Abb. bijektiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
oft werden Indizes verwendet bei Familien von Mengen, (![[]](/images/popup.gif) hier)
[mm] I\to [/mm] A, [mm] i\mapsto a_i,
[/mm]
Nun meine Fragen:
Wenn [mm] I=A=\IN [/mm] ist, also [mm] a_i\in\IN, [/mm] kann ich dann folgern, dass die Abb bijektiv ist, denn
- Injektiv: [mm] a_i [/mm] = [mm] a_j \Rightarrow [/mm] i=j ?
- surjektiv: nach Definition, dann [mm] a_i \Rightarrow \exists i\in\IN [/mm] ?
Wenn ja, ist doch [mm] \IN\times\IN\to\IN, [/mm] durch das diagonale Anordnen bijektiv.
Wäre dann induktiv dies hier mit [mm] I_k [/mm] = [mm] \IN, I_1\times...\times I_n\to\IN, (i_1,...,i_n)\mapsto a_{i_1...i_n} [/mm] auch bijektiv?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Fr 07.09.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
> oft werden Indizes verwendet bei Familien von Mengen,
> (hier)
>
> [mm]I\to[/mm] A, [mm]i\mapsto a_i,[/mm]
> Nun meine Fragen:
> Wenn [mm]I=A=\IN[/mm] ist, also [mm]a_i\in\IN,[/mm] kann ich dann folgern,
> dass die Abb bijektiv ist, denn
> - Injektiv: [mm]a_i[/mm] = [mm]a_j \Rightarrow[/mm] i=j ?
> - surjektiv: nach Definition, dann [mm]a_i \Rightarrow \exists i\in\IN[/mm]
> ?
Beide Male, Nein: Betrachte [mm] $i\mapsto 2+(-1)^{i}$. [/mm] Diese Abb. [mm] $:\IN\to \IN$ [/mm] ist weder injektiv noch surjektiv.
>
> Wenn ja, ist doch [mm]\IN\times\IN\to\IN,[/mm] durch das diagonale
> Anordnen bijektiv.
> Wäre dann induktiv dies hier mit [mm]I_k[/mm] = [mm]\IN, I_1\times...\times I_n\to\IN, (i_1,...,i_n)\mapsto a_{i_1...i_n}[/mm]
> auch bijektiv?
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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hmm, und wenn man fordet [mm] a_i \not= a_j, [/mm] für [mm] i\not= [/mm] j?
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Hallo ollimorphismus,
> hmm, und wenn man fordet [mm]a_i \not= a_j,[/mm] für [mm]i\not=[/mm] j?
Also eine Abb. [mm]f:\IN\to\IN[/mm] mit [mm]i\mapsto a_i=f(i)[/mm], so dass für [mm]i\neq j[/mm] dann [mm]a_i\neq a_j[/mm] ist?!
Na, solch eine Abb. sollte doch injektiv sein, das forderst du ja mit [mm]a_i\neq a_j[/mm], falls [mm]i\neq j[/mm]
Aber surjektiv ist das doch i.A. nicht.
Schicke jede Zahl [mm]i[/mm] auf ihr Doppeltes oder ihr Quadrat ...
Gruß
schachuzipus
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Okay, aber wie bekomm ich die Abbildung surjektiv, muss man dafür [mm] a_i [/mm] immer explizit kennen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 So 09.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Okay, aber wie bekomm ich die Abbildung surjektiv, muss man
> dafür [mm]a_i[/mm] immer explizit kennen?
Eine injektive Abb. $ [mm] f:\IN\to\IN [/mm] $ kann surjektiv sein, muß aber nicht.
f(i)=i ist surjektiv,
f(i)=i+1 ist nicht surjektiv
FRED
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