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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Do 13.12.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Geben Sie ein Beispiel für einen Vektorraum V und einen Endomorphismus f von V so dass
1) [mm] f \circ f = id_V , f \not= id_V[/mm]
2) [mm] f \circ f = f , f \not= id_V [/mm]
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Vorab, ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo, ich fürchte, so ganz verstehe ich das noch nicht.
Ist es so, dass bei 1. die Menge V herauskommen muss und bei 2. eine Funktion ?
Ist dann [mm] f(v)=-v [/mm] eine Lösung für 1. ?
Was ist dann 2. ?
Was ist der Unterschied zwischen den beiden Aufgaben ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Do 13.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susanne!
> Geben Sie ein Beispiel für einen Vektorraum V und einen
> Endomorphismus f von V so dass
>
> 1) [mm]f \circ f = id_V , f \not= id_V[/mm]
> 2) [mm]f \circ f = f , f \not= id_V[/mm]
>
> Vorab, ich habe diese Frage in keinem anderen Forum
> gestellt.
>
> Hallo, ich fürchte, so ganz verstehe ich das noch nicht.
> Ist es so, dass bei 1. die Menge V herauskommen muss und
> bei 2. eine Funktion ?
Das ist unpräzise formuliert. Bei 1. ist eine Abbildung gesucht, die bei doppelter Anwendung alle Elemente aus V auf sich selbst abbildet. Daraus folgt unmittelbar die Surjektivität von f.
Bei 2. geht es um eine Abbildung, die bei mehrmaliger Anwendung das Gleiche tut wie bei einmaliger Anwendung. Diese Eigenschaft heisst Idempotenz.
> Ist dann [mm]f(v)=-v[/mm] eine Lösung für 1. ?
Ja. Ein anderes anschauliches Beispiel: jede Spiegelung ist so ein Endomorphismus.
> Was ist dann 2. ?
> Was ist der Unterschied zwischen den beiden Aufgaben ?
Idempotente Abbildungen müssen nicht surjektiv sein. Idempotente lineare Abbildungen sind Projektionen. Um ein ganz einfaches Beispiel zu geben: f(x)=0. Jedes Element wird auf 0 abgebildet. Diese Abbildung kannst du so oft anwenden, wie du willst, es kommt immer 0 heraus.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 Do 13.12.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Rainer,
vielen Dank für die Erklärung !
Jetzt verstehe ich es besser.
Viele Grüsse, Susanne.
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