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Abbildung: a)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:36 Sa 01.09.2018
Autor: meister_quitte

Aufgabe
Seien M, N nichtleere Mengen und $f: M [mm] \to [/mm] N$ eine Abbildung.

a) Man zeige, dass für alle Teilmengen $A, B [mm] \subseteq [/mm] M$ gilt

$f [mm] \left( A \cap B \right) \subseteq [/mm] f [mm] \left( A \right) \cap [/mm] f [mm] \left( B \right)$ [/mm]

b) Man gebe ein Beispiel an so dass $f [mm] \left( A \cap B \right) \not= [/mm] f [mm] \left( A \right) \cap [/mm] f [mm] \left( B \right)$ [/mm]

c) Es gelte f [mm] \left( A \cap B \right) [/mm] = f [mm] \left( A \right) \cap [/mm] f [mm] \left( B \right) [/mm] für alle Teilmengen $A, B [mm] \subseteq [/mm] M$. Man zeige, dass f injektiv ist.

Hallo Freunde der Mathematik,

könntet ihr mir bitte sagen, ob mein Rechenweg so richtig ist. Meine Idee ist:

$x [mm] \in [/mm] f [mm] \left( A \cap B \right) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] f [mm] \left( A \right) \subseteq [/mm] N [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] f [mm] \left( B \right) \subseteq [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm]   x [mm] \in [/mm] f [mm] \left( A \right) \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] f [mm] \left( B \right) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] f [mm] \left( A \right) \cap [/mm] f [mm] \left( B \right)$ [/mm]

Liebe Grüße

Christoph

        
Bezug
Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 Sa 01.09.2018
Autor: ChopSuey

Hallo Christoph,

> Seien M, N nichtleere Mengen und [mm]f: M \to N[/mm] eine
> Abbildung.
>  
> a) Man zeige, dass für alle Teilmengen [mm]A, B \subseteq M[/mm]
> gilt
>  
> [mm]f \left( A \cap B \right) \subseteq f \left( A \right) \cap f \left( B \right)[/mm]
>  
> b) Man gebe ein Beispiel an so dass [mm]f \left( A \cap B \right) \not= f \left( A \right) \cap f \left( B \right)[/mm]
>  
> c) Es gelte f [mm]\left( A \cap B \right)[/mm] = f [mm]\left( A \right) \cap[/mm]
> f [mm]\left( B \right)[/mm] für alle Teilmengen [mm]A, B \subseteq M[/mm].
> Man zeige, dass f injektiv ist.
>  Hallo Freunde der Mathematik,
>  
> könntet ihr mir bitte sagen, ob mein Rechenweg so richtig
> ist. Meine Idee ist:
>  
> [mm]x \in f \left( A \cap B \right) \Rightarrow x \in f \left( A \right) \subseteq N \wedge x \in f \left( B \right) \subseteq N \Rightarrow x \in f \left( A \right) \wedge x \in f \left( B \right) \Rightarrow x \in f \left( A \right) \cap f \left( B \right)[/mm]


Hmm nein, warum gilt die erste Implikation? Das gilt es gerade zu zeigen.


Wähle $y [mm] \in f(A\cap [/mm] B)$. Dann existiert ein $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$ so dass $ f(x) = y $. Also insbesondere $ x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B$. Damit folgt für $ y = f(x)$ dass $y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \wedge [/mm] y [mm] \in [/mm] f(B)$, also insbesondere $y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$. Somit [mm] $f(A\cap [/mm] B) [mm] \subset [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)$ [mm] $\Box$ [/mm]


>  
> Liebe Grüße
>  
> Christoph

LG,
ChopSuey

Bezug
                
Bezug
Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:47 Sa 01.09.2018
Autor: meister_quitte

Hallo ChopSuey,

danke ich hab's doch begriffen. Vielen Dank!

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
                        
Bezug
Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:16 Sa 01.09.2018
Autor: ChopSuey

Hallo Christoph,

ich habe meine Antwort nochmal editiert bzw modifiziert und Kleinigkeiten angepasst. Wirf' bei Gelegenheit evtl. nochmal einen Blick drauf.

LG,
ChopSuey

Bezug
                                
Bezug
Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:12 So 02.09.2018
Autor: meister_quitte

Vielen Dank du bist echt nett.

Bezug
                
Bezug
Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:41 So 02.09.2018
Autor: tobit09

Hallo zusammen,


ja, ChopSuey ist ein netter Kerl! :-)

Seinen Lösungsvorschlag kann ich jedoch nicht nachvollziehen.

> Sei [mm]f(A\cap B) \not= \emptyset[/mm]

Wenn du so startest, müsstest du den Fall [mm] $f(A\cap B)=\emptyset$ [/mm] separat betrachten. Für eine solche Fallunterscheidung besteht jedoch keine Notwendigkeit.

> und [mm]y \in f(A\cap B)[/mm]. Dann
> gibt es mindestens ein [mm]x \in f^{-1}(y) \subset A \cap B \subset M[/mm].

Mit [mm] $f^{-1}(y)$ [/mm] meinst du vermutlich das Urbild [mm] $f^{-1}(\{y\})$? [/mm]
Dann ist [mm] $f^{-1}(y)\subset A\cap [/mm] B$ im Allgemeinen völlig falsch.

> Also insbesondere [mm]x \in A \wedge x \in B[/mm].
> Weil [mm]f[/mm] eine
> Abbildung ist, gilt dann aber für [mm]y = f(x)[/mm] dass [mm]y \in f(A) \wedge y \in f(B)[/mm],
> also insbesondere [mm]y \in f(A) \cap f(B)[/mm].

Warum "weil f eine Abbildung ist"? Natürlich machte es keinen Sinn, f(x) zu schreiben, wenn f gar keine Abbildung wäre; aber darüber hinaus kann ich nicht nachvollziehen, inwiefern hier eine Abbildungseigenschaft von f eingeht.

Ich vermisse insgesamt ein nachvollziehbares Anwenden der Definitionen von f(A), f(B) und [mm] $f(A\cap [/mm] B)$ und halte es nicht für hilfreich, auch noch das Urbild [mm] $f^{-1}(y)$ [/mm] ins Spiel zu bringen...

Viele Grüße
Tobias

Bezug
                        
Bezug
Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:15 Mo 03.09.2018
Autor: ChopSuey

Hallo zusammen,

in meiner ersten Version war's richtig. Dann hab' ich zum Editieren angefangen und offensichtliche Fehler gemacht. Zu meiner Verteidigung, ich war nicht ganz konzentriert beim Verfassen der Antwort. Entschuldigt.

LG,
ChopSuey

Bezug
        
Bezug
Abbildung: b)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 So 02.09.2018
Autor: meister_quitte

Hallo Freunde der Mathematik,

mir ist folgendes Beispiel zu b) eingefallen:

[mm] $M=\IN, N=\IZ, A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, B=\{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap B=\{4, 5, 6\}$ [/mm]

Sei nun$ [mm] f\left( A \right) [/mm] = A,  [mm] f\left( B \right)= [/mm] B, [mm] f\left( A \cap B\right)= \{-4, -5, -6\} \not\subseteq f\left( A \right)$ [/mm] und [mm] $f\left( A \cap B\right)= \{-4, -5, -6\} \not\subseteq f\left( B \right) \Rightarrow f\left( A \cap B \right) \not= f\left( A \right) \cap f\left( B \right)$ [/mm]

Stimmt das so?

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
                
Bezug
Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:43 So 02.09.2018
Autor: tobit09

Hallo Christoph,


> [mm]M=\IN, N=\IZ, A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, B=\{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \Rightarrow A \cap B=\{4, 5, 6\}[/mm]

Soweit ok.

Welche Abbildung [mm] $f:\IN\to\IZ$ [/mm] möchtest du nun als Beispiel betrachten?

> Sei nun[mm] f\left( A \right) = A, f\left( B \right)= B, f\left( A \cap B\right)= \{-4, -5, -6\} \not\subseteq f\left( A \right)[/mm]
> und [mm]f\left( A \cap B\right)= \{-4, -5, -6\} \not\subseteq f\left( B \right) \Rightarrow f\left( A \cap B \right) \not= f\left( A \right) \cap f\left( B \right)[/mm]
>  
> Stimmt das so?

Nein, eine Abbildung f mit diesen Eigenschaften gibt es gar nicht, wie man sich überlegen kann.

Tipps:
- Wir haben bei a) schon [mm] $f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap [/mm] f(B)$ gezeigt. Angesichts dessen ist unsere einzige Chance, ein Beispiel mit [mm] $f(A\cap B)\neq f(A)\cap [/mm] f(B)$ zu erhalten, eine Abbildung f mit [mm] $f(A\cap B)\nsupseteq f(A)\cap [/mm] f(B)$ zu finden.
- Gemäß der Aussage von c) benötigen wir eine NICHT injektive Abbildung.
- Gemäß der Aussage von c) können wir für jede NICHT injektive Abbildung f passende A und B finden.

Am besten experimentierst du einmal mit ein paar konkreten Abbildungen herum... :-)

EDIT: Wenn du nicht weiterkommst, kannst du auch mit folgender Strategie arbeiten: Wähle eine nicht injektive Abbildung [mm] $f\colon M\to [/mm] N$ für eine zweielementige Menge M und eine beliebige Menge N deiner Wahl. Dann hast du eine überschaubare Anzahl von möglichen Wahlen von [mm] $A,B\subseteq [/mm] M$ und mindestens eine dieser Wahlen führt gemäß c) zu [mm] $f(A\cap B)\neq f(A)\cap [/mm] f(B)$.

Viele Grüße
Tobias

Bezug
        
Bezug
Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 So 02.09.2018
Autor: tobit09

Hallo Christoph,

wesentlich zur Lösungsfindung ist, sich zunächst klarzumachen, was f(A), f(B) und [mm] $f(A\cap [/mm] B)$ nach Definition eigentlich bedeuten:

Es gilt

[mm] $f(A)=\{y\in N\;|\;\exists x\in A:f(x)=y\}$, [/mm]
[mm] $f(B)=\{y\in N\;|\;\exists x\in B:f(x)=y\}$ [/mm]

und

[mm] $f(A\cap B)=\{y\in N\;|\;\exists x\in A\cap B:f(x)=y\}$. [/mm]

Starten wir mit diesem Wissen im Hinterkopf nun unseren Beweis:

Wir wollen [mm] $f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap [/mm] f(B)$ zeigen, d.h. wir müssen nach Definition von [mm] $\subseteq$ [/mm] für alle [mm] $y\in f(A\cap [/mm] B)$ zeigen, dass auch [mm] $y\in f(A)\cap [/mm] f(B)$ gilt.

Sei also [mm] $y\in f(A\cap [/mm] B)$ beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist [mm] $y\in f(A)\cap [/mm] f(B)$.
(Da y beliebig vorgegeben war, sind wir dann fertig.)

Wir müssen also nach Definition von [mm] $\cap$ [/mm] zwei Dinge zeigen:
1. [mm] $y\in [/mm] f(A)$ (d.h. wir müssen ein [mm] $x\in [/mm] A$ mit f(x)=y finden).
und
2. [mm] $y\in [/mm] f(B)$ (d.h. wir müssen ein [mm] $x\in [/mm] B$ mit f(x)=y finden).

Nun wenden wir die Definition von [mm] $f(A\cap [/mm] B)$ an:
Wegen [mm] $y\in f(A\cap [/mm] B)$ existiert ein [mm] $x\in A\cap [/mm] B$ mit $f(x)=y$.

Insbesondere gilt nach Definition von [mm] $\cap$ [/mm] die Aussage [mm] $x\in [/mm] A$.
Wir haben also ein [mm] $x\in [/mm] A$ mit f(x)=y gefunden und damit 1. gezeigt.

2. zeigt man analog.


Kurzschreibweise des fertigen Beweises:

Sei [mm] $y\in f(A\cap [/mm] B)$. Dann existiert ein [mm] $x\in A\cap [/mm] B$ mit $f(x)=y$. Insbesondere gilt [mm] $x\in [/mm] A$, so dass das Element $x$ die Aussage [mm] $y\in [/mm] f(A)$ bezeugt.
Analog zeigt man [mm] $y\in [/mm] f(B)$.
Insgesamt erhalten wir wie gewünscht [mm] $y\in f(A)\cap [/mm] f(B)$.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:22 Mo 03.09.2018
Autor: meister_quitte

Hallo Tobi,

vielen Dank für deine Antworten ich denke ich habe alles soweit verstanden. Falls ich noch Fragen haben sollte, werde ich eine weitere Frage zu deiner Antwort stellen.

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
        
Bezug
Abbildung: c)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 Di 04.09.2018
Autor: meister_quitte

Hallo Freunde der Mathematik,

ich habe folgendes erdacht:

Vor.: [mm] $f\left( A \cap B \right)=f\left( A \right) \cap f\left( B \right)$ [/mm] für alle Teilmengen $A, B [mm] \subseteq [/mm] M$

Beh.: f ist injektiv

Bew.: [mm] $f\left( A \cap B \right)=f\left( A \right) \cap f\left( B \right) \Rightarrow \exists f\left( x_1\right) \in f\left( A \cap B \right) \wedge \exists f\left( x_2\right) \in f\left( A \right) \cap f\left( B \right) \Rightarrow$ [/mm] nach Vor. [mm] $\exists f\left( x_1\right)= f\left( x_2\right) \Rightarrow \exists x_1, x_2 \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$  bzw.  [mm] $x_1, x_2 \in [/mm]  A [mm] \wedge x_1, x_2 \in [/mm] B: [mm] x_1=x_2. [/mm]


Liebe Grüße

Christoph

Bezug
                
Bezug
Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 Mi 05.09.2018
Autor: angela.h.b.


> Hallo Freunde der Mathematik,

>

> ich habe folgendes erdacht:

Hallo,

was Du da erdacht hast, ist für mich nicht nachvollziehbar, und ich fürchte: für andere auch nicht.



> Vor.: [mm]f\left( A \cap B \right)=f\left( A \right) \cap f\left( B \right)[/mm]
> für alle Teilmengen [mm]A, B \subseteq M[/mm]

>

> Beh.: f ist injektiv

Du mußt also zeigen, daß für [mm] x_1,x_2 [/mm] mit
[mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] aus der Voraussetzung zwingend folgt, daß [mm] x_1=x_2 [/mm] ist.

Seien also [mm] x_1,x_2\in [/mm] M mit [mm] f(x_1)=f(x_2). [/mm]

Nun muß man ja irgendwie die Voraussetzung ins Spiel bringen.

Sie liefert für die einelementigen Mengen [mm] \{x_1\} [/mm] und [mm] \{x_2\} [/mm]

[mm] f(\{x_1\}\cap \{x_2\})=f(\{x_1\})\cap f(\{x_2\}). [/mm]

Nun nimm an, es wäre [mm] x_1\not=x_2. [/mm]

LG Angela







> Bew.: [mm]f\left( A \cap B \right)=f\left( A \right) \cap f\left( B \right) \Rightarrow \exists f\left( x_1\right) \in f\left( A \cap B \right) \wedge \exists f\left( x_2\right) \in f\left( A \right) \cap f\left( B \right) \Rightarrow[/mm]
> nach Vor. [mm]\exists f\left( x_1\right)= f\left( x_2\right) \Rightarrow \exists x_1, x_2 \in[/mm]
> A [mm]\cap[/mm] B$ bzw. [mm]x_1, x_2 \in[/mm] A [mm]\wedge x_1, x_2 \in[/mm] B:
> [mm]x_1=x_2.[/mm]

>

> Liebe Grüße

>

> Christoph


Bezug
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