [/mm] Eigenvektor = [mm] v_0 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = 2
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 11/4 & 6/4 & 7/4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -11/4 & -6/4 & -7/4 } [/mm] mit IV+II = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 11/4 & 6/4 & 7/4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Hier bekomme ich ja nun 4 Eigenvektoren raus.
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, v_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -6 \\ 11 \\ 0}, v_3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -7 \\ 6}, v_4 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -7 \\ 0 \\ 11}
[/mm]
Jetzt habe ich 5 Eigenvektoren, einen für Eigenwert 1 und 4 für Eigenwert 2.
Meine Frage jetzt: Wann genau ist eine Matrix diagonalisierbar? Die Definitionen auf Wikipedia sind jetzt nicht wirklich hilfreich... Und kann ich mir jetzt aus den Eigenvektoren für 2 drei aussuchen? Letztlich muss ja für S dann gelten, dass die 4 Vektoren linear unabhängig sind. Kann ich auch nur die Eigenvektoren des Eigenwertes 2 für S nehmen?
Ich habe noch irgendwas von geometrischer Vielfachheit und algebraischer Vielfachheit gelesen. Wenn diese übereinstimmen, ist A diagonalisierbar. Aber was genau heißt das?
Ebenfalls stand da, dass die Vielfachheit eines Eigenwertes = Dimension der Eigenvektoren sei. Bei Eigenwert 2 habe ich nun aber 4 Eigenvektoren... Was bedeutet das in Bezug auf diese Aufgabe?
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Hallo,
> Also im Skript habe ich diesbezüglich nichts und ich war
> auch letzte Woche nicht bei der Vorlesung.
Das ist schlecht, du darfst in den Übungen und Klausuren nur das benutzen was in der Vorlesung bewiesen wurde.
> Für [mm]\lambda[/mm] = 1 folgt:
>
> [mm]\lambda[/mm] * E - A = 0
>
> [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7/4 & 6/4 & 7/4 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -11/4 & -6/4 & -15/4 }[/mm]
> mit IV+11/7(II) = [mm]\pmat{ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 7/4 & 6/4 & 7/4 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 6/7 & 0 }[/mm]
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]x_3[/mm] = 0 => [mm]x_2[/mm] = - [mm]x_4[/mm] Eigenvektor = [mm]v_0[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] = 2
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 11/4 & 6/4 & 7/4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -11/4 & -6/4 & -7/4 }[/mm]
> mit IV+II = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 11/4 & 6/4 & 7/4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Hier bekomme ich ja nun 4 Eigenvektoren raus.
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, v_2[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ -6 \\ 11 \\ 0}, v_3[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ -7 \\ 6}, v_4[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ -7 \\ 0 \\ 11}[/mm]
>
> Jetzt habe ich 5 Eigenvektoren, einen für Eigenwert 1 und
> 4 für Eigenwert 2.
Dann hast du dich mit Sicherheit verrechnet.
> Meine Frage jetzt: Wann genau ist eine Matrix
> diagonalisierbar? Die Definitionen auf Wikipedia sind jetzt
> nicht wirklich hilfreich... Und kann ich mir jetzt aus den
> Eigenvektoren für 2 drei aussuchen? Letztlich muss ja für
> S dann gelten, dass die 4 Vektoren linear unabhängig sind.
> Kann ich auch nur die Eigenvektoren des Eigenwertes 2 für
> S nehmen?
>
> Ich habe noch irgendwas von geometrischer Vielfachheit und
> algebraischer Vielfachheit gelesen. Wenn diese
> übereinstimmen, ist A diagonalisierbar. Aber was genau
> heißt das?
Das heißt das der Eigenraum zu einem Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] die Dimension hat, die der algebraischen Vielfachheit des Eigenwerts entspricht.
Dieser wird von den Eigenvektoren zu dem Eigenwert aufgespannt.
> Ebenfalls stand da, dass die Vielfachheit eines Eigenwertes
> = Dimension der Eigenvektoren sei. Bei Eigenwert 2 habe ich
> nun aber 4 Eigenvektoren... Was bedeutet das in Bezug auf
> diese Aufgabe?
Was für eine Dimension soll ein Vektor haben? Die Aussage macht für mich keinen Sinn.
Gruß helicopter
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