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| Aufgabe | | Men bestimme [mm] A^{n} [/mm] für die Matrix [mm] A=\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 }. [/mm] |
Hallo!
[mm] A^{n} [/mm] bestimmt man ja, indem man die Eigenwerte und dazugehörige Eigenvektoren einer Matrix berechnet, eine Matrix (D) aufstellt, in der nur die Eigenwerte in der Hauptdiagonale stehen und eine Matrix (B) aufstellt, die aus den Eigenvektoren besteht, von dieser Matrix dann [mm] B^{-1} [/mm] berechnet und dann die Gleichung [mm] A^{n}=B*D*B^{-1} [/mm] löst, oder?
Bei der Aufgabe hier komme ich auf det|A-µE|=µ³-6µ²+12µ-8; µ_{1,2,3}=2; [mm] B=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 }. [/mm] Von B kann ich aber nun kein [mm] B^{-1} [/mm] bestimmen. Und nun? Gibt es noch einen anderen Weg zur Berechnung von [mm] A^{n} [/mm] oder mache ich irgend etwas falsch?
Danke im Voraus!
MfG, Jenny
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> Men bestimme [mm]A^{n}[/mm] für die Matrix [mm]A=\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 }.[/mm]
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> Gibt es noch einen anderen Weg zur Berechnung von [mm]A^{n}[/mm]
> oder mache ich irgend etwas falsch?
Hallo,
das Diagonalisieren klappt hier nicht. Die Matrix A ist nicht diagonalisierbar.
EINEN Weg kannst Du natürlich immer gehen, wenn Du [mm] A^n [/mm] haben möchtest: fleißig multiplizieren...
Hilfreich ist sicher folgendes: Das Minimalpolynom ist [mm] ja\mu_A(x)=(x-2)^2,
[/mm]
und man hat gelernt, das [mm] \mu_A(A)=0 [/mm] ist.
Hieraus erhältst Du [mm] A^2=4(A-E), [/mm] und kannst Dich dann weiterhangeln in der Hoffnung, eine Regel zu entdecken, welche Du dann per Induktion beweist.
Gruß v. Angela
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