Abb linear mit exp Verknüpfung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:10 Fr 04.06.2004 | | Autor: | nevinpol |
Guten Abend  ,
Ich soll folgende Abbildungen (auch noch) auf Linearität prüfen.
Eigentlich habe ich das Prinzip der Linearität verstanden.
Ich habe aber irgendwie kein gutes Gefühl bei meiner Lösung, weil
mir dass mit den Verknüpfungen zwischen Abbildungen nicht so ganz klar ist.
Also ich schreibe erstmal die Abbildungen die zu prüfen sind:
Abbildung Nr. 1 $ f [mm] \mapsto [/mm] exp [mm] \circ [/mm] f : [mm] Abb(\IR,\IR) \rightarrow \Abb(\IR,\IR)$
[/mm]
Abbildung Nr. 2 $ f [mm] \mapsto [/mm] f [mm] \circ [/mm] exp : [mm] Abb(\IR,\IR) \rightarrow \Abb(\IR,\IR)$
[/mm]
Meine Lösung zu Abbildung Nr. 1 $ f [mm] \mapsto [/mm] exp [mm] \circ [/mm] f : [mm] Abb(\IR,\IR) \rightarrow \Abb(\IR,\IR)$
[/mm]
L1: Seien $f,g [mm] \in Abb(\IR,\IR)$. [/mm] Dann gilt:
$exp [mm] \circ [/mm] (f+g) = (exp [mm] \circ [/mm] f) + (exp [mm] \circ [/mm] g)$
[mm] $\gdw e^{f+g} [/mm] = [mm] e^f [/mm] + [mm] e^g$
[/mm]
[mm] $\gdw e^f \cdot e^g [/mm] = [mm] e^f [/mm] + [mm] e^g$
[/mm]
Widerspruch! L1 ist nicht erfüllt, also ist die Abbildung nicht linear.
Hier habe ich halt das Problem, wenn f ung g null sind ist es ja
kein Widerspruch. Wie kann ich es anders zeigen? Von Marcel
weiss ich ja jetzt, dass ich die Linearität mit einem Gegenbeispiel
widerlegen könnte, aber ich kann ja nicht f=1 und g=2 setzen,
(denke ich), oder? Dann habe ich mir gedacht ich könnte ja
statt f, f(x) schreiben und statt g, g(x) und
dann für x konkrete Zahlen nehmen?
Meine Lösung zu Abbildung Nr. 2 $ f [mm] \mapsto [/mm] f [mm] \circ [/mm] exp : [mm] Abb(\IR,\IR) \rightarrow \Abb(\IR,\IR)$
[/mm]
L1: Seien $f,g [mm] \in Abb(\IR,\IR)$. [/mm] Dann gilt:
$(f+g) [mm] \circ [/mm] exp = (f [mm] \circ [/mm] exp) + (g [mm] \circ [/mm] exp)$
[mm] $\gdw [/mm] (f+g)(exp) = f(exp) + g(exp)$
[mm] $\gdw [/mm] f(exp) + g(exp) = f(exp) + g(exp)$
Somit ist L1 erfüllt.
L2: Seien [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] und $ f [mm] \in Abb(\IR,\IR)$. [/mm] Dann gilt:
[mm] $(\lambda \cdot [/mm] f) [mm] \circ [/mm] exp = [mm] \lambda \cdot [/mm] (f [mm] \circ [/mm] exp)$
[mm] $\gdw \lambda \cdot [/mm] (f [mm] \circ [/mm] exp) = [mm] \lambda \cdot [/mm] (f [mm] \circ [/mm] exp)$
Damit ist L2 auch erfüllt und die Abbildung ist linear.
Tschüsi
nevinpol
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:05 Fr 04.06.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nevinpol,
> Guten Abend ,
>
> Ich soll folgende Abbildungen (auch noch) auf Linearität
> prüfen.
Das nimmt ja gar kein Ende 
> Eigentlich habe ich das Prinzip der Linearität
> verstanden.
> Ich habe aber irgendwie kein gutes Gefühl bei meiner
> Lösung, weil
> mir dass mit den Verknüpfungen zwischen Abbildungen nicht
> so ganz klar ist.
>
> Also ich schreibe erstmal die Abbildungen die zu prüfen
> sind:
>
> Abbildung Nr. 1 [mm] f \mapsto exp \circ f : Abb(\IR,\IR)
\rightarrow \Abb(\IR,\IR)[/mm]
> Abbildung Nr. 2 [mm] f \mapsto f \circ exp : Abb(\IR,\IR) \rightarrow \Abb(\IR,\IR)[/mm]
>
> Meine Lösung zu Abbildung Nr. 1 [mm] f \mapsto exp \circ f :
Abb(\IR,\IR) \rightarrow \Abb(\IR,\IR)[/mm]
>
> L1: Seien $f,g [mm] \in Abb(\IR,\IR)$. [/mm] Dann gilt:
>
> $exp [mm] \circ [/mm] (f+g) = (exp [mm] \circ [/mm] f) + (exp [mm] \circ [/mm] g)$
> [mm] $\gdw e^{f+g} [/mm] = [mm] e^f [/mm] + [mm] e^g$
[/mm]
> [mm] $\gdw e^f \cdot e^g [/mm] = [mm] e^f [/mm] + [mm] e^g$ [/mm] (*)
>
> Widerspruch! L1 ist nicht erfüllt, also ist die Abbildung
> nicht linear.
> Hier habe ich halt das Problem, wenn f ung g null sind ist
> es ja
> kein Widerspruch. Wie kann ich es anders zeigen? Von Marcel
>
> weiss ich ja jetzt, dass ich die Linearität mit einem
> Gegenbeispiel
> widerlegen könnte, aber ich kann ja nicht f=1 und g=2
> setzen,
> (denke ich), oder? Dann habe ich mir gedacht ich könnte ja
>
> statt f, f(x) schreiben und statt g, g(x) und
> dann für x konkrete Zahlen nehmen?
So könntest du es auch machen, aber dann solltest du schon vorher konkrete Funktionen nehmen, in die du konkrete Zahlen einsetzt.
Du kannst allerdings schon f=1 und g=2 nehmen, wenn du sagst:
$f(x) [mm] \equiv [/mm] 1$, $g(x) [mm] \equiv [/mm] 2$.
Damit meine ich:
$f: [mm] \IR \rightarrow \IR$ [/mm] definiert durch $f(x):=1$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$,
[/mm]
$g: [mm] \IR \rightarrow \IR$ [/mm] definiert durch $g(x):=2$ [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$. [/mm]
(Beachte dabei:
Es gilt mit diesen Definitionen für $f$ bzw $g$: $f,g [mm] \in Abb(\IR,\IR)$.)
[/mm]
Dann besteht die ganze Funktion ja jeweils nur aus einer Zahl (ich meine den Wertebereich; ich hoffe, dass ich mich nicht zu missverständlich ausdrücke) und es ist egal, welches $x$ du wählst
Dann gilt nämlich:
[mm] $e^f \cdot e^g \ne e^f [/mm] + [mm] e^g$, [/mm] weil
[mm] $e^1 \cdot e^2 \ne e^1 [/mm] + [mm] e^2$.
[/mm]
Das steht aber im Widerspruch zu deiner Zeile (*).
(Ich bezeichne die letzte Zeile deiner Rechnung mit (*), siehe deine (zitierte) Rechnung oben.)
Oder du schreibst oben wieder, dass es im Allgemeinen ein Widerspruch ist, d.h. dann nämlich, es gibt Gegenbeispiele, die die letzte Gleichung (*) nicht erfüllen. Allerdings kann der/die Korrekteur/in dann wieder kritisieren, dass du keine angegeben hast. Jaja, die sind immer so kleinlich
> Meine Lösung zu Abbildung Nr. 2 [mm] f \mapsto f \circ exp :
Abb(\IR,\IR) \rightarrow \Abb(\IR,\IR)[/mm]
>
> L1: Seien $f,g [mm] \in Abb(\IR,\IR)$. [/mm] Dann gilt:
>
> $(f+g) [mm] \circ [/mm] exp = (f [mm] \circ [/mm] exp) + (g [mm] \circ [/mm] exp)$
> [mm] $\gdw [/mm] (f+g)(exp) = f(exp) + g(exp)$
> [mm] $\gdw [/mm] f(exp) + g(exp) = f(exp) + g(exp)$
>
> Somit ist L1 erfüllt.
>
> L2: Seien [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] und $ f [mm] \in Abb(\IR,\IR)$. [/mm] Dann
> gilt:
>
> [mm](\lambda \cdot f) \circ exp = \lambda \cdot (f \circ
exp)[/mm]
> [mm]\gdw \lambda \cdot (f \circ exp) = \lambda \cdot (f \circ
exp)[/mm]
>
> Damit ist L2 auch erfüllt und die Abbildung ist linear.
![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]")
PS: Eines noch:
Setze vor die Abb keinen Backslash, sonst sieht man es nicht. Hier meint:
[mm] $\Abb(\IR,\IR)$ [/mm] immer: [mm] $Abb(\IR,\IR)$.
[/mm]
Und auch wenn es jetzt hier unproblematisch ist:
Bei einem Beweis braucht man nicht immer [mm] $\gdw$-Zeichen, [/mm] oft genügen Folgerungen, also [mm] $\Rightarrow$-Zeichen. [/mm] Die [mm] $\gdw$-Zeichen [/mm] scheinst du ja wirklich zu lieben
Viele Grüße und gute N8
Marcel
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