Abb(R,R) als Vektor < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] f_{1},...,f_{n} \in Abb(\IR,\IR) [/mm] und [mm] t_{1},...,t_{n} \in \IR, [/mm] so dass die Vektoren [mm] v_{1},...,v_{n} \in \IR^{n} [/mm] mit
[mm] v_{j} [/mm] = [mm] \pmat{ f_{1}(t_{1}) \\ \vdots \\ f_{j}(t_{n}) }, [/mm] j = 1,..., n
linear unabhängig sind. Zeige, dass dann auch [mm] f_{1},...,f_{n} [/mm] linear unabhängig sind. |
Hallo Community,
also zu meinem Gedankengang. Ich interpretiere mal als "lineare Unabhängigkeit", dass ich [mm] x*f_{1} [/mm] = [mm] y*f_{2} [/mm] mit x,y [mm] \in \IR [/mm] nur mit x,y = 0
lösen lässt. Soweit richtig? Dann klingt die Aussage für mich auch logisch.
Aber wie setzt man da einen Beweis an? Ich wäre für einen Ansatz dankbar.
mfg
oktollber
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 So 20.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin oktollber!
> Seien [mm]f_{1},...,f_{n} \in Abb(\IR,\IR)[/mm] und [mm]t_{1},...,t_{n} \in \IR,[/mm]
> so dass die Vektoren [mm]v_{1},...,v_{n} \in \IR^{n}[/mm] mit
> [mm]v_{j}[/mm] = [mm]\pmat{ f_{1}(t_{1}) \\ \vdots \\ f_{j}(t_{n}) },[/mm]
> j = 1,..., n
> linear unabhängig sind. Zeige, dass dann auch
> [mm]f_{1},...,f_{n}[/mm] linear unabhängig sind.
>
> also zu meinem Gedankengang. Ich interpretiere mal als
> "lineare Unabhängigkeit", dass ich [mm]x*f_{1}[/mm] = [mm]y*f_{2}[/mm] mit
> x,y [mm]\in \IR[/mm] nur mit x,y = 0
> lösen lässt. Soweit richtig? Dann klingt die Aussage
> für mich auch logisch.
Im Fall von $n = 2$ ja. Allgemein musst du zeigen: gibt es [mm] $\mu_1, \dots, \mu_n \in \IR$ [/mm] mit [mm] $\sum_{i=1}^n \mu_i f_i [/mm] = 0$, so folgt [mm] $\mu_1 [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] \mu_n [/mm] = 0$.
> Aber wie setzt man da einen Beweis an? Ich wäre für einen
> Ansatz dankbar.
Was passiert, wenn du in die Gleichung [mm] $\sum_{i=1}^n \mu_i f_i [/mm] = 0$, die auf beiden Seiten eine Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] stehen hast, ein [mm] $t_j$ [/mm] einsetzt? Was erhaelst du?
LG Felix
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> Im Fall von [mm]n = 2[/mm] ja. Allgemein musst du zeigen: gibt es
> [mm]\mu_1, \dots, \mu_n \in \IR[/mm] mit [mm]\sum_{i=1}^n \mu_i f_i = 0[/mm],
> so folgt [mm]\mu_1 = \dots = \mu_n = 0[/mm].
Könnten nicht auch alle Funktionswerte 0 sein und somit alle Vektoren identisch?
> Was passiert, wenn du in die Gleichung [mm]\sum_{i=1}^n \mu_i f_i = 0[/mm],
> die auf beiden Seiten eine Funktion [mm]\IR \to \IR[/mm] stehen
> hast, ein [mm]t_j[/mm] einsetzt? Was erhaelst du?
Ich versteh nicht, was du mit beiden Seiten meinst.
Aber als Vorraussetzung nehm ich doch:
[mm] \mu_1, \dots, \mu_n \in \IR [/mm] mit [mm] \sum_{i=1}^n \mu_i v_i [/mm] = 0
Das kann man doch dann umformen in.
$ [mm] \mu_1, \dots, \mu_n \in \IR [/mm] $ mit $ [mm] \sum_{i=1}^n \mu_i [/mm] $ [mm] \pmat{ f_{i}(t_{1}) \\ \vdots \\ f_{i}(t_{n}) } [/mm] = 0
Dann:
$ [mm] \mu_1, \dots, \mu_n \in \IR [/mm] $ mit $ [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] $ [mm] \pmat{ \mu_i*f_{i}(t_{1}) \\ \vdots \\ \mu_i*f_{i}(t_{n}) } [/mm] = 0
Aber wie form ich das nun weiter um?
mfg
oktollber
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> > Im Fall von [mm]n = 2[/mm] ja. Allgemein musst du zeigen: gibt es
> > [mm]\mu_1, \dots, \mu_n \in \IR[/mm] mit [mm]\sum_{i=1}^n \mu_i f_i = 0[/mm],
> > so folgt [mm]\mu_1 = \dots = \mu_n = 0[/mm].
>
> Könnten nicht auch alle Funktionswerte 0 sein und somit
> alle Vektoren identisch?
Hallo,
nein, das würde der linearen Unabhängigkeit der [mm] v_i [/mm] widersprechen.
>
> > Was passiert, wenn du in die Gleichung [mm]\sum_{i=1}^n \mu_i f_i = 0[/mm],
> > die auf beiden Seiten eine Funktion [mm]\IR \to \IR[/mm] stehen
> > hast, ein [mm]t_j[/mm] einsetzt? Was erhaelst du?
>
> Ich versteh nicht, was du mit beiden Seiten meinst.
Na, rechts und links vom Gleichheitszeichen.
Links steht eine Funktion, und die Null, die rechts steht, ist die Abkürzung für "Nullfunktion".
>
> Aber als Vorraussetzung nehm ich doch:
> [mm]\mu_1, \dots, \mu_n \in \IR[/mm] mit [mm]\sum_{i=1}^n \mu_i v_i[/mm] = 0
Das ist die Voraussetzung, unter der Du die lineare Unabhängigkeit der [mm] f_i [/mm] zeigen sollst.
>
> Das kann man doch dann umformen in.
>
> [mm]\mu_1, \dots, \mu_n \in \IR[/mm] mit [mm]\sum_{i=1}^n \mu_i [/mm] [mm]\pmat{ f_{i}(t_{1}) \\
\vdots \\
f_{i}(t_{n}) }[/mm] = 0
Ja, aber das ist nichts Neues, das ist einfach die Voraussetzung.
Du aber willst wissen, ob aus [mm] \mu_1f_1+...+\mu_nf_n= [/mm] Nullfunktion folgt, daß die [mm] \mu_i [/mm] alle =0 sind.
Aber ich habe im anderen Thread zuvor schon ausführlicher geantwortet, so daß die Diskussion vielleicht dort fortgesetzt werden sollte.
Gruß v. Angela
>
> Dann:
>
>
> [mm]\mu_1, \dots, \mu_n \in \IR[/mm] mit [mm]\sum_{i=1}^n [/mm] [mm]\pmat{ \mu_i*f_{i}(t_{1}) \\
\vdots \\
\mu_i*f_{i}(t_{n}) }[/mm]
> = 0
>
> Aber wie form ich das nun weiter um?
>
> mfg
> oktollber
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Hallo,
die Aufgabe wird gerade auch hier bearbeitet.
Vielleicht kannst Du Dich dort ein wenig inspirieren lassen.
Gruß v. Angela
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