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| Aufgabe | Seien M, L Mengen, A, B [mm] \subseteq [/mm] M und [mm] \alpha [/mm] : M [mm] \to [/mm] L eine Abbildung. Welche folgenden Regeln gelten?
a) (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \alpha [/mm] = A [mm] \alpha \cup [/mm] B [mm] \alpha.
[/mm]
b) (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \alpha [/mm] = A [mm] \alpha \cap [/mm] B [mm] \alpha.
[/mm]
c) (A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \alpha [/mm] = A [mm] \alpha \setminus [/mm] B [mm] \alpha. [/mm] |
Hallo, ich komme bei der Aufgabe irgendwie nicht weiter, ich habe durch Zeichnen der Mengen schon herausgefunden, dass a), und b) stimmen müssten und c) falsch ist, aber wie kann ich das schriftlich beweisen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Mo 30.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
soll in der Aufgabe das alpha hinter der Menge A (als Beispiel) etwa [mm] $\alpha [/mm] (A)$ bedeuten (also das Bild von A unter der Abbildung alpha ?)
wenn ja, dann:
bei a) die Gelichung stimmt und du zeigst es einfach durch beidseitige Inklusion, also :
[mm] $\alpha (A\cup B)\subseteq \alpha [/mm] (A) [mm] \cup \alpha [/mm] (B)$
und
[mm] $\alpha (A\cup B)\supseteq \alpha [/mm] (A) [mm] \cup \alpha [/mm] (B)$
zur ersten : sei [mm] $l_1$ [/mm] ein beliebiges (aber festes) Element aus [mm] $\alpha (A\cup [/mm] B)$ , d.h.
1) [mm] $\alpha^{-1}(l_1)\in [/mm] A$
oder
2) [mm] $\alpha^{-1}(l_1)\in [/mm] B$
oder
3) beides vorherige
aber in jedem der drei Fälle stimmt : [mm] $l_1\in (\alpha [/mm] (A) [mm] \cup \alpha [/mm] (B))$ (warum?)
die andere Richtung beweist man ähnlich schnell
zur b) die Aussage ist falsch - es reicht ein Gegenbeispiel anzugeben
(wähle A und B disjunkt aber aber [mm] $\alpha(A)=\alpha(B)=l_1$ [/mm] (konstante Abbildung))
zur c) richtig, die Aussage ist falsch - kannst du ein Gegenbeispiel konstruieren? (B als Teilmenge von A zum beispiel...)
viele Grüße
DaMenge
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Also gemeint ist, dass die Abbildung von A und B vereinigt gleich der Abbildung von A vereinigt der Abbildung B sein soll.
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hallo, also ich habe verstanden, dass ich die gleichheit zeigen muss, zb. durch inklusion, und dass dann natürlich die elemente übereinstimmen müssen, in diesem fall dass festgelegte l.
aber was fang ich nun mit dem element an? kann ich sagen:
(l [mm] \vee x)\alpha [/mm] = [mm] l\alpha \vee x\alpha
[/mm]
[mm] l\alpha \vee x\alpha [/mm] = [mm] l\alpha \vee x\alpha [/mm] ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 01.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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